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8. 观察以下三个图形. 
结论:在同圆或等圆中，
半圆(或直径)所对的圆周角是
结论:在同圆或等圆中，
同弧或等弧
所对的圆周角相等.半圆(或直径)所对的圆周角是
直角
，90°的圆周角
所对的弦是直径.答案
8. 同弧或等弧；直角；90°的圆周角
解析
【分析】
本题考查圆周角定理的相关推论，解题时结合给出的三个图形回忆对应性质即可：首先观察第一个图，多个顶点在圆上的圆周角对应同一段弧时角度相等，可推导第一个空的结论；第二个图中AB为圆的直径，对应的圆周角∠ACB的度数可结合圆周角定理（圆周角等于所对圆心角的一半）推导，得到第二个空的结论；反过来推导，如果圆周角为90°，则其对应的圆心角为180°，对应弦过圆心即为直径，得到第三个空的结论。
【解析】
根据圆周角定理的推论：
1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，因此第一个空填写“同弧或等弧”；
2. 半圆（或直径）对应的圆心角为180°，根据圆周角等于所对圆心角的一半，可知其所对的圆周角为$\frac{180°}{2}=90°$，也就是直角，因此第二个空填写“直角”；
3. 若一个圆周角为90°，则它所对的圆心角为$90°×2=180°$，此时对应弦的两个端点与圆心共线，即该弦为直径，因此第三个空填写“90°的圆周角”。
【答案】
同弧或等弧；直角；90°的圆周角
【知识点】
圆周角定理推论；同弧圆周角性质；直径与圆周角关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对圆周角相关基础推论的记忆与理解，结合图形记忆相关结论会更清晰，这类基础性质是后续解决圆相关的计算、证明题的核心基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查圆周角定理的相关推论，解题时结合给出的三个图形回忆对应性质即可：首先观察第一个图，多个顶点在圆上的圆周角对应同一段弧时角度相等，可推导第一个空的结论；第二个图中AB为圆的直径，对应的圆周角∠ACB的度数可结合圆周角定理（圆周角等于所对圆心角的一半）推导，得到第二个空的结论；反过来推导，如果圆周角为90°，则其对应的圆心角为180°，对应弦过圆心即为直径，得到第三个空的结论。
【解析】
根据圆周角定理的推论：
1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，因此第一个空填写“同弧或等弧”；
2. 半圆（或直径）对应的圆心角为180°，根据圆周角等于所对圆心角的一半，可知其所对的圆周角为$\frac{180°}{2}=90°$，也就是直角，因此第二个空填写“直角”；
3. 若一个圆周角为90°，则它所对的圆心角为$90°×2=180°$，此时对应弦的两个端点与圆心共线，即该弦为直径，因此第三个空填写“90°的圆周角”。
【答案】
同弧或等弧；直角；90°的圆周角
【知识点】
圆周角定理推论；同弧圆周角性质；直径与圆周角关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对圆周角相关基础推论的记忆与理解，结合图形记忆相关结论会更清晰，这类基础性质是后续解决圆相关的计算、证明题的核心基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
如图，$\odot O$的直径AB的长为10，弦AC的长为6.$∠ AOB$的平分线交$\odot O$于点D，求BC，AD，BD的长.
答案
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，由勾股定理得：BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD。
在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，即2AD²=10²，解得AD=BD=$5\sqrt{2}$。
即BC=8，AD=BD=$5\sqrt{2}$。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，由勾股定理得：BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD。
在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，即2AD²=10²，解得AD=BD=$5\sqrt{2}$。
即BC=8，AD=BD=$5\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可直接得到△ACB和△ADB都是直角三角形。求BC的长时，在Rt△ABC中已知AB和AC的长度，直接用勾股定理计算即可。再看OD平分∠AOB的条件，根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得AD=BD，即△ABD是等腰直角三角形，再次结合勾股定理就能求出AD、BD的长度。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵OD平分$∠ AOB$，
∴$∠ AOD=∠ BOD$，
∴$AD=BD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
代入$AD=BD$、$AB=10$，得$2AD^2=10^2$，
解得$AD=BD=5\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$BC=8$，$AD=BD=5\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理推论；圆心角与弦的关系；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，解题核心是熟练运用圆的基础性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算边长，是圆类边长计算的常见考法，相关性质需牢固掌握。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件：AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可直接得到△ACB和△ADB都是直角三角形。求BC的长时，在Rt△ABC中已知AB和AC的长度，直接用勾股定理计算即可。再看OD平分∠AOB的条件，根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得AD=BD，即△ABD是等腰直角三角形，再次结合勾股定理就能求出AD、BD的长度。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵OD平分$∠ AOB$，
∴$∠ AOD=∠ BOD$，
∴$AD=BD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
代入$AD=BD$、$AB=10$，得$2AD^2=10^2$，
解得$AD=BD=5\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$BC=8$，$AD=BD=5\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理推论；圆心角与弦的关系；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，解题核心是熟练运用圆的基础性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算边长，是圆类边长计算的常见考法，相关性质需牢固掌握。
【难度系数】
0.8
拓展
如图,在$\odot O$中,$∠ BOC=60°, OC // AB$,求$∠ BDC$的度数.
如图,在$\odot O$中,$∠ BOC=60°, OC // AB$,求$∠ BDC$的度数.
答案
解：
∵OC//AB，
∴∠OCA=∠BAC。
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠BAC。
∵∠BOC=60°，根据圆周角定理，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴∠BDC=∠BAC=30°。
∵OC//AB，
∴∠OCA=∠BAC。
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠BAC。
∵∠BOC=60°，根据圆周角定理，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴∠BDC=∠BAC=30°。
解析
【分析】
要求∠BDC的度数，我们可以从已知条件逐步推导：首先根据OC//AB的平行关系，得到内错角相等；再结合圆的半径相等，推出等腰三角形的底角相等，得到角的等量代换关系；然后利用圆周角定理，由已知的圆心角∠BOC的度数求出对应圆周角∠BAC的度数；最后通过角的等量关系得到∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵OC//AB，
∴∠OCA=∠BAC（两直线平行，内错角相等）。
∵OA、OC都是⊙O的半径，即OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角），
∴∠OAC=∠BAC（等量代换）。
∵∠BOC=60°，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴∠BDC=∠BAC=30°。
【答案】
30°
【知识点】
圆周角定理；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，结合平行线、等腰三角形的性质进行角的转化，能很好地考查对基础性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠BDC的度数，我们可以从已知条件逐步推导：首先根据OC//AB的平行关系，得到内错角相等；再结合圆的半径相等，推出等腰三角形的底角相等，得到角的等量代换关系；然后利用圆周角定理，由已知的圆心角∠BOC的度数求出对应圆周角∠BAC的度数；最后通过角的等量关系得到∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵OC//AB，
∴∠OCA=∠BAC（两直线平行，内错角相等）。
∵OA、OC都是⊙O的半径，即OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角），
∴∠OAC=∠BAC（等量代换）。
∵∠BOC=60°，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴∠BDC=∠BAC=30°。
【答案】
30°
【知识点】
圆周角定理；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，结合平行线、等腰三角形的性质进行角的转化，能很好地考查对基础性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
1.如图,A,B,C是$\odot O$上的点,若$∠ C = 35°$,则$∠ ABO$的度数是(
A.$35°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$70°$
B
)A.$35°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先明确已知角与待求角的关联：首先∠C是弧AB所对的圆周角，与之对应的同弧圆心角为∠AOB，可先通过圆周角定理求出∠AOB的度数；再观察△AOB，OA、OB均为圆的半径，故△AOB是等腰三角形，结合三角形内角和定理即可求出∠ABO的度数。
【解析】
1. 求圆心角∠AOB的度数：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C=35°
∴∠AOB=2∠C=2×35°=70°
2. 求∠ABO的度数：
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，即△AOB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠ABO
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ABO=(180°-∠AOB)÷2=(180°-70°)÷2=55°
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，核心是利用圆周角与圆心角的数量关系进行角度转化，再结合等腰三角形的性质求解，只要熟练掌握相关基础定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确已知角与待求角的关联：首先∠C是弧AB所对的圆周角，与之对应的同弧圆心角为∠AOB，可先通过圆周角定理求出∠AOB的度数；再观察△AOB，OA、OB均为圆的半径，故△AOB是等腰三角形，结合三角形内角和定理即可求出∠ABO的度数。
【解析】
1. 求圆心角∠AOB的度数：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C=35°
∴∠AOB=2∠C=2×35°=70°
2. 求∠ABO的度数：
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，即△AOB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠ABO
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ABO=(180°-∠AOB)÷2=(180°-70°)÷2=55°
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，核心是利用圆周角与圆心角的数量关系进行角度转化，再结合等腰三角形的性质求解，只要熟练掌握相关基础定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图,已知$△ ABC$的三个顶点在$\odot O$上,$∠ BAC = 50°, ∠ ABC = 47°$,则$∠ AOB =$
$166°$
.答案
2. $166°$
解析
【分析】
要求圆心角∠AOB的度数，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。∠AOB对应弧AB，同弧AB所对的圆周角为∠ACB，因此需要先求出∠ACB的度数。已知△ABC的两个内角，利用三角形内角和为180°即可算出∠ACB，再代入圆周角定理即可得到∠AOB的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC$
代入已知$∠ BAC=50°$，$∠ ABC=47°$，得：
$∠ ACB = 180° - 50° - 47° = 83°$
根据圆周角定理，同弧AB所对的圆心角$∠ AOB$是圆周角$∠ ACB$的2倍：
$∠ AOB = 2∠ ACB = 2×83° = 166°$
【答案】
$166°$
【知识点】
三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆周角定理的应用，解题关键是找到同弧对应的圆心角和圆周角的关系，结合三角形内角和定理计算即可，熟练掌握基础几何定理是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.85
要求圆心角∠AOB的度数，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。∠AOB对应弧AB，同弧AB所对的圆周角为∠ACB，因此需要先求出∠ACB的度数。已知△ABC的两个内角，利用三角形内角和为180°即可算出∠ACB，再代入圆周角定理即可得到∠AOB的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC$
代入已知$∠ BAC=50°$，$∠ ABC=47°$，得：
$∠ ACB = 180° - 50° - 47° = 83°$
根据圆周角定理，同弧AB所对的圆心角$∠ AOB$是圆周角$∠ ACB$的2倍：
$∠ AOB = 2∠ ACB = 2×83° = 166°$
【答案】
$166°$
【知识点】
三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆周角定理的应用，解题关键是找到同弧对应的圆心角和圆周角的关系，结合三角形内角和定理计算即可，熟练掌握基础几何定理是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.85
3. 如图,已知BD是$\odot O$的直径,$\odot O$的弦$AC ⊥ BD$于点E. 若$∠ AOD = 60°$,则$∠ DBC$的度数为
$30°$
.答案
3. $30°$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：已知直径垂直于弦，首先想到垂径定理，可得弦AC所对的劣弧AD和劣弧CD相等；等弧对应的圆心角相等，因此可求出弧CD对应的圆心角∠COD的度数；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵ BD是⊙O的直径，且AC⊥BD于点E，
根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ 弧AD和弧CD对应的圆心角相等，即$∠COD=∠AOD=60°$，
又
∵ $∠DBC$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
∴ $∠DBC=\frac{1}{2}∠COD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
1.垂径定理 2.圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础应用题，核心是通过垂径定理得到等弧，将已知的圆心角条件转化为待求角对应的弧的圆心角，再结合圆周角定理完成计算，熟练掌握圆的相关基本定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征：已知直径垂直于弦，首先想到垂径定理，可得弦AC所对的劣弧AD和劣弧CD相等；等弧对应的圆心角相等，因此可求出弧CD对应的圆心角∠COD的度数；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的圆心角度数的一半，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵ BD是⊙O的直径，且AC⊥BD于点E，
根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ 弧AD和弧CD对应的圆心角相等，即$∠COD=∠AOD=60°$，
又
∵ $∠DBC$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
∴ $∠DBC=\frac{1}{2}∠COD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
1.垂径定理 2.圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础应用题，核心是通过垂径定理得到等弧，将已知的圆心角条件转化为待求角对应的弧的圆心角，再结合圆周角定理完成计算，熟练掌握圆的相关基本定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 如图，OA,OB,OC都是$\odot O$的半径，$∠ AOB = 2∠ BOC$. 求证：$∠ ACB = 2∠ BAC$. 
答案
证明：根据圆周角定理可得：
∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC。
已知∠AOB=2∠BOC，代入得：
∠ACB=$\frac{1}{2}×2∠BOC=∠BOC=2×\frac{1}{2}∠BOC=2∠BAC$，即∠ACB=2∠BAC，得证。
∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC。
已知∠AOB=2∠BOC，代入得：
∠ACB=$\frac{1}{2}×2∠BOC=∠BOC=2×\frac{1}{2}∠BOC=2∠BAC$，即∠ACB=2∠BAC，得证。
解析
【分析】
要证明∠ACB=2∠BAC，可通过圆周角定理建立圆周角与对应圆心角的关系来推导。首先确定角对应的弧：∠ACB是弧AB所对的圆周角，对应圆心角为∠AOB；∠BAC是弧BC所对的圆周角，对应圆心角为∠BOC。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可将两个圆周角用对应圆心角表示，再结合已知∠AOB=2∠BOC，通过等量代换即可推出待证结论。
【解析】
证明：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
已知$∠ AOB=2∠ BOC$，将其代入$∠ ACB$的表达式中：
$∠ ACB=\frac{1}{2}× 2∠ BOC=∠ BOC$，
又因为$∠ BOC=2× \frac{1}{2}∠ BOC=2∠ BAC$，
因此$∠ ACB=2∠ BAC$，结论得证。
【答案】
证明：根据圆周角定理可得：
∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC。
已知∠AOB=2∠BOC，代入得：
∠ACB=$\frac{1}{2}×2∠BOC=∠BOC=2×\frac{1}{2}∠BOC=2∠BAC$，即∠ACB=2∠BAC，得证。
【知识点】
圆周角定理；等量代换
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的关键是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，结合已知的圆心角数量关系代入推导即可，掌握圆周角定理就能轻松解决此类问题。
【难度系数】
0.8
要证明∠ACB=2∠BAC，可通过圆周角定理建立圆周角与对应圆心角的关系来推导。首先确定角对应的弧：∠ACB是弧AB所对的圆周角，对应圆心角为∠AOB；∠BAC是弧BC所对的圆周角，对应圆心角为∠BOC。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可将两个圆周角用对应圆心角表示，再结合已知∠AOB=2∠BOC，通过等量代换即可推出待证结论。
【解析】
证明：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可得：
$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
已知$∠ AOB=2∠ BOC$，将其代入$∠ ACB$的表达式中：
$∠ ACB=\frac{1}{2}× 2∠ BOC=∠ BOC$，
又因为$∠ BOC=2× \frac{1}{2}∠ BOC=2∠ BAC$，
因此$∠ ACB=2∠ BAC$，结论得证。
【答案】
证明：根据圆周角定理可得：
∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC。
已知∠AOB=2∠BOC，代入得：
∠ACB=$\frac{1}{2}×2∠BOC=∠BOC=2×\frac{1}{2}∠BOC=2∠BAC$，即∠ACB=2∠BAC，得证。
【知识点】
圆周角定理；等量代换
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用题型，解题的关键是准确识别同弧对应的圆周角和圆心角，结合已知的圆心角数量关系代入推导即可，掌握圆周角定理就能轻松解决此类问题。
【难度系数】
0.8
