1.“没有全民健康,就没有全面小康.”全民健身被越来越多的人接纳,人们的健身方式更加多元,健身场地更加丰富,沿河跑步也成为一种时尚.九年级学生小明在河边跑步时,决定用数学知识计算河的宽度,如图是一条河的示意图,小明沿河岸GH跑步,对岸EF上有两棵大树A,B,当小明跑到C处时,测得大树A在北偏东$53°$方向,小明继续跑步5分钟到达D处,此时大树B刚好在北偏西$45°$方向.已知$EF// GH$,$AB=50\ \mathrm{m}$,小明跑步的平均速度是每分钟$100\ \mathrm{m}$,则该段河的宽度为 m.（结果精确到$0.1\ \mathrm{m}$.参考数据:$\sin 37° \approx \frac{3}{5}$,$\cos 37° \approx \frac{4}{5}$,$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$,$\sqrt{2} \approx 1.41$）

1. 192.9
解析:如图,过点A作AM⊥CD,垂足为M,过点B作BN⊥CD,垂足为N.

由题意得 AB = MN = 50 m,AM = BN, CD = 5×100 = 500 m,
∠ACM = 90°-53° = 37°, ∠BDN = 90°-45° = 45°,
设 AM = BN = x m,
在Rt△ACM 中,$CM=\frac{AM}{\tan 37°}\approx\frac{x}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}x(\mathrm{m})$,
在Rt△BND 中,$DN=\frac{BN}{\tan 45°}=x(\mathrm{m})$.
∵ CM+MN+DN = CD,
∴ $\frac{4}{3}x+50+x=500$,解得 x≈192.9,
∴ AM = BN ≈ 192.9 m,
∴ 该段河的宽度约为 192.9 m.

程度,设计人员准备把背水坡的坡度改为$i_{2}=1:\sqrt{3}$,则背水坡新起点A与原起点B之间的距离为m.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73$.结果精确到0.1 m)

2. 14.6
解析:在Rt△BCD中,
∵ BC的坡度为$i_1=1:1$,
∴ $\frac{CD}{BD}=1$,
∴ CD = BD = 20 m.
在Rt△ACD中,
∵ AC的坡度为$i_2=1:\sqrt{3}$,
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$,
∴ $AD=\sqrt{3}CD=20\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
∴ $AB=AD-BD=20\sqrt{3}-20\approx14.6(\mathrm{m})$,
∴ 背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6 m.