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9. 王老师在黑板上写了一个等式$(m-3)x=5(m-3)$，小明说$x=5$；小刚说不一定，当$x≠5$时，这个等式也可能成立。你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由。
答案
9. 解：小明的说法错误,小刚的说法正确。
理由如下：
当 $m-3=0$ 时,$x$ 为任意实数;
当 $m-3≠0$ 时,根据等式的性质 2,等式两边同时除以 $(m-3)$,得 $x=5$。
理由如下：
当 $m-3=0$ 时,$x$ 为任意实数;
当 $m-3≠0$ 时,根据等式的性质 2,等式两边同时除以 $(m-3)$,得 $x=5$。
解析
【分析】
要判断两人说法是否正确，需结合等式的性质2分析：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。本题中不能直接将等式两边同时除以(m-3)，要先分两种情况讨论(m-3)的取值：一是m-3=0的情况，二是m-3≠0的情况，再结合两种情况对应x的取值，判断两人说法的正误。
【解析】
小明的说法错误，小刚的说法正确，理由如下：
1. 当$m-3=0$时，即$m=3$，此时等式左边为$0× x=0$，等式右边为$5×0=0$，等式恒成立，因此$x$可以为任意实数，不一定等于5，符合小刚的说法；
2. 当$m-3≠0$时，根据等式的性质2，等式两边可以同时除以不为0的$(m-3)$，计算得$x=5$，此时仅$x=5$时等式成立。
小明未考虑$m-3=0$的特殊情况，因此说法错误，小刚的说法正确。
【答案】
小明的说法错误,小刚的说法正确。理由如下：当 $m-3=0$ 时,$x$ 为任意实数;当 $m-3≠0$ 时,根据等式的性质 2,等式两边同时除以 $(m-3)$,得 $x=5$。
【知识点】
1. 等式的基本性质 2. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等式性质2的应用前提，易错点是忽略等式两边同时除以的整式不能为0的限制条件，直接除以含参数的整式得到唯一解，求解含参数的等式时要先讨论未知项系数是否为0。
【难度系数】
0.6
要判断两人说法是否正确，需结合等式的性质2分析：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立。本题中不能直接将等式两边同时除以(m-3)，要先分两种情况讨论(m-3)的取值：一是m-3=0的情况，二是m-3≠0的情况，再结合两种情况对应x的取值，判断两人说法的正误。
【解析】
小明的说法错误，小刚的说法正确，理由如下：
1. 当$m-3=0$时，即$m=3$，此时等式左边为$0× x=0$，等式右边为$5×0=0$，等式恒成立，因此$x$可以为任意实数，不一定等于5，符合小刚的说法；
2. 当$m-3≠0$时，根据等式的性质2，等式两边可以同时除以不为0的$(m-3)$，计算得$x=5$，此时仅$x=5$时等式成立。
小明未考虑$m-3=0$的特殊情况，因此说法错误，小刚的说法正确。
【答案】
小明的说法错误,小刚的说法正确。理由如下：当 $m-3=0$ 时,$x$ 为任意实数;当 $m-3≠0$ 时,根据等式的性质 2,等式两边同时除以 $(m-3)$,得 $x=5$。
【知识点】
1. 等式的基本性质 2. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等式性质2的应用前提，易错点是忽略等式两边同时除以的整式不能为0的限制条件，直接除以含参数的整式得到唯一解，求解含参数的等式时要先讨论未知项系数是否为0。
【难度系数】
0.6
10. 已知等式$3m=4n+2$，则下列等式中不一定成立的是（
A.$3=\dfrac{4n}{m}+\dfrac{2}{m}$
B.$3m+2=4n+4$
C.$3m-2=4n$
D.$m=\dfrac{4}{3}n+\dfrac{2}{3}$
A
）A.$3=\dfrac{4n}{m}+\dfrac{2}{m}$
B.$3m+2=4n+4$
C.$3m-2=4n$
D.$m=\dfrac{4}{3}n+\dfrac{2}{3}$
答案
10. A
解析
【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题时先回顾等式的核心性质：1.等式两边同时加或减同一个数/整式，等式仍成立；2.等式两边同时乘或除以同一个不为0的数/整式，等式仍成立。我们需要对已知等式$3m=4n+2$按照各选项的变形方式逐一验证，尤其要注意变形时除以含字母的式子时，必须保证这个式子不为0，否则变形无意义。
【解析】
已知等式为$3m=4n+2$，逐个分析选项：
选项C：等式两边同时减去2，根据等式性质1，得$3m-2=4n+2-2$，即$3m-2=4n$，该等式一定成立；
选项B：等式两边同时加上2，根据等式性质1，得$3m+2=4n+2+2$，即$3m+2=4n+4$，该等式一定成立；
选项D：等式两边同时除以3（$3≠0$），根据等式性质2，得$m=\frac{4n+2}{3}$，整理得$m=\frac{4}{3}n+\frac{2}{3}$，该等式一定成立；
选项A：若要得到该等式，需要在原等式两边同时除以m，但当$m=0$时，分母为0无意义，此时该等式不成立（代入原等式得$0=4n+2$，$n=-\frac{1}{2}$，存在符合原等式但使A不成立的取值），因此该等式不一定成立。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，解题的关键是牢记等式两边同时除以含字母的式子时，必须先判断该式子是否可能为0，忽略特殊情况就容易误判。
【难度系数】
0.7
本题考查等式的基本性质的应用，解题时先回顾等式的核心性质：1.等式两边同时加或减同一个数/整式，等式仍成立；2.等式两边同时乘或除以同一个不为0的数/整式，等式仍成立。我们需要对已知等式$3m=4n+2$按照各选项的变形方式逐一验证，尤其要注意变形时除以含字母的式子时，必须保证这个式子不为0，否则变形无意义。
【解析】
已知等式为$3m=4n+2$，逐个分析选项：
选项C：等式两边同时减去2，根据等式性质1，得$3m-2=4n+2-2$，即$3m-2=4n$，该等式一定成立；
选项B：等式两边同时加上2，根据等式性质1，得$3m+2=4n+2+2$，即$3m+2=4n+4$，该等式一定成立；
选项D：等式两边同时除以3（$3≠0$），根据等式性质2，得$m=\frac{4n+2}{3}$，整理得$m=\frac{4}{3}n+\frac{2}{3}$，该等式一定成立；
选项A：若要得到该等式，需要在原等式两边同时除以m，但当$m=0$时，分母为0无意义，此时该等式不成立（代入原等式得$0=4n+2$，$n=-\frac{1}{2}$，存在符合原等式但使A不成立的取值），因此该等式不一定成立。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，解题的关键是牢记等式两边同时除以含字母的式子时，必须先判断该式子是否可能为0，忽略特殊情况就容易误判。
【难度系数】
0.7
11. (1)等式$\frac{s}{2}=\frac{t}{5}$的两边先都乘10，再同时加上2，得到的等式是
(2)在等式$3a -5=2a +6$的两边同时减去一个多项式，得到等式$a=11$，则这个多项式是
$5s+2=2t+2$
。(2)在等式$3a -5=2a +6$的两边同时减去一个多项式，得到等式$a=11$，则这个多项式是
$2a-5$
。答案
11. (1)$5s+2=2t+2$ (2)$2a-5$
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：(1)按照题目给出的运算顺序，先依据等式的基本性质2，给原等式两边同时乘10消去分母，得到不含分母的等式，再依据等式的基本性质1，给新得到的等式两边同时加2即可得到结果；(2)可通过对比原等式与目标等式的差异，或设所求多项式为未知整式，根据等式两边同时减去同一个整式等式仍成立的性质，通过整式的减法运算求出该多项式，最后验证结果是否符合要求即可。
【解析】
(1) 先对等式$\frac{s}{2}=\frac{t}{5}$的两边同时乘10，根据等式的基本性质2，可得：
$\frac{s}{2} × 10 = \frac{t}{5} × 10$，即$5s=2t$
再对上述等式两边同时加上2，根据等式的基本性质1，可得：
$5s+2=2t+2$
(2) 设这个多项式为$M$，根据题意可知，原等式两边同时减去$M$后得到$a=11$，即：
左边：$3a-5 - M = a$，解得$M=3a-5 -a=2a-5$
验证：将$M=2a-5$代入原等式右边计算：$2a+6 - (2a-5)=2a+6-2a+5=11$，符合要求，故这个多项式是$2a-5$。
【答案】
(1)$5s+2=2t+2$；(2)$2a-5$
【知识点】
等式的基本性质；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对等式基本性质的掌握程度，运算时注意去括号的符号变化，第二小问也可以通过直接观察等式左右两边的同类项快速得出结果。
【难度系数】
0.85
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：(1)按照题目给出的运算顺序，先依据等式的基本性质2，给原等式两边同时乘10消去分母，得到不含分母的等式，再依据等式的基本性质1，给新得到的等式两边同时加2即可得到结果；(2)可通过对比原等式与目标等式的差异，或设所求多项式为未知整式，根据等式两边同时减去同一个整式等式仍成立的性质，通过整式的减法运算求出该多项式，最后验证结果是否符合要求即可。
【解析】
(1) 先对等式$\frac{s}{2}=\frac{t}{5}$的两边同时乘10，根据等式的基本性质2，可得：
$\frac{s}{2} × 10 = \frac{t}{5} × 10$，即$5s=2t$
再对上述等式两边同时加上2，根据等式的基本性质1，可得：
$5s+2=2t+2$
(2) 设这个多项式为$M$，根据题意可知，原等式两边同时减去$M$后得到$a=11$，即：
左边：$3a-5 - M = a$，解得$M=3a-5 -a=2a-5$
验证：将$M=2a-5$代入原等式右边计算：$2a+6 - (2a-5)=2a+6-2a+5=11$，符合要求，故这个多项式是$2a-5$。
【答案】
(1)$5s+2=2t+2$；(2)$2a-5$
【知识点】
等式的基本性质；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对等式基本性质的掌握程度，运算时注意去括号的符号变化，第二小问也可以通过直接观察等式左右两边的同类项快速得出结果。
【难度系数】
0.85
12. 有一堆实心的几何体:圆锥、正方体和球。已知相同的几何体具有相同的质量,某同学借助天平探究三种几何体之间的质量关系时,画出了四幅图,如图,图中分别用“△”“”和“○”表示圆锥、正方体和球,其中有一幅图画错了,它是
④
。(填序号)答案
12. ④
解析
【分析】
要找出画错的天平，我们可以利用天平平衡时左右两边质量相等的特点，先通过前两个平衡的天平推导三种几何体的质量关系，再用得到的关系验证后两个天平是否平衡即可。首先设圆锥、正方体、球的质量分别为$m_△$、$m_□$、$m_◯$，根据天平①、②的平衡关系，结合等式的基本性质推导三者的等量关系，再去验证③、④是否符合即可。
【解析】
设圆锥的质量为$m_△$，正方体的质量为$m_□$，球的质量为$m_◯$。
1. 根据天平①平衡可得：$3m_△=2m_□$，整理得：$m_□=\frac{3}{2}m_△$。
2. 根据天平②平衡可得：$3m_◯=m_△+m_◯$，等式两边同时减去$m_◯$，得$2m_◯=m_△$，即$m_◯=\frac{1}{2}m_△$。
3. 推导正方体和球的质量关系：将$m_△=2m_◯$代入$m_□=\frac{3}{2}m_△$，得$m_□=\frac{3}{2}×2m_◯=3m_◯$，也就是3个球的质量等于1个正方体的质量。
4. 验证天平③：左边是3个球，总质量为$3m_◯$，右边是1个正方体，质量为$m_□=3m_◯$，左右质量相等，天平平衡，③正确。
5. 验证天平④：左边是2个球，总质量为$2m_◯$，右边是1个正方体，质量为$m_□=3m_◯$，$2m_◯≠3m_◯$，左右质量不相等，天平不应平衡，所以④画错了。
【答案】
④
【知识点】
等式的基本性质，等量代换，天平平衡原理
【点评】
本题结合天平的平衡场景考查等量关系的推导，解题的核心是先通过正确的平衡关系得到不同几何体的质量换算关系，再逐一验证剩余天平是否符合规律，解题时注意计算不要出错即可。
【难度系数】
0.7
要找出画错的天平，我们可以利用天平平衡时左右两边质量相等的特点，先通过前两个平衡的天平推导三种几何体的质量关系，再用得到的关系验证后两个天平是否平衡即可。首先设圆锥、正方体、球的质量分别为$m_△$、$m_□$、$m_◯$，根据天平①、②的平衡关系，结合等式的基本性质推导三者的等量关系，再去验证③、④是否符合即可。
【解析】
设圆锥的质量为$m_△$，正方体的质量为$m_□$，球的质量为$m_◯$。
1. 根据天平①平衡可得：$3m_△=2m_□$，整理得：$m_□=\frac{3}{2}m_△$。
2. 根据天平②平衡可得：$3m_◯=m_△+m_◯$，等式两边同时减去$m_◯$，得$2m_◯=m_△$，即$m_◯=\frac{1}{2}m_△$。
3. 推导正方体和球的质量关系：将$m_△=2m_◯$代入$m_□=\frac{3}{2}m_△$，得$m_□=\frac{3}{2}×2m_◯=3m_◯$，也就是3个球的质量等于1个正方体的质量。
4. 验证天平③：左边是3个球，总质量为$3m_◯$，右边是1个正方体，质量为$m_□=3m_◯$，左右质量相等，天平平衡，③正确。
5. 验证天平④：左边是2个球，总质量为$2m_◯$，右边是1个正方体，质量为$m_□=3m_◯$，$2m_◯≠3m_◯$，左右质量不相等，天平不应平衡，所以④画错了。
【答案】
④
【知识点】
等式的基本性质，等量代换，天平平衡原理
【点评】
本题结合天平的平衡场景考查等量关系的推导，解题的核心是先通过正确的平衡关系得到不同几何体的质量换算关系，再逐一验证剩余天平是否符合规律，解题时注意计算不要出错即可。
【难度系数】
0.7
13. 下面是小华将等式$4x-1=3x-1$变形的过程。
第一步:$4x-1+1=3x-1+1$。
第二步:$4x=3x$。
第三步:$4=3$。
(1)小华第一步变形的依据是
。
(2)小华解题过程中错误出在第几步？请说出错误的原因。
(3)请你写出正确的求解过程。
第一步:$4x-1+1=3x-1+1$。
第二步:$4x=3x$。
第三步:$4=3$。
(1)小华第一步变形的依据是
等式的性质 1
。
(2)小华解题过程中错误出在第几步？请说出错误的原因。
(3)请你写出正确的求解过程。
答案
13. 解：(1)等式的性质 1
(2)小华的错误出在第三步,错误的原因是等式两边同时除以 $x$,因为不能确定 $x$ 不为 0,所以两边不能同时除以 $x$。
(3)两边同时加 1,得 $4x=3x$,
两边同时减 $3x$,得 $4x-3x=0$,
解得 $x=0$。
(2)小华的错误出在第三步,错误的原因是等式两边同时除以 $x$,因为不能确定 $x$ 不为 0,所以两边不能同时除以 $x$。
(3)两边同时加 1,得 $4x=3x$,
两边同时减 $3x$,得 $4x-3x=0$,
解得 $x=0$。
解析
【分析】
(1) 观察第一步变形是等式两边同时加1，对应等式基本性质中两边同加同减同一个数的规则，即可确定变形依据；(2) 逐步骤核对变形规则，第三步将等式两边同时除以x，需要注意等式两边同除的数必须不为0，而此处x的值不确定，由此判断错误步骤和原因；(3) 解方程时不能直接除以未知量，需将含x的项移到同一侧合并同类项，全程保证变形符合等式性质即可。
【解析】
(1) 第一步给等式两边同时加1，依据是等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式。
(2) 错误出在第三步。根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立；本题无法确定x是否不为0，因此不能直接将等式两边同时除以x，才会得出4=3的错误结论。
(3) 正确求解过程：
首先等式两边同时加1，得$4x-1+1=3x-1+1$，化简为$4x=3x$；
再将等式两边同时减$3x$，得$4x-3x=3x-3x$，合并同类项后得$x=0$。
【答案】
(1) 等式的性质1
(2) 错误出在第三步，错误的原因是不能确定x不为0，所以等式两边不能同时除以x。
(3) 两边同时加1，得$4x=3x$，两边同时减$3x$，得$4x-3x=0$，解得$x=0$。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题聚焦等式变形的规则和易错点，重点考查学生对等式性质适用条件的掌握程度，能够帮助学生规避解方程时随意除以含未知量式子的常见错误，夯实方程求解的基础。
【难度系数】
0.7
(1) 观察第一步变形是等式两边同时加1，对应等式基本性质中两边同加同减同一个数的规则，即可确定变形依据；(2) 逐步骤核对变形规则，第三步将等式两边同时除以x，需要注意等式两边同除的数必须不为0，而此处x的值不确定，由此判断错误步骤和原因；(3) 解方程时不能直接除以未知量，需将含x的项移到同一侧合并同类项，全程保证变形符合等式性质即可。
【解析】
(1) 第一步给等式两边同时加1，依据是等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式。
(2) 错误出在第三步。根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立；本题无法确定x是否不为0，因此不能直接将等式两边同时除以x，才会得出4=3的错误结论。
(3) 正确求解过程：
首先等式两边同时加1，得$4x-1+1=3x-1+1$，化简为$4x=3x$；
再将等式两边同时减$3x$，得$4x-3x=3x-3x$，合并同类项后得$x=0$。
【答案】
(1) 等式的性质1
(2) 错误出在第三步，错误的原因是不能确定x不为0，所以等式两边不能同时除以x。
(3) 两边同时加1，得$4x=3x$，两边同时减$3x$，得$4x-3x=0$，解得$x=0$。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题聚焦等式变形的规则和易错点，重点考查学生对等式性质适用条件的掌握程度，能够帮助学生规避解方程时随意除以含未知量式子的常见错误，夯实方程求解的基础。
【难度系数】
0.7
14. 已知 $5a - 2b - 1 = 2 + 3b$，利用等式的性质比较a与b的大小。
答案
14. 解：根据等式的性质 1,$5a-2b-1=2+3b$ 的两边都加上 $2b+1$,得 $5a-2b-1+2b+1=2+3b+2b+1$,即 $5a=5b+3$,
根据等式的性质 2,$5a=5b+3$ 的两边都除以 5,得 $a=b+\frac{3}{5}$,
所以 $a＞b$。
根据等式的性质 2,$5a=5b+3$ 的两边都除以 5,得 $a=b+\frac{3}{5}$,
所以 $a＞b$。
解析
【分析】
要比较a和b的大小，可通过等式变形得到a与b的直接关系，比如将a用含b的代数式表示，再判断二者的大小。首先利用等式的性质1，把等式中含b的项和常数项移到等式同侧，再利用等式的性质2把a的系数化为1，就能得到a和b的关系，进而比较大小。
【解析】
解：根据等式的性质1，给等式$5a - 2b - 1 = 2 + 3b$的两边同时加上$2b+1$，得：
$5a - 2b - 1 + 2b + 1 = 2 + 3b + 2b + 1$
化简得：$5a = 5b + 3$
根据等式的性质2，给等式$5a = 5b + 3$的两边同时除以5，得：
$a = b + \frac{3}{5}$
可得$a - b = \frac{3}{5} ＞ 0$，因此$a ＞ b$。
【答案】
$a＞b$
【知识点】
等式的基本性质、代数式大小比较
【点评】
本题主要考查等式性质的应用和代数式大小比较的方法，解题关键是按照等式性质正确变形，得到两个变量的直接关系，变形时注意不要漏加、漏乘项。
【难度系数】
0.8
要比较a和b的大小，可通过等式变形得到a与b的直接关系，比如将a用含b的代数式表示，再判断二者的大小。首先利用等式的性质1，把等式中含b的项和常数项移到等式同侧，再利用等式的性质2把a的系数化为1，就能得到a和b的关系，进而比较大小。
【解析】
解：根据等式的性质1，给等式$5a - 2b - 1 = 2 + 3b$的两边同时加上$2b+1$，得：
$5a - 2b - 1 + 2b + 1 = 2 + 3b + 2b + 1$
化简得：$5a = 5b + 3$
根据等式的性质2，给等式$5a = 5b + 3$的两边同时除以5，得：
$a = b + \frac{3}{5}$
可得$a - b = \frac{3}{5} ＞ 0$，因此$a ＞ b$。
【答案】
$a＞b$
【知识点】
等式的基本性质、代数式大小比较
【点评】
本题主要考查等式性质的应用和代数式大小比较的方法，解题关键是按照等式性质正确变形，得到两个变量的直接关系，变形时注意不要漏加、漏乘项。
【难度系数】
0.8
