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1. 如图,已知点A,B,C在$\odot O$上,$\overset{\frown}{ACB}$为优弧,下列选项中与$∠AOB$相等的是(
A.$2∠C$
B.$4∠B$
C.$4∠A$
D.$∠B + ∠C$
A
)A.$2∠C$
B.$4∠B$
C.$4∠A$
D.$∠B + ∠C$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断与∠AOB相等的角，首先明确∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，观察选项中的角均为圆周角，回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。首先找到与∠AOB同对弧AB的圆周角，再推导二者的数量关系即可得到答案。
【解析】
∵∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠C是⊙O中弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：在同圆中，同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，
∴∠AOB=2∠C。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆周角定理的应用，熟练掌握同弧所对圆心角与圆周角的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85
要判断与∠AOB相等的角，首先明确∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，观察选项中的角均为圆周角，回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。首先找到与∠AOB同对弧AB的圆周角，再推导二者的数量关系即可得到答案。
【解析】
∵∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠C是⊙O中弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：在同圆中，同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，
∴∠AOB=2∠C。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆周角定理的应用，熟练掌握同弧所对圆心角与圆周角的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85
2. 如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,$OA ⊥ BC$于点E.若$∠ ADC=30°$,$AE=2$,则BC的长为 (
A.$4\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.8
D.4
A
)A.$4\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.8
D.4
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先结合已知条件定位用到的定理：首先由OA⊥BC可联想到垂径定理，得到BC=2CE=2BE，因此只要求出CE的长度就能得到BC的长；其次∠ADC是弧AC对应的圆周角，根据圆周角定理可推出弧AC对应的圆心角∠AOC=60°；最后连接半径OC构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质结合AE=2求出半径，再用勾股定理计算CE的长度即可。
【解析】
解：连接OC，
∵OA⊥BC，OA为⊙O的半径，
∴由垂径定理可得：$CE=BE=\frac{1}{2}BC$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}$，
∵∠ADC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴由圆周角定理可得：$∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°$，
∵OA⊥BC，
∴$∠OEC=90°$，
∴在$Rt△ OEC$中，$∠OCE=90°-60°=30°$，即$OE=\frac{1}{2}OC$，
设⊙O的半径为$r$，则$OC=OA=r$，$OE=OA-AE=r-2$，
代入$OE=\frac{1}{2}OC$得：$r-2=\frac{1}{2}r$，解得$r=4$，
∴$OC=4$，$OE=4-2=2$，
在$Rt△ OEC$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$BC=2CE=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的典型综合题，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理、圆周角定理转化角度和线段关系，再利用特殊直角三角形的性质和勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件定位用到的定理：首先由OA⊥BC可联想到垂径定理，得到BC=2CE=2BE，因此只要求出CE的长度就能得到BC的长；其次∠ADC是弧AC对应的圆周角，根据圆周角定理可推出弧AC对应的圆心角∠AOC=60°；最后连接半径OC构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质结合AE=2求出半径，再用勾股定理计算CE的长度即可。
【解析】
解：连接OC，
∵OA⊥BC，OA为⊙O的半径，
∴由垂径定理可得：$CE=BE=\frac{1}{2}BC$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AB}$，
∵∠ADC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴由圆周角定理可得：$∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°$，
∵OA⊥BC，
∴$∠OEC=90°$，
∴在$Rt△ OEC$中，$∠OCE=90°-60°=30°$，即$OE=\frac{1}{2}OC$，
设⊙O的半径为$r$，则$OC=OA=r$，$OE=OA-AE=r-2$，
代入$OE=\frac{1}{2}OC$得：$r-2=\frac{1}{2}r$，解得$r=4$，
∴$OC=4$，$OE=4-2=2$，
在$Rt△ OEC$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$BC=2CE=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的典型综合题，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理、圆周角定理转化角度和线段关系，再利用特殊直角三角形的性质和勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$\odot C$经过原点$O$，并与两坐标轴相交于$A$，$D$两点. 已知$∠ OBA = 60°$，点$D$的坐标是$(0,2)$，则$\odot C$的半径为
2
. 答案
3. 2
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，∠AOD是直角，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可连接AD得到圆的直径，将求半径转化为求直径AD的一半；接下来∠OBA和∠ODA是同弧OA所对的圆周角，二者相等，即可得到Rt△AOD中∠ADO的度数；最后已知点D坐标可得OD长度，结合直角三角形的边角关系求出AD的长度，除以2即可得到半径。
【解析】
解：连接AD，
∵ ∠AOD = 90°，
∴ AD是⊙C的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
∵ ∠OBA和∠ODA都是弧OA所对的圆周角，
∴ ∠ODA = ∠OBA = 60°。
∵ 点D的坐标为$(0,2)$，
∴ $OD = 2$。
在$Rt△ AOD$中，$∠OAD = 90° - ∠ODA = 30°$，
∴ $AD = 2OD = 4$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴ ⊙C的半径为$AD÷2 = 4÷2 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题解题的关键是正确添加辅助线构造含特殊角的直角三角形，利用圆周角定理完成角度的转化，进而结合直角三角形的性质求出直径后得到半径，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，∠AOD是直角，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可连接AD得到圆的直径，将求半径转化为求直径AD的一半；接下来∠OBA和∠ODA是同弧OA所对的圆周角，二者相等，即可得到Rt△AOD中∠ADO的度数；最后已知点D坐标可得OD长度，结合直角三角形的边角关系求出AD的长度，除以2即可得到半径。
【解析】
解：连接AD，
∵ ∠AOD = 90°，
∴ AD是⊙C的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
∵ ∠OBA和∠ODA都是弧OA所对的圆周角，
∴ ∠ODA = ∠OBA = 60°。
∵ 点D的坐标为$(0,2)$，
∴ $OD = 2$。
在$Rt△ AOD$中，$∠OAD = 90° - ∠ODA = 30°$，
∴ $AD = 2OD = 4$（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴ ⊙C的半径为$AD÷2 = 4÷2 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题解题的关键是正确添加辅助线构造含特殊角的直角三角形，利用圆周角定理完成角度的转化，进而结合直角三角形的性质求出直径后得到半径，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
4. 已知$\odot O$的直径为8 cm，弦AB的长为4 cm，则弦AB所对的圆周角的度数为
30° 或 150°
。答案
4. 30° 或 150°
解析
【分析】
解题时首先结合圆的半径与弦长的关系判断圆心角的度数：先根据直径求出半径，可得弦长与两条半径长度相等，即围成等边三角形，得到弦AB对应的圆心角为60°。接下来注意弦所对的圆周角有两类，分别位于弦的两侧：一类顶点在优弧上，一类顶点在劣弧上，再结合圆周角定理分别计算两类圆周角的度数即可，不要漏解。
【解析】
解：
∵⊙O的直径为8cm，
∴半径OA=OB=8÷2=4cm，
又
∵AB=4cm，
∴OA=OB=AB，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°。
分两种情况讨论弦AB所对的圆周角：
①当圆周角的顶点在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
②当圆周角的顶点在劣弧AB上时，该圆周角对应的圆心角为360°-60°=300°，同理可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}$×300°=150°。
综上，弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是明确同一条弦所对的圆周角有两种，且这两个角互补，易错点是忽略分类讨论导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合圆的半径与弦长的关系判断圆心角的度数：先根据直径求出半径，可得弦长与两条半径长度相等，即围成等边三角形，得到弦AB对应的圆心角为60°。接下来注意弦所对的圆周角有两类，分别位于弦的两侧：一类顶点在优弧上，一类顶点在劣弧上，再结合圆周角定理分别计算两类圆周角的度数即可，不要漏解。
【解析】
解：
∵⊙O的直径为8cm，
∴半径OA=OB=8÷2=4cm，
又
∵AB=4cm，
∴OA=OB=AB，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°。
分两种情况讨论弦AB所对的圆周角：
①当圆周角的顶点在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
②当圆周角的顶点在劣弧AB上时，该圆周角对应的圆心角为360°-60°=300°，同理可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}$×300°=150°。
综上，弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是明确同一条弦所对的圆周角有两种，且这两个角互补，易错点是忽略分类讨论导致漏解。
【难度系数】
0.6
5.已知$\odot O$的直径为10，点A，点B，点C在$\odot O$上，$∠ CAB$的平分线交$\odot O$于点D.若$∠ CAB = 60°$，求BD的长度. 
答案
5. BD = 5
解析
【分析】
要求BD的长度，可结合圆的性质与特殊三角形的性质求解：首先根据角平分线定义求出∠BAD的度数，再连接OB、OD构造圆心角，利用圆周角定理得到∠BOD的度数，最后结合半径相等判断△OBD的形状，即可求出BD的长度。
【解析】
解：连接OB、OD。
∵AD平分∠CAB，∠CAB=60°，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠CAB = 30°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOD = 2∠BAD = 60°。
∵⊙O的直径为10，
∴半径OB = OD = $\frac{10}{2}$ = 5。
在△OBD中，OB=OD，∠BOD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD = OB = 5。
【答案】
BD = 5
【知识点】
圆周角定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆中线段求解的基础题型，解题的关键是合理添加辅助线构造圆心角，结合圆周角定理和特殊三角形的性质完成求解，对基础知识点的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要求BD的长度，可结合圆的性质与特殊三角形的性质求解：首先根据角平分线定义求出∠BAD的度数，再连接OB、OD构造圆心角，利用圆周角定理得到∠BOD的度数，最后结合半径相等判断△OBD的形状，即可求出BD的长度。
【解析】
解：连接OB、OD。
∵AD平分∠CAB，∠CAB=60°，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠CAB = 30°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOD = 2∠BAD = 60°。
∵⊙O的直径为10，
∴半径OB = OD = $\frac{10}{2}$ = 5。
在△OBD中，OB=OD，∠BOD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD = OB = 5。
【答案】
BD = 5
【知识点】
圆周角定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆中线段求解的基础题型，解题的关键是合理添加辅助线构造圆心角，结合圆周角定理和特殊三角形的性质完成求解，对基础知识点的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
