10. ★★★ 新考法分类讨论法 将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，且剪掉的两个直角三角形相似，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中$∠ A=90°$，$AB=9$，$BC=7$，$CD=6$，$AD=2$，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是 （）

A.$\frac{25}{2}$
B.$\frac{45}{4}$
C.$10$
D.$\frac{35}{4}$

10.A 【点拨】如图①,由已知可得,$△ DFE ∽ △ ECB$,则$\frac{DF}{EC}=\frac{FE}{CB}=\frac{DE}{EB}$,设$DF=x,CE=y$,则$\frac{x}{y}=\frac{9}{7}=\frac{6+y}{2+x}$,解得$\begin{cases}x=\frac{27}{4},\\y=\frac{21}{4},\end{cases}$$\therefore DE=CD+CE=6+\frac{21}{4}=\frac{45}{4}$,故选项B不符合题意;$EB=DF+AD=\frac{27}{4}+2=\frac{35}{4}$,故选项D不符合题意;如图②所示,由已知可得$△ DCF ∽ △ FEB$则$\frac{DC}{FE}=\frac{CF}{EB}=\frac{DF}{FB}$.设$FC=m,FD=n$,则$\frac{6}{9}=\frac{m}{n+2}=\frac{n}{m+7}$,解得$\begin{cases}m=8,\\n=10,\end{cases}$$\therefore FD=10$,故选项C不符合题意$BF=FC+BC=8+7=15$.如图③所示,此时两个直角三角形的斜边长为6和7.故选A.

11. ★★
新视角·扬州模拟
最值探究题
如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=3$,$D$为直线$AC$左侧一点.若$△ ABC ∽ △ CAD$,则$BC+CD$的最大值为.

11.$\frac{15}{4}$ 【点拨】$\because △ ABC ∽ △ CAD$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}$.$\because AB=3$ $\therefore \frac{3}{AC}=\frac{AC}{CD}$,$\therefore CD=\frac{1}{3}AC^2$.$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore AC^2=AB^2-BC^2=9-BC^2$,$\therefore CD=\frac{1}{3}(9-BC^2)=3-\frac{1}{3}BC^2$.设$BC=x$,$\therefore BC+CD=x+3-\frac{1}{3}x^2=-\frac{1}{3}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{15}{4}$,$\therefore$当$x=\frac{3}{2}$时,$BC+CD$的最大值为$\frac{15}{4}$.

12. 新趋势学科内综合 如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2,3)，双曲线$y=-\frac{k}{x}(x＞0)$经过BC的中点D，且与AB交于点E，连结DE.
(1)求△BDE的面积；
(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求点F的坐标.

12.【解】(1)$\because$ 四边形OABC是矩形,$\therefore BC⊥ OC$,$AB⊥ x$轴.
$\because D$为BC的中点,$B(2,3)$,$\therefore D(1,3)$,点E的横坐标为2.
把$D(1,3)$的坐标代入$y=-\frac{k}{x}$,得$k=-1× 3=-3$,
$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$.
当$x=2$时,$y=\frac{3}{x}=\frac{3}{2}$,即$E(2,\frac{3}{2})$,
$\therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}× (2-1)× (3-\frac{3}{2})=\frac{3}{4}$.
(2)$\because △ FBC ∽ △ DEB$,$\therefore \frac{CF}{BD}=\frac{BC}{BE}$,即$\frac{CF}{1}=\frac{2}{\frac{3}{2}}$,解得$CF=\frac{4}{3}$
$\therefore OF=OC-CF=3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$,$\therefore$ 点F的坐标为$(0,\frac{5}{3})$.

13. 济南高新区期末 新考法·阅读类比法 小波遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，AD与BE相交于点P。小波发现，$\frac{DB}{BC}=\frac{2}{3}$，过点C作CF //AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF（如图②），经过推理和计算即可得到$\frac{AP}{PD}$的值（不必求解）。
参考小波思考问题的方法，解决问题：
(1)如图③，在△ABC中，点D在BC的延长线上，$\frac{DB}{BC}=\frac{4}{3}$，点E在AC上，且$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$，求$\frac{AP}{PD}$的值；
(2)如图④，在△ABC中，点D在BC的延长线上，$\frac{DB}{BC}=\frac{4}{3}$，点E在AC的延长线上，且$\frac{AE}{EC}=\frac{7}{2}$，求$\frac{AP}{PD}$的值。

13.【解】(1)如图①,过点A作$AF// BC$,交BP延长线于点F
$\therefore △ AFE ∽ △ CBE$,$\therefore \frac{AF}{BC}=\frac{AE}{EC}$.$\because \frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$,$\therefore \frac{AF}{BC}=\frac{3}{2}$.
设$AF=3x$,则$BC=2x$.$\because \frac{BD}{BC}=\frac{4}{3}$,$\therefore BD=\frac{8x}{3}$.
$\because AF// BD$,$\therefore △ AFP ∽ △ DBP$,$\therefore \frac{AP}{PD}=\frac{AF}{BD}=\frac{9}{8}$.

(2)如图②,过点C作$CF// AP$交PB于点F,
$\therefore △ BCF ∽ △ BDP$,$\therefore \frac{BC}{BD}=\frac{CF}{PD}=\frac{3}{4}$.
设$CF=3x$,则$PD=4x$.$\because CF// AP$,$\therefore △ ECF ∽ △ EAP$,
$\therefore \frac{EC}{AE}=\frac{CF}{AP}=\frac{2}{7}$,$\therefore AP=\frac{21}{2}x$,$\therefore \frac{AP}{PD}=\frac{\frac{21}{2}x}{4x}=\frac{21}{8}$.