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1. (2025·湖北)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系，它的图象如图6所示。当电阻R大于9Ω时，电流I可能是 ()
A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
答案
A
解析
【分析】
首先，根据题干给出的电流I与电阻R成反比例函数关系，我们可以先设出反比例函数的一般形式$ I=\frac{k}{R}(k≠0) $，其中k为定值即蓄电池的电压。接下来需要利用函数图像上的已知对应点求解k的值，得到完整的函数解析式。再结合反比例函数的增减性：当k＞0时，在R＞0的范围内，I随R的增大而减小，因此求出R=9Ω时对应的电流值，即可得到R＞9Ω时电流I的取值范围，最后匹配选项得到答案。
【解析】
设电流I与电阻R的反比例函数解析式为$ I = \frac{k}{R} $（$ k ≠ 0 $，$ R＞0 $）。
由函数图像可知，当$ R=9\Omega $时，$ I=4A $，将其代入解析式得：
$ 4 = \frac{k}{9} $，解得$ k = 9×4 = 36 $，
因此反比例函数解析式为$ I = \frac{36}{R} $。
因为$ k=36＞0 $，所以当$ R＞0 $时，I随R的增大而减小，
所以当$ R＞9\Omega $时，$ I ＜ \frac{36}{9} = 4A $。
观察选项，只有3A符合取值要求，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先求出反比例函数的比例系数，再利用函数的增减性判断变量的取值范围，属于基础应用型题目，注重学科间知识的结合。
【难度系数】
0.7
首先，根据题干给出的电流I与电阻R成反比例函数关系，我们可以先设出反比例函数的一般形式$ I=\frac{k}{R}(k≠0) $，其中k为定值即蓄电池的电压。接下来需要利用函数图像上的已知对应点求解k的值，得到完整的函数解析式。再结合反比例函数的增减性：当k＞0时，在R＞0的范围内，I随R的增大而减小，因此求出R=9Ω时对应的电流值，即可得到R＞9Ω时电流I的取值范围，最后匹配选项得到答案。
【解析】
设电流I与电阻R的反比例函数解析式为$ I = \frac{k}{R} $（$ k ≠ 0 $，$ R＞0 $）。
由函数图像可知，当$ R=9\Omega $时，$ I=4A $，将其代入解析式得：
$ 4 = \frac{k}{9} $，解得$ k = 9×4 = 36 $，
因此反比例函数解析式为$ I = \frac{36}{R} $。
因为$ k=36＞0 $，所以当$ R＞0 $时，I随R的增大而减小，
所以当$ R＞9\Omega $时，$ I ＜ \frac{36}{9} = 4A $。
观察选项，只有3A符合取值要求，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先求出反比例函数的比例系数，再利用函数的增减性判断变量的取值范围，属于基础应用型题目，注重学科间知识的结合。
【难度系数】
0.7
2. 在某温度不变的条件下,通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后气缸内气体的体积 V(mL)与气体对气缸壁产生的压强 p(kPa)的关系可以用如图7所示的函数图象表示,下列说法正确的是 ()
A.压强 p 与体积 V 的关系式为 $ p=kV(k＞0) $
B.当压强 $ p=70 $ 时,体积 V 的取值范围为 $ 70＜V＜80 $
C.当体积 V 变为原来的一半时,对应的压强 p 也变为原来的一半
D.当 $ 60≤V≤100 $ 时,压强 p 随着体积 V 的增大而减小
A.压强 p 与体积 V 的关系式为 $ p=kV(k＞0) $
B.当压强 $ p=70 $ 时,体积 V 的取值范围为 $ 70＜V＜80 $
C.当体积 V 变为原来的一半时,对应的压强 p 也变为原来的一半
D.当 $ 60≤V≤100 $ 时,压强 p 随着体积 V 的增大而减小
答案
D
解析
【分析】
首先观察函数图象，可判断压强p与体积V成反比例函数关系，解题时先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再结合反比例函数的性质逐一分析四个选项的正误，即可得出正确答案。
【解析】
由图象可知，压强p是体积V的反比例函数，设解析式为$ p=\frac{k}{V}(k≠0, V＞0) $。
取图象上的点$ V=100\mathrm{mL} $时$ p=60\mathrm{kPa} $，代入解析式得：
$ k = pV = 100×60 = 6000 $，即$ p=\frac{6000}{V} $。
逐一分析选项：
A. 压强p与体积V的关系式为$ p=\frac{6000}{V} $，是反比例函数，不是正比例函数$ p=kV $，故A错误；
B. 当$ p=70 $时，代入解析式得$ V=\frac{6000}{70}\approx85.7 $，即$ 80＜V＜90 $，故B错误；
C. 若体积变为原来的一半，即新体积$ V'=\frac{1}{2}V $，则新压强$ p'=\frac{6000}{\frac{1}{2}V}=2×\frac{6000}{V}=2p $，压强变为原来的2倍，故C错误；
D. 对于反比例函数$ p=\frac{6000}{V} $，$ k=6000＞0 $，在第一象限内p随V的增大而减小，因此当$ 60≤ V≤100 $时，压强p随着体积V的增大而减小，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合实际物理情境考查反比例函数的应用，需先结合图象确定函数类型，求出解析式后再结合反比例函数的性质判断选项，熟练掌握反比例函数的增减性等核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察函数图象，可判断压强p与体积V成反比例函数关系，解题时先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再结合反比例函数的性质逐一分析四个选项的正误，即可得出正确答案。
【解析】
由图象可知，压强p是体积V的反比例函数，设解析式为$ p=\frac{k}{V}(k≠0, V＞0) $。
取图象上的点$ V=100\mathrm{mL} $时$ p=60\mathrm{kPa} $，代入解析式得：
$ k = pV = 100×60 = 6000 $，即$ p=\frac{6000}{V} $。
逐一分析选项：
A. 压强p与体积V的关系式为$ p=\frac{6000}{V} $，是反比例函数，不是正比例函数$ p=kV $，故A错误；
B. 当$ p=70 $时，代入解析式得$ V=\frac{6000}{70}\approx85.7 $，即$ 80＜V＜90 $，故B错误；
C. 若体积变为原来的一半，即新体积$ V'=\frac{1}{2}V $，则新压强$ p'=\frac{6000}{\frac{1}{2}V}=2×\frac{6000}{V}=2p $，压强变为原来的2倍，故C错误；
D. 对于反比例函数$ p=\frac{6000}{V} $，$ k=6000＞0 $，在第一象限内p随V的增大而减小，因此当$ 60≤ V≤100 $时，压强p随着体积V的增大而减小，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合实际物理情境考查反比例函数的应用，需先结合图象确定函数类型，求出解析式后再结合反比例函数的性质判断选项，熟练掌握反比例函数的增减性等核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 为了更好地保护水资源,造福人类,某工厂计划建一个容积$V(\mathrm{m}^3)$一定的污水处理池,池的底面积$S(\mathrm{m}^2)$与其深度$h(\mathrm{m})$满足关系式$V=Sh(V≠0)$,则$S$关于$h$的函数图象大致是 ()
答案
C
解析
【分析】
首先根据题目给出的容积公式$V=Sh$，变形得到$S$关于$h$的函数解析式，再结合实际意义确定$h$和$S$的取值范围：污水处理池的深度$h$和底面积$S$都为正数，由此判断函数类型为反比例函数且图象仅在第一象限，再对应选项逐一排除即可。
【解析】
已知污水处理池容积$V$为定值，由关系式$V=Sh(V≠0)$，变形可得：
$S=\frac{V}{h}$
结合实际意义，深度$h＞0$，底面积$S＞0$，因此$S$是$h$的反比例函数，其图象为第一象限内的双曲线分支：
选项A为正比例函数图象，不符合；
选项B为一次函数图象，不符合；
选项C为第一象限的反比例函数图象，符合要求；
选项D为二次函数图象，不符合。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念；反比例函数的图象；实际问题的函数图象
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的图象识别，解题时首先要根据等量关系推导函数解析式，同时不能忽略实际问题中自变量的取值范围，避免误选完整的反比例函数图象。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的容积公式$V=Sh$，变形得到$S$关于$h$的函数解析式，再结合实际意义确定$h$和$S$的取值范围：污水处理池的深度$h$和底面积$S$都为正数，由此判断函数类型为反比例函数且图象仅在第一象限，再对应选项逐一排除即可。
【解析】
已知污水处理池容积$V$为定值，由关系式$V=Sh(V≠0)$，变形可得：
$S=\frac{V}{h}$
结合实际意义，深度$h＞0$，底面积$S＞0$，因此$S$是$h$的反比例函数，其图象为第一象限内的双曲线分支：
选项A为正比例函数图象，不符合；
选项B为一次函数图象，不符合；
选项C为第一象限的反比例函数图象，符合要求；
选项D为二次函数图象，不符合。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念；反比例函数的图象；实际问题的函数图象
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的图象识别，解题时首先要根据等量关系推导函数解析式，同时不能忽略实际问题中自变量的取值范围，避免误选完整的反比例函数图象。
【难度系数】
0.8
4.(2024·湖南改编)在一定条件下,乐器中弦振动的频率$f$(赫兹)与弦长$l$(米)成反比例关系,即$f=\frac{k}{l}$($k$为常数,$k≠0$)。若某乐器的弦长$l$为0.9米,振动频率$f$为200赫兹,则$k$的值为。
答案
解：
将$l=0.9$，$f=200$代入$f=\frac{k}{l}$，得
$200=\frac{k}{0.9}$
解得$k=200×0.9=180$。
将$l=0.9$，$f=200$代入$f=\frac{k}{l}$，得
$200=\frac{k}{0.9}$
解得$k=200×0.9=180$。
解析
【分析】
本题给出了弦振动频率$f$与弦长$l$的反比例函数关系式，已知一组$l$和$f$的对应值，求常数$k$。解题时可直接运用代入法，将已知的$l$、$f$的数值代入到反比例函数解析式中，转化为关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
将$l=0.9$，$f=200$代入$f=\frac{k}{l}$，得：
$200=\frac{k}{0.9}$
方程两边同时乘0.9，解得：
$k=200×0.9=180$
【答案】
180
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法求参数
【点评】
本题属于基础题型，考查反比例函数中待定系数的求解，只需将已知对应值代入函数关系式，进行简单的乘法计算即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题给出了弦振动频率$f$与弦长$l$的反比例函数关系式，已知一组$l$和$f$的对应值，求常数$k$。解题时可直接运用代入法，将已知的$l$、$f$的数值代入到反比例函数解析式中，转化为关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
将$l=0.9$，$f=200$代入$f=\frac{k}{l}$，得：
$200=\frac{k}{0.9}$
方程两边同时乘0.9，解得：
$k=200×0.9=180$
【答案】
180
【知识点】
反比例函数的应用、待定系数法求参数
【点评】
本题属于基础题型，考查反比例函数中待定系数的求解，只需将已知对应值代入函数关系式，进行简单的乘法计算即可得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
5. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需要将材料烧到 $800°\mathrm{C}$,然后停止煅烧进行锻造操作,经过8 min时,材料温度降为 $600°\mathrm{C}$。材料煅烧时,温度 $y(°\mathrm{C})$ 与时间 $x(\mathrm{min})$ 成一次函数关系;材料锻造时,温度 $y(°\mathrm{C})$ 与时间 $x(\mathrm{min})$ 成反比例函数关系(如图8)。已知该材料初始温度是 $32°\mathrm{C}$。
(1)分别求出材料煅烧和锻造时 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式,并写出自变量 $x$ 的取值范围;
(2)根据工艺要求,当材料温度低于 $480°\mathrm{C}$ 时,须停止操作,那么锻造的操作时间有多长?
(1)分别求出材料煅烧和锻造时 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式,并写出自变量 $x$ 的取值范围;
(2)根据工艺要求,当材料温度低于 $480°\mathrm{C}$ 时,须停止操作,那么锻造的操作时间有多长?
答案
解：(1) 设锻造时$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=8$，$y=600$代入得：$600=\frac{k}{8}$，解得$k=4800$。
令$y=800$，代入$y=\frac{4800}{x}$，得$800=\frac{4800}{x}$，解得$x=6$，即点$B$坐标为$(6,800)$。
设煅烧时$y$与$x$的函数表达式为$y=ax+b(a≠0)$，
将$(0,32)$、$(6,800)$代入得：
$\begin{cases}b=32\\6a+b=800\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=128\\b=32\end{cases}$
所以煅烧时函数表达式为$y=128x+32$，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤6$；
锻造时函数表达式为$y=\frac{4800}{x}$，自变量$x$的取值范围是$x≥6$。
(2) 令$y=480$，代入$y=\frac{4800}{x}$，得$480=\frac{4800}{x}$，解得$x=10$，
锻造操作从$x=6$开始，因此锻造的操作时间为$10-6=4(\mathrm{min})$。
答：锻造的操作时间为4分钟。
将$x=8$，$y=600$代入得：$600=\frac{k}{8}$，解得$k=4800$。
令$y=800$，代入$y=\frac{4800}{x}$，得$800=\frac{4800}{x}$，解得$x=6$，即点$B$坐标为$(6,800)$。
设煅烧时$y$与$x$的函数表达式为$y=ax+b(a≠0)$，
将$(0,32)$、$(6,800)$代入得：
$\begin{cases}b=32\\6a+b=800\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=128\\b=32\end{cases}$
所以煅烧时函数表达式为$y=128x+32$，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤6$；
锻造时函数表达式为$y=\frac{4800}{x}$，自变量$x$的取值范围是$x≥6$。
(2) 令$y=480$，代入$y=\frac{4800}{x}$，得$480=\frac{4800}{x}$，解得$x=10$，
锻造操作从$x=6$开始，因此锻造的操作时间为$10-6=4(\mathrm{min})$。
答：锻造的操作时间为4分钟。
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，分为煅烧（一次函数）和锻造（反比例函数）两个阶段，解题思路如下：
1. 优先求解锻造阶段的反比例函数：题目明确给出锻造时x=8、y=600，可先用待定系数法求出反比例函数解析式；再结合煅烧终点（锻造起点）温度为800℃，代入反比例函数求出最高点B的横坐标，得到煅烧阶段一次函数的第二个已知点。
2. 已知煅烧阶段的初始点A(0,32)和最高点B的坐标，即可用待定系数法求出一次函数解析式，同时确定两个阶段自变量的取值范围。
3. 求解锻造操作时间时，先将y=480代入反比例函数求出停止操作的时间，再减去锻造开始的时间，即可得到操作时长。
【解析】
(1) 先求锻造时的反比例函数表达式：
设锻造时$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=8$，$y=600$代入得：$600=\frac{k}{8}$，解得$k=4800$。
煅烧结束时温度为800℃，即锻造起始点B的纵坐标为800，将$y=800$代入$y=\frac{4800}{x}$，得$800=\frac{4800}{x}$，解得$x=6$，即点B坐标为$(6,800)$。
再求煅烧时的一次函数表达式：
设煅烧时$y$与$x$的函数表达式为$y=ax+b(a≠0)$，
将初始温度点$(0,32)$、点B$(6,800)$代入得：
$\begin{cases}b=32\\6a+b=800\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=128\\b=32\end{cases}$
因此煅烧时函数表达式为$y=128x+32$，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤6$；
锻造时函数表达式为$y=\frac{4800}{x}$，自变量$x$的取值范围是$x≥6$。
(2) 当材料温度低于480℃时须停止操作，将$y=480$代入锻造的反比例函数$y=\frac{4800}{x}$，得：
$480=\frac{4800}{x}$，解得$x=10$
锻造从$x=6$开始，因此锻造的操作时间为$10-6=4(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) 煅烧时：$\boldsymbol{y=128x+32\quad(0≤ x≤6)}$；锻造时：$\boldsymbol{y=\frac{4800}{x}\quad(x≥6)}$
(2) 锻造的操作时间为$\boldsymbol{4}$分钟。
【知识点】
待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、反比例函数的应用
【点评】
本题考查分段函数在实际场景中的应用，解题核心是准确区分不同阶段对应的函数类型，找准每个函数经过的已知点，结合实际意义确定自变量的取值范围，最终代入数值求解即可。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，分为煅烧（一次函数）和锻造（反比例函数）两个阶段，解题思路如下：
1. 优先求解锻造阶段的反比例函数：题目明确给出锻造时x=8、y=600，可先用待定系数法求出反比例函数解析式；再结合煅烧终点（锻造起点）温度为800℃，代入反比例函数求出最高点B的横坐标，得到煅烧阶段一次函数的第二个已知点。
2. 已知煅烧阶段的初始点A(0,32)和最高点B的坐标，即可用待定系数法求出一次函数解析式，同时确定两个阶段自变量的取值范围。
3. 求解锻造操作时间时，先将y=480代入反比例函数求出停止操作的时间，再减去锻造开始的时间，即可得到操作时长。
【解析】
(1) 先求锻造时的反比例函数表达式：
设锻造时$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=8$，$y=600$代入得：$600=\frac{k}{8}$，解得$k=4800$。
煅烧结束时温度为800℃，即锻造起始点B的纵坐标为800，将$y=800$代入$y=\frac{4800}{x}$，得$800=\frac{4800}{x}$，解得$x=6$，即点B坐标为$(6,800)$。
再求煅烧时的一次函数表达式：
设煅烧时$y$与$x$的函数表达式为$y=ax+b(a≠0)$，
将初始温度点$(0,32)$、点B$(6,800)$代入得：
$\begin{cases}b=32\\6a+b=800\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=128\\b=32\end{cases}$
因此煅烧时函数表达式为$y=128x+32$，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤6$；
锻造时函数表达式为$y=\frac{4800}{x}$，自变量$x$的取值范围是$x≥6$。
(2) 当材料温度低于480℃时须停止操作，将$y=480$代入锻造的反比例函数$y=\frac{4800}{x}$，得：
$480=\frac{4800}{x}$，解得$x=10$
锻造从$x=6$开始，因此锻造的操作时间为$10-6=4(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) 煅烧时：$\boldsymbol{y=128x+32\quad(0≤ x≤6)}$；锻造时：$\boldsymbol{y=\frac{4800}{x}\quad(x≥6)}$
(2) 锻造的操作时间为$\boldsymbol{4}$分钟。
【知识点】
待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、反比例函数的应用
【点评】
本题考查分段函数在实际场景中的应用，解题核心是准确区分不同阶段对应的函数类型，找准每个函数经过的已知点，结合实际意义确定自变量的取值范围，最终代入数值求解即可。
【难度系数】
0.7
