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1. 如图，在$△ ABC$中，高$BD$，$CE$相交于点$F$，图中与$△ BEF$相似的三角形共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. C 【点拨】
∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°.
∵∠FBE=∠ABD,
∴△FBE∽△ABD.
∵∠BFE=∠CFD,
∴ △BFE ∽ △CFD.
∵∠FCD=∠ACE,
∴ △CFD∽△CAE,
∴△BFE∽△CAE.综上,题图中与△BEF相似的三角形有△BDA,△CDF,△CEA,共3个,故选C.
∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°.
∵∠FBE=∠ABD,
∴△FBE∽△ABD.
∵∠BFE=∠CFD,
∴ △BFE ∽ △CFD.
∵∠FCD=∠ACE,
∴ △CFD∽△CAE,
∴△BFE∽△CAE.综上,题图中与△BEF相似的三角形有△BDA,△CDF,△CEA,共3个,故选C.
2.如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，则下列结论不正确的是 （
A.△ABD∽△ECA
B.△ECA∽△EAD
C.△ABD∽△EAD
D.△ACD∽△ABE
D
）A.△ABD∽△ECA
B.△ECA∽△EAD
C.△ABD∽△EAD
D.△ACD∽△ABE
答案
2. D
3. 新视角条件开放题 如图，在$△ ABC$中，点$D,E$分别在边$AB,AC$上.添加一个条件使$△ ADE ∽ △ ACB$，则这个条件可以是
（第3题）（第4题）
∠ADE=∠C(答案不唯一)
.(写出一种情况即可)（第3题）（第4题）
答案
3. ∠ADE=∠C(答案不唯一)
4.如图,在$△ ABC$中,点D是BC边上的中点,且$∠1=∠ B$.若$BC=6$,则AC的长为（
A.3
B.4
C.$4\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{2}$
D
）A.3
B.4
C.$4\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
4. D 【点拨】
∵点 D 是BC 边的中点,BC=6,
∴CD=3.
∵∠1=∠B,∠C=∠C,
∴△ACD∽△BCA,
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$,
∴AC²=CD·BC=3×6=18,
∴AC=3√2.故选 D.
∵点 D 是BC 边的中点,BC=6,
∴CD=3.
∵∠1=∠B,∠C=∠C,
∴△ACD∽△BCA,
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$,
∴AC²=CD·BC=3×6=18,
∴AC=3√2.故选 D.
5. 如图,在菱形$ABCD$中,点$E,F$分别在边$AB,AD$上,$BE=DF$,$CE$的延长线交$DA$的延长线于点$G$,$CF$的延长线交$BA$的延长线于点$H$.
(1)求证:$△ BEC ∽ △ BCH$.
(2)如果$BE^2 = AB · AE$,求证:$AG = DF$.
(1)求证:$△ BEC ∽ △ BCH$.
(2)如果$BE^2 = AB · AE$,求证:$AG = DF$.
答案
5. 【证明】(1)
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴CD=CB,∠D=∠B.
又
∵DF=BE,
∴△CDF≌△CBE,
∴∠DCF=∠BCE.
∵CD//BH,
∴∠H=∠DCF,
∴∠H=∠BCE.
又
∵∠B=∠B,
∴△BEC∽△BCH.
(2)
∵BE²=AB·AE,
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{BE}{AE}$.
易知 CB//DG,
∴△AEG∽△BEC,
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AG}{BC}$,
∴$\frac{AG}{BC}$=$\frac{BE}{AB}$.
∵BC=AB,
∴AG=BE.
∵DF=BE,
∴AG=DF.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴CD=CB,∠D=∠B.
又
∵DF=BE,
∴△CDF≌△CBE,
∴∠DCF=∠BCE.
∵CD//BH,
∴∠H=∠DCF,
∴∠H=∠BCE.
又
∵∠B=∠B,
∴△BEC∽△BCH.
(2)
∵BE²=AB·AE,
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{BE}{AE}$.
易知 CB//DG,
∴△AEG∽△BEC,
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AG}{BC}$,
∴$\frac{AG}{BC}$=$\frac{BE}{AB}$.
∵BC=AB,
∴AG=BE.
∵DF=BE,
∴AG=DF.
6. 新考法 构造相似三角形法 如图，E,G,F,H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF:GH=（
A.2:3
B.3:2
C.4:9
D.无法确定
B
）A.2:3
B.3:2
C.4:9
D.无法确定
答案
6. B 【点拨】如图,过点 F 作 FM⊥AB 于点 M,过点 H 作 HN⊥BC 于点 N,则∠4=∠5=90°=∠AMF.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD//BC,AB//CD,∠A=∠D=90°=∠AMF,
∴四边形 AMFD 是矩形,
∴FM//AD,FM=AD=BC=3,同理 HN=AB=2,HN//AB,
∴∠1=∠2.
∵HG⊥EF,
∴∠HOE=90°,
∴∠1+∠GHN=90°.
∵∠3+∠GHN=90°,
∴∠1=∠3=∠2.
∵∠4=∠5,
∴△FME∽△HNG,
∴$\frac{EF}{GH}$=$\frac{FM}{HN}$=$\frac{3}{2}$,即 EF:GH=3:2.
7. 新趋势跨学科 如图，一束光线从 y 轴上点 A(0,1)发出，经过 x 轴上的点 C 反射后，经过点 B(6,2)，则光线从 A 点到 B 点经过的路线长度为（
A.6
B.$\sqrt{37}$
C.$3\sqrt{5}$
D.8
C
）A.6
B.$\sqrt{37}$
C.$3\sqrt{5}$
D.8
答案
7. C 【点拨】过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,则∠BDC=90°.
∵A(0,1),B(6,2),
∴OA=1,OD=6,BD=2.
∵入射角等于反射角,
∴易得∠ACO=∠BCD.
∵∠AOC=∠BDC=90°,
∴△AOC∽△BDC,
∴$\frac{OA}{BD}$=$\frac{OC}{CD}$,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{OC}{6-OC}$,解得 OC=2,
∴DC=4.在 Rt△AOC 中,由勾股定理得 AC=$\sqrt{1^2+2^2}$=$\sqrt{5}$,在 Rt△BDC 中,由勾股定理得 BC=$\sqrt{2^2+4^2}$=2√5,
∴AC+BC=3√5.
∵A(0,1),B(6,2),
∴OA=1,OD=6,BD=2.
∵入射角等于反射角,
∴易得∠ACO=∠BCD.
∵∠AOC=∠BDC=90°,
∴△AOC∽△BDC,
∴$\frac{OA}{BD}$=$\frac{OC}{CD}$,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{OC}{6-OC}$,解得 OC=2,
∴DC=4.在 Rt△AOC 中,由勾股定理得 AC=$\sqrt{1^2+2^2}$=$\sqrt{5}$,在 Rt△BDC 中,由勾股定理得 BC=$\sqrt{2^2+4^2}$=2√5,
∴AC+BC=3√5.
8. 如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是
2+2√5
。答案
8. 2+2√5 【点拨】如图,连结 BE,交 AC 于点 O.
∵五边形 ABCDE 是正五边形,且它的边长为 4,
∴∠CBA=∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°,BC=AB=AE=4.
∴∠BCA=∠BAC=∠ABE=∠AEB=(180°-108°)÷2=36°.
∴∠CBO=∠ABC-∠ABE=108°-36°=72°.
∴∠BOC=180°-∠CBO-∠BCA=180°-72°-36°=72°.
∴∠CBO=∠BOC.
∴CO=BC=4.
∵∠BAO=∠CAB,∠ABO=36°=∠BCA,
∴△ABO∽△ACB.
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AO}{AB}$,即$\frac{4}{AC}$=$\frac{AC-4}{4}$,解得 AC=2+2√5 或 AC=2-2√5(不符合题意,舍去).经检验,AC=2+2√5符合题意.故 AC=2+2√5.
9. 新考法 分类讨论法 在矩形ABCD中，$AB=1$，$BC=a$，点E在边BC上，且$BE=\frac{2}{3}a$，连结AE，将$△ ABE$沿AE所在的直线折叠，若点B的对应点$B'$落在矩形ABCD的边上，则a的值为
1.5或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
。答案
9. 1.5 或$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 【点拨】分两种情况:①当点 B'落在 AD 边上时,如图①,
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠BAD=∠B=90°.
∵将△ABE 沿 AE 所在的直线折叠,点 B 的对应点 B'落在 AD 边上,
∴∠BAE=∠B'AE=$\frac{1}{2}$∠BAD = 45°,
∴ ∠AEB = 45°,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,
∴$\frac{2}{3}a$=1,
∴a=1.5.
②当点 B'落在 CD 边上时,如图②,
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=a.
∵将△ABE 沿 AE 所在的直线折叠,点 B 的对应点 B'落在 CD 边上,
∴∠B=∠AB'E=90°,AB=AB'=1,EB=EB'=$\frac{2}{3}a$,
∴DB'=$\sqrt{B'A^2-AD^2}$=$\sqrt{1-a^2}$,EC=BC-BE=a-$\frac{2}{3}a$=$\frac{1}{3}a$.
∵∠B'AD=∠EB'C=90°-∠AB'D,∠D=∠C=90°,
∴△ADB'∽△B'CE,
∴$\frac{DB'}{CE}$=$\frac{AB'}{B'E}$,即$\frac{\sqrt{1-a^2}}{\frac{1}{3}a}$=$\frac{1}{\frac{2}{3}a}$,解得$a_1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$a_2$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$(舍去).
综上所述,a 的值为 1.5 或$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
