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一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
名师微课
1.若$y=(a-4)x^{|a|-2}+7x-5$是二次函数,则a的值为 （
A.－4
B.4
C.±4
D.±2
名师微课
1.若$y=(a-4)x^{|a|-2}+7x-5$是二次函数,则a的值为 （
A
）A.－4
B.4
C.±4
D.±2
答案
1.A
解析
【分析】
要确定参数a的取值，需紧扣二次函数的定义判定：二次函数需要同时满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。解题时先根据最高次数为2列方程求出a的所有可能值，再根据二次项系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：
$|a|-2=2$，解得$|a|=4$，即$a=4$或$a=-4$；
2. 二次项系数不为0：
$a-4≠0$，解得$a≠4$。
结合两个条件，排除$a=4$，可得$a=-4$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、绝对值方程求解、不等式求解
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，误选C选项。解题时要完整覆盖定义的所有约束条件，避免遗漏关键限制。
【难度系数】
0.7
要确定参数a的取值，需紧扣二次函数的定义判定：二次函数需要同时满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。解题时先根据最高次数为2列方程求出a的所有可能值，再根据二次项系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：
$|a|-2=2$，解得$|a|=4$，即$a=4$或$a=-4$；
2. 二次项系数不为0：
$a-4≠0$，解得$a≠4$。
结合两个条件，排除$a=4$，可得$a=-4$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、绝对值方程求解、不等式求解
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，误选C选项。解题时要完整覆盖定义的所有约束条件，避免遗漏关键限制。
【难度系数】
0.7
2.已知一次函数$y=ax+b$与反比例函数$y=\frac{c}{x}$的图像如图所示，则$y=ax^2+bx-c$的图像可能是（
A
C
D
C
）A
C
D
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察已知的一次函数、反比例函数的图像特征，分别判断出系数a、b、c的符号；再结合二次函数的性质，从开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置三个维度逐一分析选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
第一步：判断a、b、c的符号
① 一次函数$y=ax+b$的图像呈下降趋势，因此斜率$a＜0$；图像与y轴交于正半轴，因此截距$b＞0$。
② 反比例函数$y=\frac{c}{x}$的图像分布在第二、四象限，因此$c＜0$。
第二步：分析二次函数$y=ax^2+bx-c$的性质，逐一排除选项
1. 开口方向：二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下，四个选项均符合该特征，无法排除。
2. 与y轴交点：当$x=0$时，$y=-c$，已知$c＜0$，因此$-c＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴。选项A、D的抛物线与y轴交于负半轴，排除A、D。
3. 对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，已知$a＜0$、$b＞0$，代入可得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧。选项B的对称轴在y轴左侧，排除B。
综上，只有选项C符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于函数图像综合类题目，核心考查数形结合思想，解题的关键是先由已知函数图像推导系数符号，再结合二次函数的各项性质逐一筛选选项，是函数部分的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察已知的一次函数、反比例函数的图像特征，分别判断出系数a、b、c的符号；再结合二次函数的性质，从开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置三个维度逐一分析选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
第一步：判断a、b、c的符号
① 一次函数$y=ax+b$的图像呈下降趋势，因此斜率$a＜0$；图像与y轴交于正半轴，因此截距$b＞0$。
② 反比例函数$y=\frac{c}{x}$的图像分布在第二、四象限，因此$c＜0$。
第二步：分析二次函数$y=ax^2+bx-c$的性质，逐一排除选项
1. 开口方向：二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下，四个选项均符合该特征，无法排除。
2. 与y轴交点：当$x=0$时，$y=-c$，已知$c＜0$，因此$-c＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴。选项A、D的抛物线与y轴交于负半轴，排除A、D。
3. 对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，已知$a＜0$、$b＞0$，代入可得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧。选项B的对称轴在y轴左侧，排除B。
综上，只有选项C符合所有特征。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于函数图像综合类题目，核心考查数形结合思想，解题的关键是先由已知函数图像推导系数符号，再结合二次函数的各项性质逐一筛选选项，是函数部分的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
3.已知点$A(-3,y_1)$、$B(-2,y_2)$、$C(1,y_3)$都在抛物线$y=a(x-1)^2(a＞0)$的图像上，则$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系是（
A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
A
）A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
3.A
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式为顶点式，可先确定其对称轴与开口方向：已知a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=1。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值y越大，因此只需计算三个点到对称轴x=1的距离，比较距离大小即可得出y₁、y₂、y₃的大小关系。
【解析】
解：抛物线$y=a(x-1)^2(a＞0)$的对称轴为直线$x=1$，且开口向上，因此抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
分别计算三个点到对称轴$x=1$的距离：
点$A(-3,y_1)$到$x=1$的距离：$\vert -3 - 1\vert=4$；
点$B(-2,y_2)$到$x=1$的距离：$\vert -2 - 1\vert=3$；
点$C(1,y_3)$到$x=1$的距离：$\vert 1 - 1\vert=0$；
因为$0＜3＜4$，所以对应的函数值满足$y_3＜y_2＜y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图像性质、二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数图像上点的坐标特征的典型题，利用抛物线的对称性与开口方向对应的增减规律解题，比直接代入坐标计算函数值更高效，熟练掌握顶点式抛物线的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
首先观察抛物线解析式为顶点式，可先确定其对称轴与开口方向：已知a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=1。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值y越大，因此只需计算三个点到对称轴x=1的距离，比较距离大小即可得出y₁、y₂、y₃的大小关系。
【解析】
解：抛物线$y=a(x-1)^2(a＞0)$的对称轴为直线$x=1$，且开口向上，因此抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
分别计算三个点到对称轴$x=1$的距离：
点$A(-3,y_1)$到$x=1$的距离：$\vert -3 - 1\vert=4$；
点$B(-2,y_2)$到$x=1$的距离：$\vert -2 - 1\vert=3$；
点$C(1,y_3)$到$x=1$的距离：$\vert 1 - 1\vert=0$；
因为$0＜3＜4$，所以对应的函数值满足$y_3＜y_2＜y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图像性质、二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数图像上点的坐标特征的典型题，利用抛物线的对称性与开口方向对应的增减规律解题，比直接代入坐标计算函数值更高效，熟练掌握顶点式抛物线的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
4. 如图，已知射线OB分别与二次函数$y_1=ax^2$，$y_2=bx^2$的图像交于点A、B，且$OB=4OA$，则下列有关a、b的关系，判断正确的是（
A.$a=\frac{1}{16}b$
B.$a=\frac{1}{4}b$
C.$a=16b$
D.$a=4b$
D
）A.$a=\frac{1}{16}b$
B.$a=\frac{1}{4}b$
C.$a=16b$
D.$a=4b$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时先明确射线OB是过原点的直线，可设其解析式为y=kx（k＞0），点A、B分别是OB与两个二次函数的交点。由OB=4OA，结合同一条过原点射线上的点坐标成比例的性质，可知点B的横、纵坐标均为点A的4倍。我们可以先设点A的横坐标，再表示出点B的坐标，分别代入对应二次函数解析式，消去参数后即可得到a、b的关系。
【解析】
设射线OB的解析式为$y=kx(k＞0)$，设点A的横坐标为$m(m＞0)$。
因为$OB=4OA$，且A、B在同一条过原点的射线上，所以点B的横坐标为$4m$。
1. 求点A对应的解析式关系：
把$x=m$代入$y=kx$，得$y=km$，即$A(m,km)$，将A代入$y_1=ax^2$得：
$km=am^2$ ①
2. 求点B对应的解析式关系：
把$x=4m$代入$y=kx$，得$y=4km$，即$B(4m,4km)$，将B代入$y_2=bx^2$得：
$4km=b·(4m)^2=16bm^2$ ②
3. 联立推导a、b关系：
将①式的$km=am^2$代入②式，得：
$4am^2=16bm^2$
因为$m＞0$，$m^2≠0$，两边同时除以$m^2$得：
$4a=16b$，化简得$a=4b$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质，正比例函数的性质，坐标与线段长度的关系
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的基础应用题，解题核心是利用同射线上点的坐标比例特征，结合点在函数图像上时坐标满足函数解析式的性质，消去公共参数得到系数关系，解题思路清晰，是二次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确射线OB是过原点的直线，可设其解析式为y=kx（k＞0），点A、B分别是OB与两个二次函数的交点。由OB=4OA，结合同一条过原点射线上的点坐标成比例的性质，可知点B的横、纵坐标均为点A的4倍。我们可以先设点A的横坐标，再表示出点B的坐标，分别代入对应二次函数解析式，消去参数后即可得到a、b的关系。
【解析】
设射线OB的解析式为$y=kx(k＞0)$，设点A的横坐标为$m(m＞0)$。
因为$OB=4OA$，且A、B在同一条过原点的射线上，所以点B的横坐标为$4m$。
1. 求点A对应的解析式关系：
把$x=m$代入$y=kx$，得$y=km$，即$A(m,km)$，将A代入$y_1=ax^2$得：
$km=am^2$ ①
2. 求点B对应的解析式关系：
把$x=4m$代入$y=kx$，得$y=4km$，即$B(4m,4km)$，将B代入$y_2=bx^2$得：
$4km=b·(4m)^2=16bm^2$ ②
3. 联立推导a、b关系：
将①式的$km=am^2$代入②式，得：
$4am^2=16bm^2$
因为$m＞0$，$m^2≠0$，两边同时除以$m^2$得：
$4a=16b$，化简得$a=4b$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质，正比例函数的性质，坐标与线段长度的关系
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的基础应用题，解题核心是利用同射线上点的坐标比例特征，结合点在函数图像上时坐标满足函数解析式的性质，消去公共参数得到系数关系，解题思路清晰，是二次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
5 关于$x$的二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像如图所示，对称轴是直线$x=1$，有下列结论：①$abc＞0$；②$2a-b=0$；③$3a+c＜0$；④对于任意实数$m$，都有$m(am+b)≤a+b$；⑤方程$ax^2+(b+\frac{1}{2})x+c-1=0$有两个异号的实数根.其中正确的有（
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
D
）A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
5.D 解析:由图像可知 a＜0,对称轴为直线 x=1，
∴-b/(2a)=1,
∴b=-2a＞0.
∵抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴,根据函数图像可得 0＜c＜1，
∴abc＜0,故①错误,不符合题意;
∵b=-2a＞0，
∴2a+b=0,故②错误,不符合题意;
∵当 x=-1 时,a-b+c＜0,又 b=-2a,
∴a+2a+c＜0,即 3a+c＜0,故③正确,符合题意;
∵抛物线开口向下,对称轴为直线 x=1,
∴当 x=1 时,y 有最大值 a+b+c,
∴对于任意实数 m,都有 am²+bm+c≤a+b+c,即 m(am+b)≤a+b,故④正确,符合题意; 对于方程 ax²+(b+1/2)x+c-1=0 的解,即为 y=ax² + bx + c, y = -1/2x+1 的交点的横坐标，如图所示，方程 ax² +(b+1/2)x+c-1=0 有两个同号的实数根,故⑤错误,不符合题意。
解析
【分析】
解题时首先结合二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置，先确定a、b、c的符号及b与a的数量关系，再逐个分析每个结论：①通过a、b、c的符号判断乘积正负；②利用对称轴公式推导a、b的关系判断正误；③代入x=-1的函数值，结合b=-2a化简判断；④利用二次函数的最大值性质分析；⑤将方程变形为两个函数相等的形式，通过两个函数图像交点的横坐标符号判断根的符号。
【解析】
解：由二次函数图像可知：
1. 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，
∵$a＜0$，
∴$b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，且交点纵坐标小于1，
∴$0＜c＜1$。
逐个判断结论：
① $a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，
∴$abc＜0$，故①错误；
② 由$b=-2a$，得$2a+b=0$，故②$2a-b=0$错误；
③ 当$x=-1$时，对应图像上的点在x轴下方，即$y=a-b+c＜0$，将$b=-2a$代入得：$a - (-2a) + c = 3a + c ＜ 0$，故③正确；
④
∵抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，
∴$x=1$时函数取得最大值$a+b+c$，即对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c ≤ a+b+c$，两边消去$c$得$m(am+b) ≤ a+b$，故④正确；
⑤ 方程$ax^2+(b+\frac{1}{2})x+c-1=0$可变形为$ax^2+bx+c = -\frac{1}{2}x +1$，即求抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-\frac{1}{2}x+1$交点的横坐标，结合图像可知两个交点都在x轴正半轴，即两个根同号，故⑤错误。
综上，正确的结论是③④，共2个。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像与系数的关系，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的图像性质，需要结合图像分析系数符号、特殊点的函数值、函数最值以及函数与方程的联系，熟练掌握二次函数的基本性质，运用数形结合思想分析是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置，先确定a、b、c的符号及b与a的数量关系，再逐个分析每个结论：①通过a、b、c的符号判断乘积正负；②利用对称轴公式推导a、b的关系判断正误；③代入x=-1的函数值，结合b=-2a化简判断；④利用二次函数的最大值性质分析；⑤将方程变形为两个函数相等的形式，通过两个函数图像交点的横坐标符号判断根的符号。
【解析】
解：由二次函数图像可知：
1. 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，
∵$a＜0$，
∴$b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，且交点纵坐标小于1，
∴$0＜c＜1$。
逐个判断结论：
① $a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，
∴$abc＜0$，故①错误；
② 由$b=-2a$，得$2a+b=0$，故②$2a-b=0$错误；
③ 当$x=-1$时，对应图像上的点在x轴下方，即$y=a-b+c＜0$，将$b=-2a$代入得：$a - (-2a) + c = 3a + c ＜ 0$，故③正确；
④
∵抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，
∴$x=1$时函数取得最大值$a+b+c$，即对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c ≤ a+b+c$，两边消去$c$得$m(am+b) ≤ a+b$，故④正确；
⑤ 方程$ax^2+(b+\frac{1}{2})x+c-1=0$可变形为$ax^2+bx+c = -\frac{1}{2}x +1$，即求抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-\frac{1}{2}x+1$交点的横坐标，结合图像可知两个交点都在x轴正半轴，即两个根同号，故⑤错误。
综上，正确的结论是③④，共2个。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像与系数的关系，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题综合考查二次函数的图像性质，需要结合图像分析系数符号、特殊点的函数值、函数最值以及函数与方程的联系，熟练掌握二次函数的基本性质，运用数形结合思想分析是解题的关键。
【难度系数】
0.6
6 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y=x^2+bx+c $ 与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且 $ CO=2AO, CO=BO, AB=3 $。下列判断中，正确的是（
A.此抛物线的表达式为 $ y=x^2+x-2 $
B.当 $ x＞0 $ 时，y随着x的增大而增大
C.此抛物线与直线 $ y=-\dfrac{9}{4} $ 只有一个交点
D.在此抛物线上的某点M，使 $ △ MAB $ 的面积等于4，这样的点共有三个
C
）A.此抛物线的表达式为 $ y=x^2+x-2 $
B.当 $ x＞0 $ 时，y随着x的增大而增大
C.此抛物线与直线 $ y=-\dfrac{9}{4} $ 只有一个交点
D.在此抛物线上的某点M，使 $ △ MAB $ 的面积等于4，这样的点共有三个
答案
6.C 解析:
∵CO=2AO,而 CO=BO,AB=3,
∴AO=1,BO=OC=2,即 A(-1,0),B(2,0),C(0,-2),
∴二次函数的表达式为 y=x²-x-2,故 A 错误；
∵二次函数图像的对称轴为 x=1/2,
∴当 x＞0 时，y 随着 x 的增大先减小再增大,故 B 错误;
∵此二次函数的最小值为 -9/4,
∴此抛物线与直线 y=-9/4 只有一个交点,故 C 正确;
∵要使△MAB 的面积等于 4,须使点 M 到 x 轴的距离为 8/3,这样的点共有 2 个,故 D 错误。
∵CO=2AO,而 CO=BO,AB=3,
∴AO=1,BO=OC=2,即 A(-1,0),B(2,0),C(0,-2),
∴二次函数的表达式为 y=x²-x-2,故 A 错误；
∵二次函数图像的对称轴为 x=1/2,
∴当 x＞0 时，y 随着 x 的增大先减小再增大,故 B 错误;
∵此二次函数的最小值为 -9/4,
∴此抛物线与直线 y=-9/4 只有一个交点,故 C 正确;
∵要使△MAB 的面积等于 4,须使点 M 到 x 轴的距离为 8/3,这样的点共有 2 个,故 D 错误。
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的线段等量关系CO=2AO、CO=BO、AB=3，先计算出OA、OB、OC的长度，得到A、B、C三点的坐标；接着代入抛物线表达式求出解析式，再结合二次函数的图像性质逐一分析每个选项：
1. 验证选项A的解析式是否正确；
2. 求出抛物线对称轴，判断x＞0时的单调性，验证选项B；
3. 计算抛物线的最小值，判断其与直线$y=-\dfrac{9}{4}$的交点个数，验证选项C；
4. 根据三角形面积公式求出点M的纵坐标，结合抛物线的取值范围判断符合条件的点的个数，验证选项D。
【解析】
设AO的长度为k，由CO=2AO得CO=2k，再由CO=BO得BO=2k。
已知AB=AO+BO=k+2k=3k=3，解得k=1，因此AO=1，BO=OC=2。
结合点的位置可得：A(-1,0)，B(2,0)，C(0,-2)。
将C(0,-2)代入$y=x^2+bx+c$，得$c=-2$；再将A(-1,0)代入解析式得：
$0=(-1)^2 + b×(-1) -2$，解得$b=-1$，因此抛物线解析式为$y=x^2 -x -2$。
选项A：给出的解析式为$y=x^2+x-2$，与所求不符，A错误；
抛物线对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}$，开口向上，因此$x＞0$时，y随x的增大先减小（$0＜x＜\dfrac{1}{2}$时）后增大（$x＞\dfrac{1}{2}$时），B错误；
当$x=\dfrac{1}{2}$时，抛物线取最小值，代入得$y=(\dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{1}{2} -2=-\dfrac{9}{4}$，因此抛物线与直线$y=-\dfrac{9}{4}$只有一个交点（顶点），C正确；
设$△ MAB$的高为h，AB=3，由面积公式$S_{△ MAB}=\dfrac{1}{2}× AB× h=4$，得$h=\dfrac{8}{3}$，即点M的纵坐标为$\dfrac{8}{3}$或$-\dfrac{8}{3}$。由于抛物线最小值为$-\dfrac{9}{4}＞-\dfrac{8}{3}$，因此纵坐标为$-\dfrac{8}{3}$的点不存在，仅纵坐标为$\dfrac{8}{3}$时有2个交点，符合条件的M共有2个，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数解析式求解、二次函数的图像与性质、二次函数与几何综合
【点评】
本题是二次函数章节的典型综合题，需要先通过线段关系确定点坐标，再结合二次函数的单调性、最值等性质逐一判断选项，要求熟练掌握二次函数的基础性质。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据题目给出的线段等量关系CO=2AO、CO=BO、AB=3，先计算出OA、OB、OC的长度，得到A、B、C三点的坐标；接着代入抛物线表达式求出解析式，再结合二次函数的图像性质逐一分析每个选项：
1. 验证选项A的解析式是否正确；
2. 求出抛物线对称轴，判断x＞0时的单调性，验证选项B；
3. 计算抛物线的最小值，判断其与直线$y=-\dfrac{9}{4}$的交点个数，验证选项C；
4. 根据三角形面积公式求出点M的纵坐标，结合抛物线的取值范围判断符合条件的点的个数，验证选项D。
【解析】
设AO的长度为k，由CO=2AO得CO=2k，再由CO=BO得BO=2k。
已知AB=AO+BO=k+2k=3k=3，解得k=1，因此AO=1，BO=OC=2。
结合点的位置可得：A(-1,0)，B(2,0)，C(0,-2)。
将C(0,-2)代入$y=x^2+bx+c$，得$c=-2$；再将A(-1,0)代入解析式得：
$0=(-1)^2 + b×(-1) -2$，解得$b=-1$，因此抛物线解析式为$y=x^2 -x -2$。
选项A：给出的解析式为$y=x^2+x-2$，与所求不符，A错误；
抛物线对称轴为$x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}$，开口向上，因此$x＞0$时，y随x的增大先减小（$0＜x＜\dfrac{1}{2}$时）后增大（$x＞\dfrac{1}{2}$时），B错误；
当$x=\dfrac{1}{2}$时，抛物线取最小值，代入得$y=(\dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{1}{2} -2=-\dfrac{9}{4}$，因此抛物线与直线$y=-\dfrac{9}{4}$只有一个交点（顶点），C正确；
设$△ MAB$的高为h，AB=3，由面积公式$S_{△ MAB}=\dfrac{1}{2}× AB× h=4$，得$h=\dfrac{8}{3}$，即点M的纵坐标为$\dfrac{8}{3}$或$-\dfrac{8}{3}$。由于抛物线最小值为$-\dfrac{9}{4}＞-\dfrac{8}{3}$，因此纵坐标为$-\dfrac{8}{3}$的点不存在，仅纵坐标为$\dfrac{8}{3}$时有2个交点，符合条件的M共有2个，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数解析式求解、二次函数的图像与性质、二次函数与几何综合
【点评】
本题是二次函数章节的典型综合题，需要先通过线段关系确定点坐标，再结合二次函数的单调性、最值等性质逐一判断选项，要求熟练掌握二次函数的基础性质。
【难度系数】
0.6
