1. 圆心角的定义：
圆周角的定义：

1. 顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角

【分析】
本题考查圆心角与圆周角的基础定义，属于概念识记类题型。解题时需分别回忆两类角的核心判定要素：圆心角的核心特征是顶点位置在圆心；圆周角需要同时满足两个核心条件，一是顶点在圆上，二是角的两边都和圆相交，抓住这几个关键特征即可准确填写定义。
【解析】
1. 圆心角的判定核心为顶点位置：顶点处于圆心位置的角就是圆心角，因此圆心角的定义为顶点在圆心的角叫做圆心角。
2. 圆周角需要同时满足两个必要条件，缺少任意一个都不属于圆周角：①顶点在圆上；②角的两条边都和圆相交，因此圆周角的定义为顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
【答案】
顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
【知识点】
圆心角的定义；圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，是后续学习圆相关角度的性质、计算及证明的前提，需要准确区分两类角的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

2. 圆周角定理：
圆周角定理推论
1.
2.

2. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径

【分析】
本题考查圆周角定理及其推论的基础概念记忆。解题思路为：回忆教材中关于圆周角定理及两条推论的官方规范表述，填写时注意保留所有关键限定词，避免因表述不严谨失分，比如要明确是“一条弧所对的”圆周角和圆心角的对应关系，推论1要限定“同弧或等弧”的前提，推论2要涵盖双向的结论。
【解析】
第一空为圆周角定理内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
第二空为推论1内容：同弧或等弧所对的圆周角相等；
第三空为推论2内容：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【答案】
2. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
【知识点】
圆周角定理、圆周角定理的推论
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是检验对圆周角相关核心定理的掌握程度，这些定理是后续求解圆与几何结合类问题的重要依据，需要熟练记忆并明确其应用前提。
【难度系数】
0.9

合作学习
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫作,这个圆叫作这个.
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O是四边形ABCD的外接圆.
∵ ∠A所对弧为,∠C所对弧为.
又与所对的圆心角的和是,
∴ ∠A + ∠C = .
同理 ∠B + ∠D = .
这样,我们得到结论:.

圆内接多边形；多边形的外接圆；弧BAD；弧BCD；弧BAD；弧BCD；360°；180°；180°；圆内接四边形的对角互补

【分析】
本题考查圆内接多边形的相关概念及圆内接四边形性质的推导，解题思路如下：1. 首先回忆与圆相关的多边形基础定义，直接填写前两个概念类空格；2. 推导圆内接四边形的对角关系时，结合圆周角定理（圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半），先找到四边形两个对角分别对应的弧，可知这两段弧恰好构成完整圆周，对应圆心角之和为360°，由此可推出两个对角的和为圆心角和的一半，即180°，同理可得到另一组对角的和，最后总结出对应的性质即可。
【解析】
1. 根据定义：所有顶点都在同一个圆上的多边形叫作圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆；
2. 观察内接四边形ABCD，∠A所对弧为弧BAD，∠C所对弧为弧BCD；
3. 弧BAD与弧BCD刚好组成整个圆周，因此二者所对的圆心角的和是360°；
4. 根据圆周角定理，圆周角等于其所对弧圆心角的一半，因此$∠ A + ∠ C = \frac{1}{2}×360°=180°$；
5. 同理可推导得出$∠ B + ∠ D = 180°$；
6. 最终总结得到结论：圆内接四边形的对角互补。
【答案】
圆内接多边形；多边形的外接圆；弧BAD；弧BCD；弧BAD；弧BCD；360°；180°；180°；圆内接四边形的对角互补
【知识点】
圆内接多边形概念；圆周角定理；圆内接四边形性质
【点评】
本题属于基础概念推导类题目，重点考查对圆相关基础定义的掌握和圆周角定理的应用，通过自行推导圆内接四边形的性质，能加深对圆周角与圆心角对应关系的理解，熟练掌握相关基础定义即可快速作答。
【难度系数】
0.85

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.若∠BOD＝100°，求∠A和
∠C的度数.

解：
∵ 圆心角∠BOD和圆周角∠A都对着弧BD，
∴ ∠A = 1/2∠BOD = 1/2 × 100° = 50°，又
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角互补，
∴ ∠A + ∠C = 180°，
∴ ∠C = 180° - 50° = 130°

【分析】
解题时先梳理已知条件：已知圆心角∠BOD=100°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。首先要求∠A，观察到∠A是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，可直接运用圆周角定理计算∠A；再根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已求出的∠A的度数，就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ 圆心角∠BOD和圆周角∠A都对着弧BD，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ ∠A = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$ × 100° = 50°，
又
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，圆内接四边形的对角互补，
∴ ∠A + ∠C = 180°，
∴ ∠C = 180° - ∠A = 180° - 50° = 130°。
【答案】
∠A=50°，∠C=130°
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是对圆周角定理和圆内接四边形性质的直接应用，只要能准确识别同弧对应的圆心角、圆周角，牢记相关性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

1. 如图,在$\odot O$的内接四边形ABCD中,$∠ BOD = 120°$,则$∠ BCD$的度数是()

A.$120°$
B.$100°$
C.$80°$
D.$60°$

1. A

【分析】
解题时先梳理已知条件：已知圆心角∠BOD的度数，且四边形是圆的内接四边形。首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出弧BD对应的圆周角∠A的度数；再利用圆内接四边形对角互补的性质，就能求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵在⊙O中，弧BD所对的圆心角为∠BOD=120°，弧BD所对的圆周角为∠A，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×120°=60°$，
又
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴$∠ A+∠ BCD=180°$，
∴$∠ BCD=180°-∠ A=180°-60°=120°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角与圆心角的关系、圆内接四边形的性质，熟练掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,若$∠ AOC = 160°$,则$∠ ABC$的度数是 ()

A.$80°$
B.$100°$
C.$140°$
D.$160°$

第2题图 变式2题图
【变式1】若将T2中“$∠ AOC = 160°$”改为“$∠ ABC = 110°$”,则$∠ AOC =$ .
【变式2】如图,在$\odot O$中,点A在$\overset{\frown}{BC}$上,$∠ BOC = 100°$,则$∠ BAC =$ .

2. B
变式1. 140°
变式2. 130°

【分析】
解题需用到两个核心定理：①圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；②圆内接四边形的对角互补。
原题思路：先根据圆周角定理，由已知圆心角∠AOC求出同弧所对的圆周角∠ADC的度数，再利用圆内接四边形对角互补的性质，计算∠ABC的度数。
变式1思路：已知∠ABC，先通过圆内接四边形对角互补求出同弧AC对应的圆周角∠ADC，再根据圆周角定理，圆心角是同弧圆周角的2倍，求解∠AOC即可。
变式2思路：已知劣弧BC对应的圆心角∠BOC，先求出优弧BC对应的圆心角度数，再利用圆周角定理计算优弧BC所对的圆周角∠BAC的度数即可。
【解析】
原题解答：
1. 根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ADC是圆心角∠AOC的一半：
$∠ ADC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×160°=80°$
2. 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，对角互补：
$∠ ABC+∠ ADC=180°$
代入$∠ ADC=80°$得：$∠ ABC=180°-80°=100°$
故选B。
变式1解答：
1. 由圆内接四边形对角互补得：$∠ ADC=180°-∠ ABC=180°-110°=70°$
2. 根据圆周角定理，同弧AC所对的圆心角$∠ AOC$是圆周角$∠ ADC$的2倍：
$∠ AOC=2∠ ADC=2×70°=140°$
变式2解答：
1. 劣弧BC对应的圆心角$∠ BOC=100°$，则优弧BC对应的圆心角为：$360°-100°=260°$
2. 根据圆周角定理，优弧BC所对的圆周角$∠ BAC$是对应圆心角的一半：
$∠ BAC=\frac{1}{2}×260°=130°$
【答案】
2. B；变式1. $140°$；变式2. $130°$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题及变式是圆周角相关的基础题型，解题关键是准确区分圆心角、圆周角对应的弧（注意区分优弧和劣弧），熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8