1 如图,直线 l 是一次函数$y=-\frac{4}{3}x + b$的图象,求 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积.（第1题）

由图象可知函数图象过点(0,1),代入表达式可得b=1,
∴直线 l 表达式为$y=-\frac{4}{3}x+1$,
令$y=0$可得$0=-\frac{4}{3}x+1$,
解得$x=\frac{3}{4}$,$\therefore A(\frac{3}{4},0)$,
$B(0,1),\therefore OA=\frac{3}{4},OB=1$,
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×1=\frac{3}{8}$.
故 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为$\frac{3}{8}$.

变式1.1 如图，直线$y=kx+4$经过点$B(-6,0)$和点$C(-3,m)$，与y轴交于点A，经过点C的另一直线与y轴交于点$D(0,1)$，与x轴交于点E.
(1)求点A的坐标及直线CD的函数表达式；
(2)求四边形OBCD的面积.

(变式1.1)

(1)当$x=0$时,$y=kx+4=4$,则 A 点坐标为$(0,4)$.
因为直线$y=kx+4$经过点$B(-6,0)$,所以$-6k+4=0$,解得$k=\frac{2}{3}$,所以直线 AB 的表达式为$y=\frac{2}{3}x+4$.因为直线$y=\frac{2}{3}x+4$经过$C(-3,m)$,所以$m=\frac{2}{3}×(-3)+4=2$,所以 C 点坐标为$(-3,2)$.设直线 CD 的表达式为$y=mx+n$,因为直线经过点$D(0,1)$,所以$n=1$.因为直线经过点$C(-3,2)$,所以$-3m+1=2$,解得$m=-\frac{1}{3}$,所以直线 CD 的表达式为$y=-\frac{1}{3}x+1$.
(2)四边形 OBCD 的面积$=S_{△ AOB}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×6×4-\frac{1}{2}×3×(4-1)=7.5$.

2（2025·广东茂名电白一中期末）已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$图象过点$(0,2)$，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的表达式为（）.

A.$y=x+2$
B.$y=-x+2$
C.$y=x+2$或$y=-x+2$
D.$y=-x+2$或$y=x-2$

∵一次函数$y=kx+b(k≠0)$图象过点$(0,2)$,
∴$b=2$,令$y=0$,则$x=-\frac{2}{k}$,
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2,
∴$\frac{1}{2}×2×\left|-\frac{2}{k}\right|=2$,即$\left|\frac{2}{k}\right|=2$,解得$k=\pm1$,
则函数的表达式是$y=x+2$或$y=-x+2$.故选 C.

变式2.1 已知一次函数$y=x+4-c$（$c$为常数）的图象与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$B$。
(1)当$c=2$时，$OA=$。
(2)若$△ OAB$的面积为8。
①求出满足条件的一次函数表达式；
②若点$A$在$y$轴正半轴，点$B$在$x$轴负半轴上，且点$C$在线段$AB$上，当$S_{△ OAC}=7S_{△ OBC}$时，请直接写出点$C$的坐标。

(1)2
[解析]当$c=2$时,$y=x+2$;当$x=0$时,$y=2$,所以$A(0,2)$,所以$OA=2$.
(2)①对于$y=x+4-c$($c$为常数),当$x=0$时,$y=4-c$,当$y=0$时,$x=c-4$,所以$A(0,4-c)$,$B(c-4,0)$,所以$OA=|4-c|$,$OB=|c-4|$.因为$△ OAB$的面积为 8,所以$\frac{1}{2}×|4-c|×|c-4|=8$,所以$(c-4)^2=16$,解得$c=8$或$0$.
所以一次函数表达式为$y=x-4$或$y=x+4$.
②当点 C 在线段 AB 上时,根据题意,易得$AC=7BC$,$AC+BC=AB=4\sqrt{2}$,所以$8BC=4\sqrt{2}$,所以$BC=\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以$C(-\frac{7}{2},\frac{1}{2})$.