1. 如果$x=y$，那么根据等式的性质，下列变形不正确的是（）

A.$3x=3y$
B.$x+3=y+3$
C.$\frac{x}{2}=\frac{y}{2}$
D.$4-x=y-4$

1. D

【分析】
解题的核心是熟练掌握等式的两个基本性质：1. 等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。我们只需要逐一对照性质验证每个选项的变形是否符合要求，就能找出不正确的变形。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐一分析选项：
A选项：等式$x=y$两边同时乘3，根据等式性质2，可得$3x=3y$，变形正确，不符合题意；
B选项：等式$x=y$两边同时加3，根据等式性质1，可得$x+3=y+3$，变形正确，不符合题意；
C选项：等式$x=y$两边同时除以2（2≠0），根据等式性质2，可得$\frac{x}{2}=\frac{y}{2}$，变形正确，不符合题意；
D选项：若对$x=y$变形，两边同时减4可得$x-4=y-4$，两边同时乘-1再加4可得$4-x=4-y$，均无法得到$4-x=y-4$，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题，解题关键是注意等式变形时，两边必须同时进行完全相同的加减乘除操作，且除以的数不能为0。
【难度系数】
0.8

2. 已知方程 $x - 2y + 3 = 8$，则整式 $x - 2y$ 的值为 （）

A.5
B.10
C.12
D.15

2. A

【分析】
解题时先观察所求整式与已知等式的关系，发现已知等式左侧恰好是所求整式$x-2y$与3的和，因此不需要分别求解$x$、$y$的值，直接利用等式的基本性质，对等式两边同时减去3，就可以求出$x-2y$的数值，这种整体求值的思路更简便。
【解析】
根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
对等式$x - 2y + 3 = 8$的两边同时减去3，可得：
$x - 2y + 3 - 3 = 8 - 3$
化简后得到$x - 2y = 5$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质、代数式求值
【点评】
本题考查等式性质的基础应用，无需单独求解未知数值，运用整体思想对等式做简单变形即可得到结果，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9

3. 下列等式变形正确的是（）

A.如果$a=b$，那么$a+c=b-c$
B.如果$a^2=5a$，那么$a=5$
C.如果$a=b$，那么$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
D.如果$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，那么$a=b$

3. D

【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两条核心性质：1.等式两边同时加或减同一个数/整式，等式仍然成立；2.等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一对照选项判断变形是否符合性质，尤其要注意除以含字母的式子时，必须满足分母不为0的前提条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若$a=b$，根据等式性质1，两边需同时加或减同一个数，等式才成立。选项左边加$c$、右边减$c$，不符合性质，变形错误。
B. 若$a^2=5a$，移项得$a^2-5a=0$，即$a(a-5)=0$，解得$a=0$或$a=5$，选项漏掉了$a=0$的情况，变形错误。
C. 若$a=b$，根据等式性质2，两边同时除以$c$的前提是$c≠0$，选项未说明$c$不为0，变形不成立。
D. 若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，该等式成立说明分母$c≠0$，根据等式性质2，两边同时乘$c$可得$a=b$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点为忽略等式两边除以字母时，字母不能为0的前提条件，做题时要注意变形的严谨性。
【难度系数】
0.7

4. 下列运用等式的性质对等式进行变形，正确的是（）

A.由$\frac{x}{4}=0$，得$x=4$
B.由$2x+1=4$，得$x=5$
C.由$-2x=6$，得$x=3$
D.由$8=5x+3$，得$x=1$

4. D

【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路是根据等式的两个基本性质，逐一验证每个选项的变形是否正确：等式性质1为等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式性质2为等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：由$\frac{x}{4}=0$，根据等式性质2，两边同时乘4，得$x=0×4=0$，而非$x=4$，故A错误；
B选项：由$2x+1=4$，先根据等式性质1两边减1，得$2x=4-1=3$，再根据等式性质2两边除以2，得$x=\frac{3}{2}$，而非$x=5$，故B错误；
C选项：由$-2x=6$，根据等式性质2，两边同时除以$-2$，得$x=6÷(-2)=-3$，而非$x=3$，故C错误；
D选项：由$8=5x+3$，先根据等式性质1两边减3，得$8-3=5x$，即$5=5x$，再根据等式性质2两边除以5，得$x=1$，变形正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质；方程的变形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对等式基本性质的理解与运用，变形时要注意两边同时进行相同的运算，除以负数时要注意符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.85

5. 若$2y -7x=0(y≠0)$，则$x:y=$（）

A.$7:2$
B.$4:7$
C.$7:4$
D.$2:7$

5. D

【分析】
要计算x:y的比值，本质是求$\frac{x}{y}$的值，因此需要对已知等式进行变形。首先通过移项将含x、y的项分别放在等号两侧，再利用等式的基本性质，在等式两边同时除以不为0的数，最终得到$\frac{x}{y}$的结果，解题时注意不要颠倒x和y的顺序，避免选错。
【解析】
已知$2y -7x=0$（$y≠0$），
移项可得：$7x=2y$，
根据等式的基本性质，等式两边同时除以$7y$（$y≠0$，因此$7y≠0$，运算合法），
左边为$\frac{7x}{7y}=\frac{x}{y}$，右边为$\frac{2y}{7y}=\frac{2}{7}$，
因此$\frac{x}{y}=\frac{2}{7}$，即$x:y=2:7$。
【答案】
D
【知识点】
1.等式的基本性质 2.比例的意义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查等式变形和比例换算，掌握等式的基本运算规则，注意x和y的比例顺序即可快速解答。
【难度系数】
0.8

6. 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并在括号内填上理论依据。
(1)如果$2x+7=10$，那么$2x=10-\_\_\_\_\_\_$（ ）。
(2)如果$-3x=8$，那么$x=\_\_\_\_\_\_$（ ）。
(3)如果$x-\frac{2}{3}=y-\frac{2}{3}$，那么$x=\_\_\_\_\_\_$（ ）。
(4)如果$\frac{a}{4}=2$，那么$a=\_\_\_\_\_\_$（ ）。

6. (1)7 等式的性质 1
(2)$-\frac{8}{3}$ 等式的性质 2
(3)$y$ 等式的性质 1
(4)8 等式的性质 2

【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质：性质1是等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；性质2是等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再根据每个小题中等式的变形目标，判断是加减变形还是乘除变形，对应选择合适的性质计算即可。
【解析】
(1) 对于等式$2x+7=10$，要得到左边为$2x$，需将等式两边同时减去7，根据等式的性质1，右边变为$10-7$，因此横线处填7，依据为等式的性质1。
(2) 对于等式$-3x=8$，要得到左边为$x$，需将等式两边同时除以$-3$（$-3\ne0$），根据等式的性质2，右边为$8÷(-3)=-\frac{8}{3}$，因此横线处填$-\frac{8}{3}$，依据为等式的性质2。
(3) 对于等式$x-\frac{2}{3}=y-\frac{2}{3}$，要得到左边为$x$，需将等式两边同时加上$\frac{2}{3}$，根据等式的性质1，右边变为$y-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=y$，因此横线处填$y$，依据为等式的性质1。
(4) 对于等式$\frac{a}{4}=2$，要得到左边为$a$，需将等式两边同时乘4，根据等式的性质2，右边变为$2×4=8$，因此横线处填8，依据为等式的性质2。
【答案】
(1)7，等式的性质1；(2)$-\frac{8}{3}$，等式的性质2；(3)$y$，等式的性质1；(4)8，等式的性质2
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等式基本性质的掌握与直接运用，解题时要注意区分加减变形对应性质1，乘除变形对应性质2，做除法变形时要注意除数不能为0，还要注意计算时符号不要出错。
【难度系数】
0.8

7. 已知☆+☆+☆=△+△，那么☆：△=。如果☆+△=120，那么☆=。

7. (1)$2:3$ (2)$48$

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：1. 第一问求☆与△的比，首先将已知的加法等式转化为乘法等式：$3☆=2△$，再运用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），将乘法等式改写为比例式即可得到☆:△的比值。2. 第二问已知☆与△的和，结合第一问得到的两者的比例关系，将△用含☆的式子表示后代入和的等式中，运用等式的基本性质求解即可得到☆的值，也可以通过按比分配的方法，根据比例求出总份数，对应两者的和求出每份的数值，再计算☆对应的数值。
【解析】
1. 求☆:△的比值：
已知☆+☆+☆=△+△，整理得：$ 3☆ = 2△ $
根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，将☆和3作为比例的外项，△和2作为比例的内项，可得：
$ ☆:△ = 2:3 $
2. 求☆的数值：
由$ ☆:△ = 2:3 $可得：$ △ = \frac{3}{2}☆ $
将$ △ = \frac{3}{2}☆ $代入$ ☆+△=120 $中，得：
$ ☆ + \frac{3}{2}☆ = 120 $
合并同类项得：$ \frac{5}{2}☆ = 120 $
等式两边同时乘$ \frac{2}{5} $，得：$ ☆ = 120 × \frac{2}{5} = 48 $
【答案】
$ 2:3 $；$ 48 $
【知识点】
比例的基本性质，等式的基本性质，按比分配
【点评】
本题是比例与等式性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握比例和等式的基本性质，能灵活进行乘法等式和比例式的转化，同时会结合比例关系与两个量的和求解单个量，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8

8. 利用等式的性质解下列方程，并写出
(1)的检验过程。
(1)$3+x=5$。
(2)$-3x=6$。
(3)$5+2x=-1$。

8. 解：(1)原方程两边同时减去 3 可得 $x=2$。
检验:当 $x=2$ 时,左边 $=3+2=5=$ 右边,
故原方程的解为 $x=2$。
(2)原方程两边同时除以 $-3$ 可得 $x=-2$。
(3)原方程两边同时减去 5 可得 $2x=-6$,
两边同时除以 2,得 $x=-3$。

【分析】
这道题需运用等式的基本性质求解一元一次方程，解题思路如下：首先明确两个等式性质的适用场景：等式性质1（等式两边加/减同一个数或整式，等式仍成立）用于消去方程中不含未知数的常数项；等式性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立）用于将未知数的系数化为1。求解第(1)题后还要把所得的解代入原方程，验证左右两边是否相等，确认解的正确性。
具体到各小题：(1)左边含常数3，根据等式性质1两边同时减3即可得到x的值，再代入检验；(2)左边是-3与x的乘积，根据等式性质2两边同时除以-3即可得解；(3)先根据等式性质1两边减5消去左边的常数5，再根据等式性质2两边除以2把x的系数化为1即可得解。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，原方程两边同时减去3：
$3+x-3=5-3$
化简得$x=2$
检验：把$x=2$代入原方程，左边$=3+2=5$，右边$=5$，左边=右边，因此$x=2$是原方程的解。
(2) 根据等式的性质2，原方程两边同时除以$-3$：
$-3x÷(-3)=6÷(-3)$
化简得$x=-2$
(3) 根据等式的性质1，原方程两边同时减去5：
$5+2x-5=-1-5$
化简得$2x=-6$
再根据等式的性质2，两边同时除以2：
$2x÷2=-6÷2$
化简得$x=-3$
【答案】
(1) $x=2$，检验过程见解析；(2) $x=-2$；(3) $x=-3$
【知识点】
等式的基本性质、一元一次方程的解法、方程的检验
【点评】
本题是基础题型，重点考查对等式基本性质的理解和运用，解方程时需严格按照等式性质做变形，检验时要代入原方程计算，是后续学习复杂方程求解的重要基础。
【难度系数】
0.9