1.已知$a - b = 3$，$a + c = 5$，$b - c = 7$，则$a^2 - b^2$的值等于（）。

A.15
B.36
C.56
D.105

1.B

【分析】
要求$a^2 - b^2$的值，首先回忆平方差公式，可将其变形为$(a-b)(a+b)$，已知$a-b=3$，因此只需先求出$a+b$的值即可。观察给出的另外两个已知等式$a+c=5$和$b-c=7$，发现将两个等式左右两边分别相加，可抵消未知数$c$，直接得到$a+b$的值，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 由平方差公式可得：$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，已知$a-b=3$，待求$a+b$的值。
2. 将$a+c=5$和$b-c=7$两个等式左右两边分别相加：
$(a+c)+(b-c)=5+7$
化简得：$a+b=12$
3. 将$a-b=3$、$a+b=12$代入平方差公式得：
$a^2 - b^2=3×12=36$
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式加减运算
3. 代数式求值
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活运用，解题时无需单独计算$a$、$b$的具体值，通过观察已知等式的特点，用加减消元的方法得到$a+b$的值，整体代入计算更加简便，公式的熟练掌握和整体代入思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2.如图,四边形ABCD是长方形,四边形ABMN是面积为15的正方形,点M,N分别在BC,AD上,点E,F在MN上,点G,H在CD上,且四边形EFGH是正方形,连接AE,DE,BF,CF,若图中阴影部分的总面积为6,则正方形EFGH的面积为().


A.6
B.5
C.4
D.3

2.D

【分析】
解题时先观察阴影部分的构成，阴影由△AED和△BFC两个三角形组成。我们可以结合三角形面积公式、正方形的性质，通过推导消去中间未知量，得到阴影面积和两个正方形面积的关系，再代入已知数据计算即可。首先回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$，再结合两个三角形的底相同、高的差等于小正方形边长的特点，利用平方差公式化简求解。
【解析】
设正方形$ABMN$的边长为$a$，正方形$EFGH$的边长为$x$。
由题意得正方形$ABMN$的面积$a^2=15$，且$AD=BC=a+x$。
阴影部分总面积为两个三角形面积之和：
$S_{阴影}=S_{△ AED}+S_{△ BFC}$
其中$△ AED$的底为$AD=a+x$，高为点$E$到$AD$的距离；$△ BFC$的底为$BC=a+x$，高为点$F$到$BC$的距离。
因为$E$、$F$在$MN$上，$EF=x$，所以两个三角形的高相加的结果为$a-x$，代入面积公式可得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×(a+x)×(a-x)=\frac{1}{2}(a^2-x^2)$
将$S_{阴影}=6$，$a^2=15$代入上式：
$6=\frac{1}{2}(15-x^2)$
两边同乘2得：$12=15-x^2$
解得$x^2=3$，即正方形$EFGH$的面积为3。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算，平方差公式，正方形的性质
【点评】
本题的核心是通过面积推导消去中间未知量，不需要求出各边的具体长度，利用整体代入的方法即可求解，解题时要注意挖掘图形中隐藏的线段等量关系，结合乘法公式简化计算。
【难度系数】
0.6

3.已知$4a^2 -9b^2=12,-2a+3b=3$,则$a,b$的值分别等于.

3.$-\frac{7}{4},-\frac{1}{6}$

【分析】
解题时首先观察第一个等式左边的多项式$4a^2-9b^2$符合平方差公式的结构特征，可先利用平方差公式因式分解，再结合第二个已知条件$-2a+3b=3$，求出$2a+3b$的值，最后联立两个关于a、b的一次方程，解二元一次方程组即可得到a、b的取值。
【解析】
1. 对$4a^2-9b^2$利用平方差公式因式分解：
$4a^2-9b^2=(2a+3b)(2a-3b)=12$
2. 由已知$-2a+3b=3$，变形可得：$2a-3b=-3$
3. 将$2a-3b=-3$代入因式分解后的式子，得：
$(2a+3b)×(-3)=12$
解得$2a+3b=-4$
4. 联立方程组：
$\begin{cases}2a-3b=-3 \\2a+3b=-4 \end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得：
$4a=-7$，解得$a=-\frac{7}{4}$
把$a=-\frac{7}{4}$代入$2a+3b=-4$，得：
$2×(-\frac{7}{4})+3b=-4$
化简得$-\frac{7}{2}+3b=-4$，解得$3b=-\frac{1}{2}$，即$b=-\frac{1}{6}$
【答案】
$-\frac{7}{4},-\frac{1}{6}$
【知识点】
平方差公式，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是因式分解与方程求解结合的典型习题，解题核心是灵活运用平方差公式将二次多项式转化为一次式，从而将问题转化为熟悉的二元一次方程组求解，能有效考查对乘法公式的运用能力和方程求解能力。
【难度系数】
0.6

4.若$a+b$的值是$-2$,则$(a+b+1)(1-a-b)$的值为.

4.$-3$

【分析】
解题时不需要单独求出a、b的具体值，观察所求代数式的结构，发现其中含有a+b和-(a+b)的部分，而已知条件直接给出了a+b的取值，因此采用整体代入法，把a+b看作一个整体代入代数式计算即可。首先将原式变形为含(a+b)的形式，再代入a+b=-2计算结果。
【解析】
已知$a+b=-2$，先对所求代数式变形：
$(a+b+1)(1-a-b) = [(a+b)+1][1-(a+b)]$
将$a+b=-2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(-2 + 1)×[1 - (-2)]\\&=(-1)×(1+2)\\&=(-1)×3\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
$-3$
【知识点】
整体代入思想；代数式求值；整式乘法运算
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的数学思想，避免拆分计算a、b的值可以大幅简化运算步骤，是整式运算类题目的常见考法。
【难度系数】
0.8

5.利用平方差公式计算：$\frac{2}{3}×(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3^2})(1+\frac{1}{3^4})(1+\frac{1}{3^8})+\frac{1}{3^{16}}.$

5.解:原式$=(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3^2})(1+\frac{1}{3^4})(1+\frac{1}{3^8})+\frac{1}{3^{16}}$
$=(1-\frac{1}{3^2})(1+\frac{1}{3^2})(1+\frac{1}{3^4})(1+\frac{1}{3^8})+\frac{1}{3^{16}}$
$=(1-\frac{1}{3^4})(1+\frac{1}{3^4})(1+\frac{1}{3^8})+\frac{1}{3^{16}}$
$=(1-\frac{1}{3^8})(1+\frac{1}{3^8})+\frac{1}{3^{16}}$
$=1-\frac{1}{3^{16}}+\frac{1}{3^{16}}=1.$

【分析】
首先回忆平方差公式：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，观察式子特征，第一个因数$\frac{2}{3}$恰好可以写成$1-\frac{1}{3}$，这样就能和后面的$(1+\frac{1}{3})$组成平方差公式的结构，后续每次运算得到的差式，都能和下一个括号里的和式再次应用平方差公式，逐步化简后就能和末尾的$\frac{1}{3^{16}}$抵消，得到最终结果。
【解析】
解：原式$=(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3^2})(1+\frac{1}{3^4})(1+\frac{1}{3^8})+\frac{1}{3^{16}}$
$=(1-\frac{1}{3^2})(1+\frac{1}{3^2})(1+\frac{1}{3^4})(1+\frac{1}{3^8})+\frac{1}{3^{16}}$
$=(1-\frac{1}{3^4})(1+\frac{1}{3^4})(1+\frac{1}{3^8})+\frac{1}{3^{16}}$
$=(1-\frac{1}{3^8})(1+\frac{1}{3^8})+\frac{1}{3^{16}}$
$=1-\frac{1}{3^{16}}+\frac{1}{3^{16}}$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
平方差公式、有理数混合运算
【点评】
本题是平方差公式的典型应用类题目，解题的核心是通过对已知项的变形，构造出平方差公式的适用结构，避免直接硬算带来的繁琐运算，考查了对公式的灵活运用能力和式子结构的观察能力。
【难度系数】
0.6