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12.先化简,再求值:$[(x-2y)^2-(x+y)(x-3y)]÷(-y)$,其中$(x+1)^2+\left|y-\dfrac{1}{2}\right|=0$.
答案
12.解:$[(x-2y)^2-(x+y)(x-3y)]÷(-y)$
$=[x^2-4xy+4y^2-(x^2-3xy+xy-3y^2)]÷(-y)$
$=(x^2-4xy+4y^2-x^2+2xy+3y^2)÷(-y)$
$=(-2xy+7y^2)÷(-y)$
$=2x-7y$.
$\because (x+1)^2+\left|y-\dfrac{1}{2}\right|=0$,
$\therefore x=-1,y=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$原式$=2×(-1)-7×\dfrac{1}{2}=-2-\dfrac{7}{2}=-\dfrac{11}{2}$.
$=[x^2-4xy+4y^2-(x^2-3xy+xy-3y^2)]÷(-y)$
$=(x^2-4xy+4y^2-x^2+2xy+3y^2)÷(-y)$
$=(-2xy+7y^2)÷(-y)$
$=2x-7y$.
$\because (x+1)^2+\left|y-\dfrac{1}{2}\right|=0$,
$\therefore x=-1,y=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore$原式$=2×(-1)-7×\dfrac{1}{2}=-2-\dfrac{7}{2}=-\dfrac{11}{2}$.
解析
【分析】
本题需分化简和求值两步完成。第一步先化简整式：先分别用完全平方公式展开$(x-2y)^2$，用多项式乘多项式法则计算$(x+y)(x-3y)$，去括号时注意各项符号的变化，合并同类项后再做整式除法得到最简结果；第二步根据平方和绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出x、y的取值，最后代入最简式计算即可得到答案。
【解析】
$[(x-2y)^2-(x+y)(x-3y)]÷(-y)$
$=[x^2-4xy+4y^2-(x^2-3xy+xy-3y^2)]÷(-y)$
$=(x^2-4xy+4y^2-x^2+2xy+3y^2)÷(-y)$
$=(-2xy+7y^2)÷(-y)$
$=2x-7y$
$\because (x+1)^2+\left|y-\dfrac{1}{2}\right|=0$，且$(x+1)^2≥0$，$\left|y-\dfrac{1}{2}\right|≥0$
$\therefore x+1=0$，$y-\dfrac{1}{2}=0$，解得$x=-1$，$y=\dfrac{1}{2}$
将$x=-1$，$y=\dfrac{1}{2}$代入$2x-7y$得：
原式$=2×(-1)-7×\dfrac{1}{2}=-2-\dfrac{7}{2}=-\dfrac{11}{2}$
【答案】
$-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
整式的混合运算，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，解题关键是正确运用乘法公式展开、注意去括号的符号变化，熟练掌握非负数的性质可快速求出未知数的取值，计算时需细心避免运算失误。
【难度系数】
0.7
本题需分化简和求值两步完成。第一步先化简整式：先分别用完全平方公式展开$(x-2y)^2$，用多项式乘多项式法则计算$(x+y)(x-3y)$，去括号时注意各项符号的变化，合并同类项后再做整式除法得到最简结果；第二步根据平方和绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出x、y的取值，最后代入最简式计算即可得到答案。
【解析】
$[(x-2y)^2-(x+y)(x-3y)]÷(-y)$
$=[x^2-4xy+4y^2-(x^2-3xy+xy-3y^2)]÷(-y)$
$=(x^2-4xy+4y^2-x^2+2xy+3y^2)÷(-y)$
$=(-2xy+7y^2)÷(-y)$
$=2x-7y$
$\because (x+1)^2+\left|y-\dfrac{1}{2}\right|=0$，且$(x+1)^2≥0$，$\left|y-\dfrac{1}{2}\right|≥0$
$\therefore x+1=0$，$y-\dfrac{1}{2}=0$，解得$x=-1$，$y=\dfrac{1}{2}$
将$x=-1$，$y=\dfrac{1}{2}$代入$2x-7y$得：
原式$=2×(-1)-7×\dfrac{1}{2}=-2-\dfrac{7}{2}=-\dfrac{11}{2}$
【答案】
$-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
整式的混合运算，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，解题关键是正确运用乘法公式展开、注意去括号的符号变化，熟练掌握非负数的性质可快速求出未知数的取值，计算时需细心避免运算失误。
【难度系数】
0.7
1.若$x=2^m -1$，$y=3-4^m$，则$y$与$x$满足的关系式为(
A.$y=-x^2 -2x +2$
B.$y=-x^2 -2x +4$
C.$y=-2x +2$
D.$y=-x^2 +4$
A
).A.$y=-x^2 -2x +2$
B.$y=-x^2 -2x +4$
C.$y=-2x +2$
D.$y=-x^2 +4$
答案
1.A
解析
【分析】
要找到y与x的关系式，需要消去中间变量m。首先从x的表达式中用含x的代数式表示出$2^m$，再利用幂的乘方的性质，将y表达式中的$4^m$转化为$(2^m)^2$，最后把$2^m$替换成含x的代数式，展开化简即可得到结果。
【解析】
解：已知$x=2^m -1$，移项可得：
$2^m = x + 1$
又因为$4^m=(2^2)^m=(2^m)^2$，将$y=3-4^m$中的$4^m$替换，再代入$2^m = x + 1$得：
$y=3-(2^m)^2=3-(x+1)^2$
根据完全平方公式展开$(x+1)^2=x^2+2x+1$，代入上式化简：
$y=3-(x^2+2x+1)=3-x^2-2x-1=-x^2-2x+2$
因此y与x满足的关系式为$y=-x^2 -2x +2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；完全平方公式；代数式消元
【点评】
本题核心是通过消去中间参数m建立两个变量的关系，解题关键是灵活运用幂的乘方性质将$4^m$转化为$(2^m)^2$，再结合乘法公式展开化简，属于常规基础题型，掌握相关运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要找到y与x的关系式，需要消去中间变量m。首先从x的表达式中用含x的代数式表示出$2^m$，再利用幂的乘方的性质，将y表达式中的$4^m$转化为$(2^m)^2$，最后把$2^m$替换成含x的代数式，展开化简即可得到结果。
【解析】
解：已知$x=2^m -1$，移项可得：
$2^m = x + 1$
又因为$4^m=(2^2)^m=(2^m)^2$，将$y=3-4^m$中的$4^m$替换，再代入$2^m = x + 1$得：
$y=3-(2^m)^2=3-(x+1)^2$
根据完全平方公式展开$(x+1)^2=x^2+2x+1$，代入上式化简：
$y=3-(x^2+2x+1)=3-x^2-2x-1=-x^2-2x+2$
因此y与x满足的关系式为$y=-x^2 -2x +2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；完全平方公式；代数式消元
【点评】
本题核心是通过消去中间参数m建立两个变量的关系，解题关键是灵活运用幂的乘方性质将$4^m$转化为$(2^m)^2$，再结合乘法公式展开化简，属于常规基础题型，掌握相关运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
2.(2022,南通,10)已知实数$m,n$满足$m^2+n^2=2+mn$,则$(2m-3n)^2+(m+2n)(m-2n)$的最大值为(
A.$24$
B.$\frac{44}{3}$
C.$\frac{16}{3}$
D.$-4$
B
).A.$24$
B.$\frac{44}{3}$
C.$\frac{16}{3}$
D.$-4$
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路分为三步：首先利用已学的乘法公式（完全平方公式、平方差公式）将待求代数式展开并合并同类项化简；其次结合已知条件$m^2+n^2=2+mn$，把化简后的式子转化为仅含$mn$的代数式；最后根据完全平方的非负性求出$mn$的取值范围，结合代数式的增减性即可求出最大值。
【解析】
1. 化简待求代数式：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$；
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(m+2n)(m-2n)=m^2-4n^2$；
合并同类项得：
$\begin{aligned}原式&=4m^2-12mn+9n^2+m^2-4n^2\\&=5m^2+5n^2-12mn\\&=5(m^2+n^2)-12mn\end{aligned}$
2. 代入已知条件简化：
将$m^2+n^2=2+mn$代入上式，得：
$\begin{aligned}原式&=5(2+mn)-12mn\\&=10+5mn-12mn\\&=10-7mn\end{aligned}$
3. 求$mn$的取值范围：
由完全平方的非负性$(m-n)^2≥0$，展开得$m^2+n^2≥2mn$，代入已知条件得：
$2+mn≥2mn$，解得$mn≤2$；
由完全平方的非负性$(m+n)^2≥0$，展开得$m^2+n^2≥-2mn$，代入已知条件得：
$2+mn≥-2mn$，移项得$3mn≥-2$，解得$mn≥-\frac{2}{3}$。
4. 求最大值：
代数式$10-7mn$中，$mn$的系数为负，因此$mn$取最小值时，代数式的值最大。
$mn$的最小值为$-\frac{2}{3}$，代入得：
最大值$=10-7×(-\frac{2}{3})=10+\frac{14}{3}=\frac{44}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
乘法公式，完全平方非负性，代数式最值
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是先将待求式转化为和已知条件相关的形式，再通过完全平方的非负性确定未知项的取值范围，对整式运算和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三步：首先利用已学的乘法公式（完全平方公式、平方差公式）将待求代数式展开并合并同类项化简；其次结合已知条件$m^2+n^2=2+mn$，把化简后的式子转化为仅含$mn$的代数式；最后根据完全平方的非负性求出$mn$的取值范围，结合代数式的增减性即可求出最大值。
【解析】
1. 化简待求代数式：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(2m-3n)^2=4m^2-12mn+9n^2$；
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(m+2n)(m-2n)=m^2-4n^2$；
合并同类项得：
$\begin{aligned}原式&=4m^2-12mn+9n^2+m^2-4n^2\\&=5m^2+5n^2-12mn\\&=5(m^2+n^2)-12mn\end{aligned}$
2. 代入已知条件简化：
将$m^2+n^2=2+mn$代入上式，得：
$\begin{aligned}原式&=5(2+mn)-12mn\\&=10+5mn-12mn\\&=10-7mn\end{aligned}$
3. 求$mn$的取值范围：
由完全平方的非负性$(m-n)^2≥0$，展开得$m^2+n^2≥2mn$，代入已知条件得：
$2+mn≥2mn$，解得$mn≤2$；
由完全平方的非负性$(m+n)^2≥0$，展开得$m^2+n^2≥-2mn$，代入已知条件得：
$2+mn≥-2mn$，移项得$3mn≥-2$，解得$mn≥-\frac{2}{3}$。
4. 求最大值：
代数式$10-7mn$中，$mn$的系数为负，因此$mn$取最小值时，代数式的值最大。
$mn$的最小值为$-\frac{2}{3}$，代入得：
最大值$=10-7×(-\frac{2}{3})=10+\frac{14}{3}=\frac{44}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
乘法公式，完全平方非负性，代数式最值
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是先将待求式转化为和已知条件相关的形式，再通过完全平方的非负性确定未知项的取值范围，对整式运算和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3.不论$a$，$b$取任何实数，式子$4a^2 + b^2 -12a +4b +14$的值一定为
正
。（填“正”或“负”）答案
3.正
解析
【分析】
要判断给定代数式的正负性，对于含多个二次项的代数式，通常采用配方法求解：先将含相同字母的项分组，再分别配成完全平方式，结合完全平方式的非负性，就能得到整个代数式的取值范围，进而判断正负。
【解析】
对原式进行配方变形：
$\begin{aligned}4a^2 + b^2 -12a +4b +14&=(4a^2 -12a +9)+(b^2 +4b +4)+1\\&=(2a-3)^2 + (b+2)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的非负性可得：$(2a-3)^2≥0$，$(b+2)^2≥0$，因此：
$(2a-3)^2 + (b+2)^2 +1≥ 0+0+1=1＞0$
即无论a、b取何实数，原式的值恒大于0。
【答案】
正
【知识点】
完全平方公式；配方法；非负数的性质
【点评】
本题是乘法公式应用的基础题型，核心是利用配方法将原式转化为多个非负式与常数的和，进而判断代数式的取值符号，要求熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用配方法对代数式变形。
【难度系数】
0.7
要判断给定代数式的正负性，对于含多个二次项的代数式，通常采用配方法求解：先将含相同字母的项分组，再分别配成完全平方式，结合完全平方式的非负性，就能得到整个代数式的取值范围，进而判断正负。
【解析】
对原式进行配方变形：
$\begin{aligned}4a^2 + b^2 -12a +4b +14&=(4a^2 -12a +9)+(b^2 +4b +4)+1\\&=(2a-3)^2 + (b+2)^2 +1\end{aligned}$
根据平方的非负性可得：$(2a-3)^2≥0$，$(b+2)^2≥0$，因此：
$(2a-3)^2 + (b+2)^2 +1≥ 0+0+1=1＞0$
即无论a、b取何实数，原式的值恒大于0。
【答案】
正
【知识点】
完全平方公式；配方法；非负数的性质
【点评】
本题是乘法公式应用的基础题型，核心是利用配方法将原式转化为多个非负式与常数的和，进而判断代数式的取值符号，要求熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用配方法对代数式变形。
【难度系数】
0.7
4.(2023,江苏宿迁,17)若实数$m$满足$(m-2023)^2 + (2024 - m)^2 = 2025$，则$(m-2023)·(2024 - m) =$
$-1\ 012$
答案
4.$-1\ 012$
解析
【分析】
观察已知等式和所求式子的结构，发现两个底数$m-2023$与$2024-m$相加的和是固定常数，因此可以利用完全平方公式的变形求解。首先设两个底数分别为$a$和$b$，先计算$a+b$的值，再结合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知的$a^2+b^2$的值代入，即可求出$ab$也就是所求式子的值。
【解析】
设$a = m - 2023$，$b = 2024 - m$，
则$a + b = (m - 2023) + (2024 - m) = 1$，
已知$a^2 + b^2 = 2025$，
根据完全平方公式变形可得：
$ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}$
代入数值计算：
$ab = \frac{1^2 - 2025}{2} = \frac{1 - 2025}{2} = \frac{-2024}{2} = -1012$
即$(m - 2023)·(2024 - m) = -1012$
【答案】
$-1012$
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活应用，通过换元能简化复杂的代数式结构，快速建立已知条件和待求式之间的联系，避免了直接展开原式计算的繁琐，是乘法公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
观察已知等式和所求式子的结构，发现两个底数$m-2023$与$2024-m$相加的和是固定常数，因此可以利用完全平方公式的变形求解。首先设两个底数分别为$a$和$b$，先计算$a+b$的值，再结合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将已知的$a^2+b^2$的值代入，即可求出$ab$也就是所求式子的值。
【解析】
设$a = m - 2023$，$b = 2024 - m$，
则$a + b = (m - 2023) + (2024 - m) = 1$，
已知$a^2 + b^2 = 2025$，
根据完全平方公式变形可得：
$ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}$
代入数值计算：
$ab = \frac{1^2 - 2025}{2} = \frac{1 - 2025}{2} = \frac{-2024}{2} = -1012$
即$(m - 2023)·(2024 - m) = -1012$
【答案】
$-1012$
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活应用，通过换元能简化复杂的代数式结构，快速建立已知条件和待求式之间的联系，避免了直接展开原式计算的繁琐，是乘法公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
5.若$a＜b＜0,a^2+b^2=\frac{5}{2}ab$,求$\frac{a+b}{a-b}$的值.(提示:先求$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$)
答案
5.解:$\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\dfrac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}=\dfrac{\dfrac{9}{2}ab}{\dfrac{1}{2}ab}=9$.
$\because a＜b＜0,\therefore \dfrac{a+b}{a-b}＞0$.
$\therefore \dfrac{a+b}{a-b}=3$.
$\because a＜b＜0,\therefore \dfrac{a+b}{a-b}＞0$.
$\therefore \dfrac{a+b}{a-b}=3$.
解析
【分析】
本题要求分式$\frac{a+b}{a-b}$的值，直接计算无法得出结果，根据提示可先计算它的平方$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$。首先利用完全平方公式将分子、分母展开，发现展开式中都含有$a^2+b^2$，正好可以代入已知条件$a^2+b^2=\frac{5}{2}ab$进行整体代换，求出平方的值后，再根据$a＜b＜0$的条件判断$\frac{a+b}{a-b}$的正负，最后开平方即可得到结果。
【解析】
先计算所求分式的平方：
$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-2ab+b^2}$
将$a^2+b^2=\frac{5}{2}ab$代入上式，分子变为$\frac{5}{2}ab+2ab=\frac{9}{2}ab$，分母变为$\frac{5}{2}ab-2ab=\frac{1}{2}ab$，因此：
$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{\frac{9}{2}ab}{\frac{1}{2}ab}=9$
接下来判断$\frac{a+b}{a-b}$的符号：
$\because a＜b＜0$，$\therefore a+b$是两个负数相加，结果为负；$a-b$是较小的数减较大的数，结果也为负。
负数除以负数结果为正，$\therefore \frac{a+b}{a-b}＞0$
对$(\frac{a+b}{a-b})^2=9$开平方，取正值得：
$\frac{a+b}{a-b}=3$
【答案】
$3$
【知识点】
完全平方公式；分式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题关键是灵活运用完全平方公式，通过“先平方再求值”的技巧结合整体代入法简化计算，同时要注意根据已知的字母取值范围判断代数式的符号，避免漏判符号导致多解错误。
【难度系数】
0.6
本题要求分式$\frac{a+b}{a-b}$的值，直接计算无法得出结果，根据提示可先计算它的平方$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$。首先利用完全平方公式将分子、分母展开，发现展开式中都含有$a^2+b^2$，正好可以代入已知条件$a^2+b^2=\frac{5}{2}ab$进行整体代换，求出平方的值后，再根据$a＜b＜0$的条件判断$\frac{a+b}{a-b}$的正负，最后开平方即可得到结果。
【解析】
先计算所求分式的平方：
$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-2ab+b^2}$
将$a^2+b^2=\frac{5}{2}ab$代入上式，分子变为$\frac{5}{2}ab+2ab=\frac{9}{2}ab$，分母变为$\frac{5}{2}ab-2ab=\frac{1}{2}ab$，因此：
$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{\frac{9}{2}ab}{\frac{1}{2}ab}=9$
接下来判断$\frac{a+b}{a-b}$的符号：
$\because a＜b＜0$，$\therefore a+b$是两个负数相加，结果为负；$a-b$是较小的数减较大的数，结果也为负。
负数除以负数结果为正，$\therefore \frac{a+b}{a-b}＞0$
对$(\frac{a+b}{a-b})^2=9$开平方，取正值得：
$\frac{a+b}{a-b}=3$
【答案】
$3$
【知识点】
完全平方公式；分式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题关键是灵活运用完全平方公式，通过“先平方再求值”的技巧结合整体代入法简化计算，同时要注意根据已知的字母取值范围判断代数式的符号，避免漏判符号导致多解错误。
【难度系数】
0.6
