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3. 如图，四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知$∠ BOD = 100°$，则$∠ DCE$的度数为(
A.$40°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$80°$
C
)A.$40°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$80°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先从已知的圆心角∠BOD入手，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；再结合圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角，即可直接得到∠DCE与∠BAD相等，从而求出∠DCE的度数。也可先利用圆内接四边形对角互补求出∠BCD，再根据邻补角的性质计算∠DCE，两种方法均可。
【解析】
解：
∵ 弧BD所对的圆心角为∠BOD=100°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ 弧BD所对的圆周角$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×100° = 50°$，
又
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，∠DCE是四边形ABCD的外角，
根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得：
$∠ DCE = ∠ BAD = 50°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的相关性质，能快速找到角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的圆心角∠BOD入手，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可先求出弧BD所对的圆周角∠BAD的度数；再结合圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角，即可直接得到∠DCE与∠BAD相等，从而求出∠DCE的度数。也可先利用圆内接四边形对角互补求出∠BCD，再根据邻补角的性质计算∠DCE，两种方法均可。
【解析】
解：
∵ 弧BD所对的圆心角为∠BOD=100°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ 弧BD所对的圆周角$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×100° = 50°$，
又
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，∠DCE是四边形ABCD的外角，
根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得：
$∠ DCE = ∠ BAD = 50°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的相关性质，能快速找到角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
1. 平行四边形的四个顶点在同一圆上，
则该平行四边形一定是(
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形
则该平行四边形一定是(
C
)A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先明确题干给出的两个核心条件：①该四边形是平行四边形；②四个顶点共圆，即该四边形是圆内接四边形。我们可以结合两类四边形的性质逐步推导：首先回忆圆内接四边形的对角互补，再结合平行四边形对角相等的性质，就能推导出平行四边形的内角度数，进而判断它的类型，最后结合选项逐一排除不符合的答案即可。
【解析】
解：
∵平行四边形的四个顶点在同一圆上，
∴该平行四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质，得：它的对角互补，即对角之和为180°。
又
∵平行四边形的对角相等，
∴该平行四边形的每组对角均相等且和为180°，即每组对角都为90°。
根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知该平行四边形一定是矩形。
对选项逐一分析：
A. 正方形是特殊的矩形，但普通矩形的四个顶点也共圆，故该平行四边形不一定是正方形，不符合题意；
B. 普通菱形的对角仅相等不互补，无法满足四个顶点共圆，不符合题意；
D. 等腰梯形不属于平行四边形，直接排除。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆内接四边形性质
2. 平行四边形性质
3. 矩形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形与圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握共圆四边形和平行四边形的角的性质，通过推导角的度数判定四边形类型，注意不要混淆特殊平行四边形的判定条件，避免误选正方形。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题干给出的两个核心条件：①该四边形是平行四边形；②四个顶点共圆，即该四边形是圆内接四边形。我们可以结合两类四边形的性质逐步推导：首先回忆圆内接四边形的对角互补，再结合平行四边形对角相等的性质，就能推导出平行四边形的内角度数，进而判断它的类型，最后结合选项逐一排除不符合的答案即可。
【解析】
解：
∵平行四边形的四个顶点在同一圆上，
∴该平行四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质，得：它的对角互补，即对角之和为180°。
又
∵平行四边形的对角相等，
∴该平行四边形的每组对角均相等且和为180°，即每组对角都为90°。
根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知该平行四边形一定是矩形。
对选项逐一分析：
A. 正方形是特殊的矩形，但普通矩形的四个顶点也共圆，故该平行四边形不一定是正方形，不符合题意；
B. 普通菱形的对角仅相等不互补，无法满足四个顶点共圆，不符合题意；
D. 等腰梯形不属于平行四边形，直接排除。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆内接四边形性质
2. 平行四边形性质
3. 矩形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形与圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握共圆四边形和平行四边形的角的性质，通过推导角的度数判定四边形类型，注意不要混淆特殊平行四边形的判定条件，避免误选正方形。
【难度系数】
0.7
2. 已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B = 30°,则∠D =
150°
.答案
2. 150°
解析
【分析】
拿到题目首先明确已知条件：图形是圆内接四边形ABCD，且已知∠B=30°，要求∠D的度数。首先回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，也就是两组对角的和均为180°。观察可得∠B和∠D是圆内接四边形的一组对角，因此只需利用对角互补的性质，用180°减去∠B的度数即可求出∠D的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，可得∠B + ∠D = 180°
又
∵∠B = 30°
∴∠D = 180° - 30° = 150°
【答案】
150°
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆内接四边形对角互补性质的应用，只要熟记相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先明确已知条件：图形是圆内接四边形ABCD，且已知∠B=30°，要求∠D的度数。首先回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，也就是两组对角的和均为180°。观察可得∠B和∠D是圆内接四边形的一组对角，因此只需利用对角互补的性质，用180°减去∠B的度数即可求出∠D的大小。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，可得∠B + ∠D = 180°
又
∵∠B = 30°
∴∠D = 180° - 30° = 150°
【答案】
150°
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆内接四边形对角互补性质的应用，只要熟记相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3.如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于(
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
C
)A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：AB是半圆直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可得△ABD是直角三角形，要求∠DAB，只需要求出∠ABD的度数即可；已知点D是弧AC的中点，根据等弧所对的圆周角相等，可得BD平分∠ABC，结合已知∠ABC=50°即可求出∠ABD的度数，最后利用直角三角形两锐角互余计算∠DAB的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵点D是弧AC的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠ABD=∠CBD（等弧所对的圆周角相等），
∵∠ABC=50°，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
在Rt△ABD中，∠DAB+∠ABD=90°，
∴$∠ DAB=90°-25°=65°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质；等弧对等圆周角
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是结合已知条件联想圆的相关性质，通过辅助线构造直角三角形，结合角的等量关系即可快速求解，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：AB是半圆直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可得△ABD是直角三角形，要求∠DAB，只需要求出∠ABD的度数即可；已知点D是弧AC的中点，根据等弧所对的圆周角相等，可得BD平分∠ABC，结合已知∠ABC=50°即可求出∠ABD的度数，最后利用直角三角形两锐角互余计算∠DAB的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵点D是弧AC的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠ABD=∠CBD（等弧所对的圆周角相等），
∵∠ABC=50°，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
在Rt△ABD中，∠DAB+∠ABD=90°，
∴$∠ DAB=90°-25°=65°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质；等弧对等圆周角
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题的关键是结合已知条件联想圆的相关性质，通过辅助线构造直角三角形，结合角的等量关系即可快速求解，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
4. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$AE ⊥ CB$交$CB$的延长线于点$E$.若$BA$平分$∠ DBE$,$AD = 5$,$CE = \sqrt{13}$,则$AE = (\quad)$
A.3
B.$3\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
A.3
B.$3\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：首先从已知的角平分线出发，得到∠ABE=∠ABD；再利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到∠ABE=∠ADC；结合同弧所对的圆周角相等，得到∠ABD=∠ACD；通过等量代换推出∠ADC=∠ACD，进而得到AC=AD=5，将已知边长转化到Rt△AEC中，最后用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE=∠ABD。
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴∠ABE=∠ADC（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
又
∵∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴$AC=AD=5$。
∵$AE ⊥ CB$，
∴$∠ E=90°$，即$△ AEC$为直角三角形。
在$Rt△ AEC$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2 - CE^2}=\sqrt{5^2 - (\sqrt{13})^2}=\sqrt{25 - 13}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆与直角三角形的综合题，解题的核心是通过角的等量代换得到AC与AD的等量关系，将分散的已知条件集中到同一个直角三角形中计算，属于圆章节的典型基础综合题。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先从已知的角平分线出发，得到∠ABE=∠ABD；再利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到∠ABE=∠ADC；结合同弧所对的圆周角相等，得到∠ABD=∠ACD；通过等量代换推出∠ADC=∠ACD，进而得到AC=AD=5，将已知边长转化到Rt△AEC中，最后用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE=∠ABD。
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴∠ABE=∠ADC（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
又
∵∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠ADC=∠ACD，
∴$AC=AD=5$。
∵$AE ⊥ CB$，
∴$∠ E=90°$，即$△ AEC$为直角三角形。
在$Rt△ AEC$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2 - CE^2}=\sqrt{5^2 - (\sqrt{13})^2}=\sqrt{25 - 13}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆与直角三角形的综合题，解题的核心是通过角的等量代换得到AC与AD的等量关系，将分散的已知条件集中到同一个直角三角形中计算，属于圆章节的典型基础综合题。
【难度系数】
0.6
5. 如图,点A,B,C,D,E在$\odot O$上,且$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角的度数为$50°$,则$∠ E + ∠ C =$
155°
.答案
5. 155°
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：$\overset{\frown}{AB}$的圆心角为$50°$，要求$∠ E + ∠ C$的和。首先回忆圆的相关性质：1. 同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可将弧的度数转化为圆周角度数；2. 圆内接四边形的对角互补。观察图形可知$∠ E$和$∠ C$没有直接的数量关联，因此考虑连接辅助线$BE$：一方面可以构造出$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角$∠ AEB$，另一方面$∠ DEB = ∠ E + ∠ AEB$，且四边形$DCBE$是圆内接四边形，$∠ C$和$∠ DEB$互补，通过这个关系就能推导出$∠ E + ∠ C$的度数。
【解析】
解：连接$BE$。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角为$50°$，因此：
$∠ AEB = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
2. 因为四边形$DCBE$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ C + ∠ DEB = 180°$
3. 又因为$∠ DEB = ∠ DEA + ∠ AEB = ∠ E + 25°$，将其代入上式可得：
$∠ C + ∠ E + 25° = 180°$
整理得：$∠ E + ∠ C = 180° - 25° = 155°$
【答案】
$155°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的关键是通过构造辅助线建立已知角和所求角之间的数量关系，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：$\overset{\frown}{AB}$的圆心角为$50°$，要求$∠ E + ∠ C$的和。首先回忆圆的相关性质：1. 同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可将弧的度数转化为圆周角度数；2. 圆内接四边形的对角互补。观察图形可知$∠ E$和$∠ C$没有直接的数量关联，因此考虑连接辅助线$BE$：一方面可以构造出$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角$∠ AEB$，另一方面$∠ DEB = ∠ E + ∠ AEB$，且四边形$DCBE$是圆内接四边形，$∠ C$和$∠ DEB$互补，通过这个关系就能推导出$∠ E + ∠ C$的度数。
【解析】
解：连接$BE$。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，已知$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角为$50°$，因此：
$∠ AEB = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
2. 因为四边形$DCBE$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ C + ∠ DEB = 180°$
3. 又因为$∠ DEB = ∠ DEA + ∠ AEB = ∠ E + 25°$，将其代入上式可得：
$∠ C + ∠ E + 25° = 180°$
整理得：$∠ E + ∠ C = 180° - 25° = 155°$
【答案】
$155°$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，解题的关键是通过构造辅助线建立已知角和所求角之间的数量关系，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，A,B是$\odot O$上的两点，C是$\odot O$上不与点A,B重合的任意一点. 如果$∠ AOB = 130°$,那么$∠ ACB$的度数为(
A.$65°$
B.$115°$
C.$65°$或$130°$
D.$65°$或$115°$
D
)A.$65°$
B.$115°$
C.$65°$或$130°$
D.$65°$或$115°$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时首先注意题干中“C是$\odot O$上不与点A,B重合的任意一点”的描述，说明点C的位置有两种可能：在优弧AB上或在劣弧AB上，需分情况讨论。结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，分别计算两种情况下$∠ ACB$的度数即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$∠ ACB$所对的弧为弧AB，对应的圆心角为$∠ AOB=130°$，因此$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×130°=65°$。
2. 当点C在劣弧AB上时：
此时$∠ ACB$所对的弧为优弧AB，优弧AB对应的圆心角为$360°-∠ AOB=360°-130°=230°$，根据圆周角定理可得$∠ ACB=\frac{1}{2}×230°=115°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$65°$或$115°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C的两种位置情况，只计算其中一种结果导致错选。解题时要注意“任意一点”的限定条件，全面分析所有可能的位置，结合圆周角定理即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先注意题干中“C是$\odot O$上不与点A,B重合的任意一点”的描述，说明点C的位置有两种可能：在优弧AB上或在劣弧AB上，需分情况讨论。结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，分别计算两种情况下$∠ ACB$的度数即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$∠ ACB$所对的弧为弧AB，对应的圆心角为$∠ AOB=130°$，因此$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×130°=65°$。
2. 当点C在劣弧AB上时：
此时$∠ ACB$所对的弧为优弧AB，优弧AB对应的圆心角为$360°-∠ AOB=360°-130°=230°$，根据圆周角定理可得$∠ ACB=\frac{1}{2}×230°=115°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$65°$或$115°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C的两种位置情况，只计算其中一种结果导致错选。解题时要注意“任意一点”的限定条件，全面分析所有可能的位置，结合圆周角定理即可正确求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图,已知A,B,C,D,E是$\odot O$上的五个点,圆心O在AD上,$∠ BCD = 110°$,求$∠ AEB$的度数.
答案
20°
解析
【分析】
要计算∠AEB的度数，可利用同弧所对的圆周角相等的性质，将所求角转化为同弧AB所对的另一圆周角∠ADB，只需先求出∠ADB即可。首先根据圆内接四边形对角互补，结合已知∠BCD的度数求出∠BAD的度数；再依据直径所对的圆周角是直角，可得△ABD为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠ADB的度数，最后由同弧所对圆周角相等即可得到∠AEB的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BCD + ∠ BAD = 180°$（圆内接四边形对角互补），
已知$∠ BCD=110°$，代入得：
$∠ BAD = 180° - 110° = 70°$，
∵ AD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABD = 90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 90° - ∠ BAD = 90° -70°=20°$，
又
∵ $∠ AEB$和$∠ ADB$都是弧AB所对的圆周角，
∴ $∠ AEB = ∠ ADB = 20°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$20°$
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质、直径的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础综合应用题，解题的核心是通过构造辅助线，将所求角度和已知角度通过圆的性质建立关联，掌握圆的基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠AEB的度数，可利用同弧所对的圆周角相等的性质，将所求角转化为同弧AB所对的另一圆周角∠ADB，只需先求出∠ADB即可。首先根据圆内接四边形对角互补，结合已知∠BCD的度数求出∠BAD的度数；再依据直径所对的圆周角是直角，可得△ABD为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠ADB的度数，最后由同弧所对圆周角相等即可得到∠AEB的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BCD + ∠ BAD = 180°$（圆内接四边形对角互补），
已知$∠ BCD=110°$，代入得：
$∠ BAD = 180° - 110° = 70°$，
∵ AD是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABD = 90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 90° - ∠ BAD = 90° -70°=20°$，
又
∵ $∠ AEB$和$∠ ADB$都是弧AB所对的圆周角，
∴ $∠ AEB = ∠ ADB = 20°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$20°$
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质、直径的性质
【点评】
本题属于圆性质的基础综合应用题，解题的核心是通过构造辅助线，将所求角度和已知角度通过圆的性质建立关联，掌握圆的基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
