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1.(2024,成都,3)下列计算正确的是(
A.$(3x)^2=3x^2$
B.$3x+3y=6xy$
C.$(x+y)^2=x^2+y^2$
D.$(x+2)(x-2)=x^2-4$
D
).A.$(3x)^2=3x^2$
B.$3x+3y=6xy$
C.$(x+y)^2=x^2+y^2$
D.$(x+2)(x-2)=x^2-4$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查整式相关运算的正误判断，解题时我们只需要逐一将每个选项对应到对应的运算法则进行计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，可得$(3x)^2=3^2· x^2=9x^2≠3x^2$，故A错误；
B选项：$3x$和$3y$所含字母不同，不是同类项，无法合并，故$3x+3y≠6xy$，B错误；
C选项：根据完全平方公式，$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2≠ x^2+y^2$，故C错误；
D选项：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=x,b=2$，可得$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；合并同类项；乘法公式
【点评】
本题是基础常考题，主要考查整式运算的核心法则，平时学习中要准确记忆各类运算法则和公式，避免出现漏乘系数、错记公式项等常见错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查整式相关运算的正误判断，解题时我们只需要逐一将每个选项对应到对应的运算法则进行计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，可得$(3x)^2=3^2· x^2=9x^2≠3x^2$，故A错误；
B选项：$3x$和$3y$所含字母不同，不是同类项，无法合并，故$3x+3y≠6xy$，B错误；
C选项：根据完全平方公式，$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2≠ x^2+y^2$，故C错误；
D选项：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=x,b=2$，可得$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；合并同类项；乘法公式
【点评】
本题是基础常考题，主要考查整式运算的核心法则，平时学习中要准确记忆各类运算法则和公式，避免出现漏乘系数、错记公式项等常见错误。
【难度系数】
0.9
2. 下列式子一定能成立的是(
A.$(2a - 3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$
B.$(2a - b)^2 = 4a^2 - 2ab + b^2$
C.$(1 - 2x)^2 = 1 - 4x - 4x^2$
D.$(-x - 3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$
D
).A.$(2a - 3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$
B.$(2a - b)^2 = 4a^2 - 2ab + b^2$
C.$(1 - 2x)^2 = 1 - 4x - 4x^2$
D.$(-x - 3y)^2 = x^2 + 6xy + 9y^2$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先明确完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，可简记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号与原式一致”。接下来逐个对选项中的式子按照公式展开，再和选项给出的结果对比，完全一致的即为正确选项。
【解析】
根据完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn+n^2$，逐一验证选项：
A选项：$(2a-3b)^2=(2a)^2-2×2a×3b+(3b)^2=4a^2-12ab+9b^2≠4a^2-9b^2$，故A错误；
B选项：$(2a-b)^2=(2a)^2-2×2a× b+b^2=4a^2-4ab+b^2≠4a^2-2ab+b^2$，故B错误；
C选项：$(1-2x)^2=1^2-2×1×2x+(2x)^2=1-4x+4x^2≠1-4x-4x^2$，故C错误；
D选项：$(-x-3y)^2=[-(x+3y)]^2=(x+3y)^2=x^2+2× x×3y+(3y)^2=x^2+6xy+9y^2$，和选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题，解题核心是牢记完全平方公式的展开结构，注意不要和平方差公式混淆，计算时需格外注意2倍项的系数和符号，避免漏算、错算。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先明确完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，可简记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号与原式一致”。接下来逐个对选项中的式子按照公式展开，再和选项给出的结果对比，完全一致的即为正确选项。
【解析】
根据完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm 2mn+n^2$，逐一验证选项：
A选项：$(2a-3b)^2=(2a)^2-2×2a×3b+(3b)^2=4a^2-12ab+9b^2≠4a^2-9b^2$，故A错误；
B选项：$(2a-b)^2=(2a)^2-2×2a× b+b^2=4a^2-4ab+b^2≠4a^2-2ab+b^2$，故B错误；
C选项：$(1-2x)^2=1^2-2×1×2x+(2x)^2=1-4x+4x^2≠1-4x-4x^2$，故C错误；
D选项：$(-x-3y)^2=[-(x+3y)]^2=(x+3y)^2=x^2+2× x×3y+(3y)^2=x^2+6xy+9y^2$，和选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题，解题核心是牢记完全平方公式的展开结构，注意不要和平方差公式混淆，计算时需格外注意2倍项的系数和符号，避免漏算、错算。
【难度系数】
0.8
3.已知$(a+b)^2=49,a^2+b^2=25$,则$ab=$(
A.24
B.48
C.12
D.$2\sqrt{6}$
C
).A.24
B.48
C.12
D.$2\sqrt{6}$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方和公式的展开形式，我们知道$(a+b)^2$展开后包含$a^2+b^2$和$ab$这两个部分，题目已经给出了$(a+b)^2$与$a^2+b^2$的取值，将已知条件代入展开式，通过简单的移项、计算即可求出$ab$的值。
【解析】
根据完全平方和公式可得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
将$(a+b)^2=49$，$a^2+b^2=25$代入上式得：
$49=25+2ab$
移项计算得：$2ab=49-25=24$
两边同时除以2得：$ab=12$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查完全平方公式的应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开结构，找准已知条件和待求量之间的关联即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆完全平方和公式的展开形式，我们知道$(a+b)^2$展开后包含$a^2+b^2$和$ab$这两个部分，题目已经给出了$(a+b)^2$与$a^2+b^2$的取值，将已知条件代入展开式，通过简单的移项、计算即可求出$ab$的值。
【解析】
根据完全平方和公式可得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
将$(a+b)^2=49$，$a^2+b^2=25$代入上式得：
$49=25+2ab$
移项计算得：$2ab=49-25=24$
两边同时除以2得：$ab=12$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查完全平方公式的应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开结构，找准已知条件和待求量之间的关联即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.计算$(-a^2 - b^3)^2$的结果正确的是(
A.$a^2 + 2ab + b^2$
B.$-a^4 + 2a^2b^3 + b^6$
C.$a^4 + 2a^2b^3 + b^6$
D.$-a^4 - 2a^2b^3 + b^6$
C
).A.$a^2 + 2ab + b^2$
B.$-a^4 + 2a^2b^3 + b^6$
C.$a^4 + 2a^2b^3 + b^6$
D.$-a^4 - 2a^2b^3 + b^6$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先观察式子是两个代数式的和的平方形式，先利用平方的符号性质化简原式的负号，再套用完全平方和公式展开，最后结合幂的乘方法则计算各项，对比选项得到答案即可。需要注意避免符号处理错误、公式记错导致漏项或错项。
【解析】
首先对原式进行符号化简：
$(-a^2 - b^3)^2 = [-(a^2 + b^3)]^2$
根据平方的非负性，负数的平方等于它相反数的平方，因此上式可化简为：
$(a^2 + b^3)^2$
接下来套用完全平方和公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，令$m=a^2$，$n=b^3$，展开得：
$(a^2)^2 + 2· a^2 · b^3 + (b^3)^2$
再根据幂的乘方法则：$(x^m)^n = x^{mn}$，计算各项得：
$a^{2×2} + 2a^2b^3 + b^{3×2} = a^4 + 2a^2b^3 + b^6$
与选项对比，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.完全平方公式
2.幂的乘方运算
3.乘方的符号法则
【点评】
本题是乘法公式的基础考查题，重点检验对完全平方公式的掌握程度和运算中符号的处理能力，易错点是化简负号时出错、展开公式时漏写两倍乘积项或写错项的次数，熟练掌握基础公式和运算法则即可轻松解决。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先观察式子是两个代数式的和的平方形式，先利用平方的符号性质化简原式的负号，再套用完全平方和公式展开，最后结合幂的乘方法则计算各项，对比选项得到答案即可。需要注意避免符号处理错误、公式记错导致漏项或错项。
【解析】
首先对原式进行符号化简：
$(-a^2 - b^3)^2 = [-(a^2 + b^3)]^2$
根据平方的非负性，负数的平方等于它相反数的平方，因此上式可化简为：
$(a^2 + b^3)^2$
接下来套用完全平方和公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，令$m=a^2$，$n=b^3$，展开得：
$(a^2)^2 + 2· a^2 · b^3 + (b^3)^2$
再根据幂的乘方法则：$(x^m)^n = x^{mn}$，计算各项得：
$a^{2×2} + 2a^2b^3 + b^{3×2} = a^4 + 2a^2b^3 + b^6$
与选项对比，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.完全平方公式
2.幂的乘方运算
3.乘方的符号法则
【点评】
本题是乘法公式的基础考查题，重点检验对完全平方公式的掌握程度和运算中符号的处理能力，易错点是化简负号时出错、展开公式时漏写两倍乘积项或写错项的次数，熟练掌握基础公式和运算法则即可轻松解决。
【难度系数】
0.8
5.将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形、中间正方形和四个长方形面积间关系可以得到的等式是(
A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
B.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C.$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
D.$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
D
).A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
B.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C.$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
D.$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先要分别确定外围大正方形、中间小正方形的边长，再计算出四个长方形的总面积，根据“中间小正方形的面积 = 外围大正方形的面积减去四个长方形的总面积”这一和差关系列式，即可得到对应的代数恒等式，再匹配选项即可。
【解析】
第一步：确定各图形的边长与面积：
1. 外围大正方形的边长为$a+b$，因此其面积为$S_{\mathrm{大}}=(a+b)^2$；
2. 每张长方形纸片的长为$a$、宽为$b$，单张面积为$ab$，四张长方形的总面积为$4ab$；
3. 中间空白小正方形的边长为$a-b$，因此其面积为$S_{\mathrm{小}}=(a-b)^2$。
第二步：根据面积关系列等式：
中间小正方形的面积等于外围大正方形面积减去四个长方形的总面积，因此可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；面积法推导恒等式；正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的面积和差关系验证代数乘法公式，既可以帮助直观理解公式的含义，也考查了图形边长识别、面积计算的基础能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要分别确定外围大正方形、中间小正方形的边长，再计算出四个长方形的总面积，根据“中间小正方形的面积 = 外围大正方形的面积减去四个长方形的总面积”这一和差关系列式，即可得到对应的代数恒等式，再匹配选项即可。
【解析】
第一步：确定各图形的边长与面积：
1. 外围大正方形的边长为$a+b$，因此其面积为$S_{\mathrm{大}}=(a+b)^2$；
2. 每张长方形纸片的长为$a$、宽为$b$，单张面积为$ab$，四张长方形的总面积为$4ab$；
3. 中间空白小正方形的边长为$a-b$，因此其面积为$S_{\mathrm{小}}=(a-b)^2$。
第二步：根据面积关系列等式：
中间小正方形的面积等于外围大正方形面积减去四个长方形的总面积，因此可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，与选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；面积法推导恒等式；正方形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的面积和差关系验证代数乘法公式，既可以帮助直观理解公式的含义，也考查了图形边长识别、面积计算的基础能力。
【难度系数】
0.7
6.计算$(3a+b)^2$的结果为
$9a^2+6ab+b^2$
.（第5题）答案
6.$9a^2+6ab+b^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方和公式的应用，解题时首先回忆完全平方和公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，先确定公式中对应$m$、$n$的项，本题中$m=3a$，$n=b$，再将对应项代入公式展开，分别计算每一项的结果后合并即可得到最终结果。
【解析】
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，把$m=3a$，$n=b$代入公式计算：
$\begin{split}(3a+b)^2&=(3a)^2+2×3a× b+b^2\\&=9a^2+6ab+b^2\end{split}$
【答案】
$9a^2+6ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式，积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对完全平方公式的识记与应用，解题时需注意不要遗漏公式中的两倍交叉项，同时要正确计算系数的平方，避免出现$(3a)^2=3a^2$这类常见错误。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方和公式的应用，解题时首先回忆完全平方和公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，先确定公式中对应$m$、$n$的项，本题中$m=3a$，$n=b$，再将对应项代入公式展开，分别计算每一项的结果后合并即可得到最终结果。
【解析】
根据完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，把$m=3a$，$n=b$代入公式计算：
$\begin{split}(3a+b)^2&=(3a)^2+2×3a× b+b^2\\&=9a^2+6ab+b^2\end{split}$
【答案】
$9a^2+6ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式，积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对完全平方公式的识记与应用，解题时需注意不要遗漏公式中的两倍交叉项，同时要正确计算系数的平方，避免出现$(3a)^2=3a^2$这类常见错误。
【难度系数】
0.9
7.计算$x(x+2)+(x+1)^2 -4x=$
$2x^2+1$
.答案
7.$2x^2+1$
解析
【分析】
本题属于整式的混合运算题，解题思路遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：第一步先根据单项式乘多项式法则计算$x(x+2)$，第二步根据完全平方公式展开$(x+1)^2$，第三步去括号后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：按运算顺序逐步展开计算：
1. 计算单项式乘多项式：$x(x+2)=x^2+2x$
2. 用完全平方公式展开：$(x+1)^2=x^2+2x+1$
3. 代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^2+2x + x^2+2x+1 -4x\\&=(x^2+x^2)+(2x+2x-4x)+1\\&=2x^2+0+1\\&=2x^2+1\end{aligned}$
【答案】
$2x^2+1$
【知识点】
单项式乘多项式；完全平方公式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查整式混合运算的顺序和相关运算法则的应用，解题时要注意完全平方公式展开不要漏项，合并同类项时需准确判断同类项再计算。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的混合运算题，解题思路遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序：第一步先根据单项式乘多项式法则计算$x(x+2)$，第二步根据完全平方公式展开$(x+1)^2$，第三步去括号后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：按运算顺序逐步展开计算：
1. 计算单项式乘多项式：$x(x+2)=x^2+2x$
2. 用完全平方公式展开：$(x+1)^2=x^2+2x+1$
3. 代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^2+2x + x^2+2x+1 -4x\\&=(x^2+x^2)+(2x+2x-4x)+1\\&=2x^2+0+1\\&=2x^2+1\end{aligned}$
【答案】
$2x^2+1$
【知识点】
单项式乘多项式；完全平方公式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查整式混合运算的顺序和相关运算法则的应用，解题时要注意完全平方公式展开不要漏项，合并同类项时需准确判断同类项再计算。
【难度系数】
0.8
8.(2024,乐山,14)已知$a-b=3,ab=10$,则$a^2+b^2=$
29
.答案
8.29
解析
【分析】
本题已知$a-b$与$ab$的值，要求$a^2+b^2$，可联想到完全平方公式的变形。首先回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对公式进行移项变形，就能用已知的$a-b$和$ab$表示出$a^2+b^2$，再代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
将公式变形得：
$a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
把$a-b=3$，$ab=10$代入上式计算：
$a^2 + b^2 = 3^2 + 2×10 = 9 + 20 = 29$
【答案】
29
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方公式的变形运用能力，熟练掌握完全平方公式的常见变形形式是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题已知$a-b$与$ab$的值，要求$a^2+b^2$，可联想到完全平方公式的变形。首先回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对公式进行移项变形，就能用已知的$a-b$和$ab$表示出$a^2+b^2$，再代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
将公式变形得：
$a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
把$a-b=3$，$ab=10$代入上式计算：
$a^2 + b^2 = 3^2 + 2×10 = 9 + 20 = 29$
【答案】
29
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方公式的变形运用能力，熟练掌握完全平方公式的常见变形形式是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
9.已知$a^2 + b^2 = 8$，$(a + b)^2 = 20$，则$ab=$
6
。答案
9.6
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件和所求代数式的关系，联想到完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，展开式中刚好包含题目给出的$a^2+b^2$、$(a+b)^2$以及要求的$ab$，因此只需将已知条件代入展开式，通过简单的移项变形即可求出$ab$的值。
【解析】
解：根据完全平方和公式可得：
$\begin{aligned}(a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\2ab &= (a+b)^2 - (a^2 + b^2)\end{aligned}$
将$a^2 + b^2 = 8$，$(a + b)^2 = 20$代入上式：
$\begin{aligned}2ab &= 20 - 8 = 12 \\ab &= 12 ÷ 2 = 6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式、代数式变形、整式求值
【点评】
本题是乘法公式部分的常考基础题，核心考查完全平方公式的灵活应用，熟练掌握完全平方公式的展开形式和常用变形就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件和所求代数式的关系，联想到完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，展开式中刚好包含题目给出的$a^2+b^2$、$(a+b)^2$以及要求的$ab$，因此只需将已知条件代入展开式，通过简单的移项变形即可求出$ab$的值。
【解析】
解：根据完全平方和公式可得：
$\begin{aligned}(a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\2ab &= (a+b)^2 - (a^2 + b^2)\end{aligned}$
将$a^2 + b^2 = 8$，$(a + b)^2 = 20$代入上式：
$\begin{aligned}2ab &= 20 - 8 = 12 \\ab &= 12 ÷ 2 = 6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式、代数式变形、整式求值
【点评】
本题是乘法公式部分的常考基础题，核心考查完全平方公式的灵活应用，熟练掌握完全平方公式的展开形式和常用变形就能快速解题。
【难度系数】
0.8
10.若$a,b$满足$(a+b)^2=15(a-b)^2=3$,则$4ab=$
$\dfrac{14}{5}$
.答案
10.$\dfrac{14}{5}$
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方公式的展开结构，观察所求代数式4ab和两个完全平方式的关系：将$(a+b)^2$和$(a-b)^2$展开后相减，会消去$a^2$、$b^2$项，刚好得到$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。首先根据题干给出的连等式，分别求出$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值，再代入上述关系式即可求出结果，不需要单独计算a、b的具体值。
【解析】
由题意可得：
$\begin{cases}(a+b)^2=3 \\15(a-b)^2=3\end{cases}$
解得$(a-b)^2=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$
根据完全平方公式展开得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ②
用①式减②式得：
$(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$
将$(a+b)^2=3$，$(a-b)^2=\frac{1}{5}$代入得：
$4ab=3-\frac{1}{5}=\frac{14}{5}$
【答案】
$\dfrac{14}{5}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于完全平方公式的典型变形应用题，核心是掌握两个完全平方公式的差与ab的关系，通过整体代入的思路计算，避免单独求解未知数带来的繁琐计算，熟练掌握公式变形能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆完全平方公式的展开结构，观察所求代数式4ab和两个完全平方式的关系：将$(a+b)^2$和$(a-b)^2$展开后相减，会消去$a^2$、$b^2$项，刚好得到$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。首先根据题干给出的连等式，分别求出$(a+b)^2$和$(a-b)^2$的值，再代入上述关系式即可求出结果，不需要单独计算a、b的具体值。
【解析】
由题意可得：
$\begin{cases}(a+b)^2=3 \\15(a-b)^2=3\end{cases}$
解得$(a-b)^2=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$
根据完全平方公式展开得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ②
用①式减②式得：
$(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$
将$(a+b)^2=3$，$(a-b)^2=\frac{1}{5}$代入得：
$4ab=3-\frac{1}{5}=\frac{14}{5}$
【答案】
$\dfrac{14}{5}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于完全平方公式的典型变形应用题，核心是掌握两个完全平方公式的差与ab的关系，通过整体代入的思路计算，避免单独求解未知数带来的繁琐计算，熟练掌握公式变形能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
11.计算：
(1)$(1-3x)^2+(x-2)(x+3)$；
(2)$(a+\dfrac{1}{2}b)^2(a-\dfrac{1}{2}b)^2$。
(1)$(1-3x)^2+(x-2)(x+3)$；
(2)$(a+\dfrac{1}{2}b)^2(a-\dfrac{1}{2}b)^2$。
答案
11.解:(1)原式$=1-6x+9x^2+x^2+x-6$
$=10x^2-5x-5$.
(2)原式$=[(a+\dfrac{1}{2}b)(a-\dfrac{1}{2}b)]^2$
$=(a^2-\dfrac{1}{4}b^2)^2$
$=a^4-\dfrac{1}{2}a^2b^2+\dfrac{1}{16}b^4$.
$=10x^2-5x-5$.
(2)原式$=[(a+\dfrac{1}{2}b)(a-\dfrac{1}{2}b)]^2$
$=(a^2-\dfrac{1}{4}b^2)^2$
$=a^4-\dfrac{1}{2}a^2b^2+\dfrac{1}{16}b^4$.
解析
【分析】
(1) 本题为整式加法运算，解题思路为先分别展开两个整式：首先对$(1-3x)^2$使用完全平方公式展开，再对$(x-2)(x+3)$用多项式乘多项式法则计算，最后合并同类项即可得到结果。
(2) 观察式子发现两个乘方的底数符合平方差公式的结构，因此先逆用积的乘方公式$a^2b^2=(ab)^2$，将原式转化为$[(a+\dfrac{1}{2}b)(a-\dfrac{1}{2}b)]^2$，先计算括号内的平方差，再对结果使用完全平方公式展开，可简化计算步骤。
【解析】
(1) 先根据完全平方公式展开：$(1-3x)^2=1-6x+9x^2$
再根据多项式乘多项式法则计算：$(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$
合并同类项得：
原式$=1-6x+9x^2+x^2+x-6$
$=10x^2-5x-5$
(2) 逆用积的乘方公式变形得：
原式$=[(a+\dfrac{1}{2}b)(a-\dfrac{1}{2}b)]^2$
根据平方差公式计算括号内的运算：$(a+\dfrac{1}{2}b)(a-\dfrac{1}{2}b)=a^2-\dfrac{1}{4}b^2$
再根据完全平方公式展开：
原式$=(a^2-\dfrac{1}{4}b^2)^2$
$=a^4-\dfrac{1}{2}a^2b^2+\dfrac{1}{16}b^4$
【答案】
(1)$10x^2-5x-5$
(2)$a^4-\dfrac{1}{2}a^2b^2+\dfrac{1}{16}b^4$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式混合运算
【点评】
本题侧重考查乘法公式的掌握与灵活运用，解题时先观察式子结构，选择合适的公式或运算律可大幅简化计算、降低出错概率，需要熟练掌握各乘法公式的结构特征。
【难度系数】
0.8
(1) 本题为整式加法运算，解题思路为先分别展开两个整式：首先对$(1-3x)^2$使用完全平方公式展开，再对$(x-2)(x+3)$用多项式乘多项式法则计算，最后合并同类项即可得到结果。
(2) 观察式子发现两个乘方的底数符合平方差公式的结构，因此先逆用积的乘方公式$a^2b^2=(ab)^2$，将原式转化为$[(a+\dfrac{1}{2}b)(a-\dfrac{1}{2}b)]^2$，先计算括号内的平方差，再对结果使用完全平方公式展开，可简化计算步骤。
【解析】
(1) 先根据完全平方公式展开：$(1-3x)^2=1-6x+9x^2$
再根据多项式乘多项式法则计算：$(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$
合并同类项得：
原式$=1-6x+9x^2+x^2+x-6$
$=10x^2-5x-5$
(2) 逆用积的乘方公式变形得：
原式$=[(a+\dfrac{1}{2}b)(a-\dfrac{1}{2}b)]^2$
根据平方差公式计算括号内的运算：$(a+\dfrac{1}{2}b)(a-\dfrac{1}{2}b)=a^2-\dfrac{1}{4}b^2$
再根据完全平方公式展开：
原式$=(a^2-\dfrac{1}{4}b^2)^2$
$=a^4-\dfrac{1}{2}a^2b^2+\dfrac{1}{16}b^4$
【答案】
(1)$10x^2-5x-5$
(2)$a^4-\dfrac{1}{2}a^2b^2+\dfrac{1}{16}b^4$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式混合运算
【点评】
本题侧重考查乘法公式的掌握与灵活运用，解题时先观察式子结构，选择合适的公式或运算律可大幅简化计算、降低出错概率，需要熟练掌握各乘法公式的结构特征。
【难度系数】
0.8
