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例1 [2024常德模拟]下列算式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（
A.$(x+2)(x-2)=x^2-4$
B.$x^2-4=(x+2)(x-2)$
C.$x^2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x$
D.$x^2+4x-2=x(x+4)-2$
B
）A.$(x+2)(x-2)=x^2-4$
B.$x^2-4=(x+2)(x-2)$
C.$x^2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x$
D.$x^2+4x-2=x(x+4)-2$
答案
B
例2 分解因式：
(1)$a^2b - 10ab + 25b =$
(2)$4a^2(a - b) - (a - b) =$
【点悟】(1)把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式；
(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算。
(1)$a^2b - 10ab + 25b =$
$b(a-5)^2$
；(2)$4a^2(a - b) - (a - b) =$
$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
.【点悟】(1)把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式；
(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算。
答案
(1)$b(a-5)^2$
(2)$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
(2)$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
1. 下列四个多项式中，不能因式分解的是（
A.$a^2+a$
B.$m^2-n^2$
C.$x^2+4$
D.$a^2+6a+9$
C
）A.$a^2+a$
B.$m^2-n^2$
C.$x^2+4$
D.$a^2+6a+9$
答案
C
2. 已知$x+y=0.2$，$x+3y=1$，则代数式$x^2+4xy+4y^2$的值为
0.36
。答案
0.36
3.分解因式:
(1)$2x^2 - 4x$;
(2)$m^2 - \frac{1}{4}$;
(3)$x^2 -12x +36$;
(4)$a^3 -16a$.
(1)$2x^2 - 4x$;
(2)$m^2 - \frac{1}{4}$;
(3)$x^2 -12x +36$;
(4)$a^3 -16a$.
答案
(1)$2x(x-2)$
(2)$(m+\frac{1}{2})(m-\frac{1}{2})$
(3)$(x-6)^2$
(4)$a(a+4)(a-4)$
(2)$(m+\frac{1}{2})(m-\frac{1}{2})$
(3)$(x-6)^2$
(4)$a(a+4)(a-4)$
4. 分解因式：
(1)$3m^2 - 27$；
(2)$-2a^3 + 4a^2b - 2ab^2$；
(3)$x^2(x - y) + 4(y - x)$；
(4)$(x^2 + 16y^2)^2 - 64x^2y^2$；
(5)$(x - 1)^2 - 2x + 2$；
(1)$3m^2 - 27$；
(2)$-2a^3 + 4a^2b - 2ab^2$；
(3)$x^2(x - y) + 4(y - x)$；
(4)$(x^2 + 16y^2)^2 - 64x^2y^2$；
(5)$(x - 1)^2 - 2x + 2$；
答案
(1)$3(m+3)(m-3)$
(2)$-2a(a-b)^2$
(3)$(x-y)(x+2)(x-2)$
(4)$(x+4y)^2(x-4y)^2$
(5)$(x-1)(x-3)$
(2)$-2a(a-b)^2$
(3)$(x-y)(x+2)(x-2)$
(4)$(x+4y)^2(x-4y)^2$
(5)$(x-1)(x-3)$
例3 定义:$a,b,c$为正整数,若$c^2=a^2+b^2$,则称$c$为“完美勾股数”,$a,b$为$c$的“伴侣勾股数”.如$13^2=5^2+12^2$,则13是“完美勾股数”,5,12是13的“伴侣勾股数”.
(1)数10
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2-6a-8b-10c+50=0$,求证:$c$是“完美勾股数”;
(3)已知$m＞0,n＞0$且$m＞n$,$c=2m^2+2mn+2n^2$,$a=m^2+4mn+n^2$,$b=\sqrt{3}(m+n)$,$c$为“完美勾股数”,$a,b$为$c$的“伴侣勾股数”,多项式$x^3-3x^2+p$有一个因式为$x-m+n$,求该多项式的另一个因式.
(1)数10
是
“完美勾股数”(填“是”或“不是”);(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2-6a-8b-10c+50=0$,求证:$c$是“完美勾股数”;
(3)已知$m＞0,n＞0$且$m＞n$,$c=2m^2+2mn+2n^2$,$a=m^2+4mn+n^2$,$b=\sqrt{3}(m+n)$,$c$为“完美勾股数”,$a,b$为$c$的“伴侣勾股数”,多项式$x^3-3x^2+p$有一个因式为$x-m+n$,求该多项式的另一个因式.
答案
(1)是
(2)证明略
(3)另一个因式为$x^2-2x-2$
(2)证明略
(3)另一个因式为$x^2-2x-2$
