1[中]如图,在正方形网格中有$M,N$两点,在直线$l$上找一点$P$使$PM+PN$的值最小,则点$P$应选在
（）


A.A点
B.B点
C.C点
D.D点

1.C 【解析】如图,点 $M'$ 是点 $M$ 关于直线 $l$ 的对称点,连接 $M'N$,则 $M'N$ 与直线 $l$ 的交点,即为点 $P$,此时 $PM+PN$ 的值最小. 因为 $M'N$ 与直线 $l$ 交于点 $C$,所以点 $P$ 应选在 $C$ 点. 故选 C.

2[2026四川绵阳期末,中]如图，$△ ABC$中，$AB=AC$，$BC=6$，$S_{△ ABC}=12$，$EF$垂直平分$AC$分别交边$AC$，$BC$于点$E$，$F$。$P$为线段$EF$上一动点，$D$为边$BC$的中点，则$△ PCD$周长的最小值是（）


A.4
B.7
C.9
D.12

2. B 【解析】连接 $AD$ 交 $EF$ 于点 $P'$,连接 $AP$,如图. $\because △ ABC$ 中, $AB=AC$, 点 $D$ 是 $BC$ 边的中点, $\therefore AD ⊥ BC, \therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} BC · AD=\frac{1}{2} × 6 × AD=12$, 解得 $AD=4. \because EF$ 是线段 $AC$ 的垂直平分线, $\therefore AP=CP, \therefore △ PCD$ 的周长 $=PC+PD+DC=PA+PD+\frac{1}{2} BC. \because PA+PD ≥ AD, \therefore AD$ 的长为 $AP+PD$ 的最小值, $\therefore △ PCD$ 周长的最小值 $=AD+\frac{1}{2} BC=4+\frac{1}{2} × 6=7$, 故选 B.

3[中]如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ANM的度数为 ()

A.130°
B.120°
C.110°
D.100°

（第3题图）
（第4题图）

3. B 【解析】如图,分别作 $A$ 关于直线 $BC$ 和 $CD$ 的对称点 $A',A''$,连接 $A'A''$,交 $BC$ 于 $M$,交 $CD$ 于 $N$,则易得 $A'A''$ 的长即为 $△ AMN$ 周长的最小值, $A,B,A'$ 共线, $A,D,A''$ 共线.
因为 $∠ DAB=120°$, 所以 $∠ A'+∠ A''=180°-∠ DAB=60°$. 因为 $∠ A'=∠ MAA',∠ NAD=∠ A''$,且 $∠ A'+∠ MAA'=180°-∠ AMA'=∠ AMN$,$∠ NAD+∠ A''=180°-∠ ANA''=∠ ANM$, 所以 $∠ AMN+∠ ANM=∠ A'+∠ MAA'+∠ NAD+∠ A''=2(∠ A'+∠ A'')=2 × 60°=120°$. 故选 B.

4[2025浙江杭州期末,中]如图,在△ABC中,∠ABC=68°,BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点,Q为边AB上一动点,当AP+PQ的值最小时,∠APB的度数是 ()

A.118°
B.125°
C.136°
D.124°

4. D 【解析】在 $BC$ 上截取 $BE=BQ$,连接 $PE$,如图. 因为 $BD$ 平分 $∠ ABC, ∠ ABC=68°$, 所以 $∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2} ∠ ABC=34°$. 因为 $BP=BP$, 所以 $△ PBQ ≌ △ PBE$ (SAS), 所以 $PE=PQ$, 所以 $AP+PQ=AP+PE$, 所以当 $A,P,E$ 在同一直线上, 且 $AE ⊥ BC$ 时, $AP+PE$ 的值最小, 即 $AP+PQ$ 的值最小. 过点 $A$ 作 $AE' ⊥ BC$ 于点 $E'$, 交 $BD$ 于点 $P'$. 因为 $∠ AE'B=90°$,$∠ CBD=34°$, 所以 $∠ AP'B=∠ AE'B+∠ CBD=124°$. 故选 D.

5[2026广东广州期中,中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$AB=5$.如果$D$,$E$分别为$BC$,$AB$上的动点,那么$AD+DE$的最小值是 ()


A.$\frac{24}{5}$
B.$5$
C.$\frac{27}{5}$
D.$6$

5. A 【解析】延长 $AC$ 到点 $F$, 使得 $CF=AC$, 如图.$\because ∠ ACB=90°, \therefore$ 直线 $BC$ 是线段 $AF$ 的垂直平分线. 连接 $DF,BF$, 则 $AD=DF,AB=BF$,$\therefore AD+DE=DF+DE$. 过点 $F$ 作 $FG ⊥ AB$ 于点 $G$, 则 $DF+DE ≥ FG, \therefore FG$ 的长即为 $AD+DE$ 的最小值. $\because ∠ ACB=90°$,$AC=3,BC=4,AB=5, \therefore AF=2AC=6, \therefore S_{△ ABF}=\frac{1}{2} AF · BC=\frac{1}{2} AB · FG, \therefore 6 × 4=5FG, \therefore FG=\frac{24}{5}$, 即 $AD+DE$ 的最小值为 $\frac{24}{5}$. 故选 A.

6[中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=90°$,点$D,E$是边$AB$上的两个定点,点$M,N$分别是边$AC,BC$上的两个动点.当四边形$DEMN$的周长最小时,$∠ DNM+∠ EMN$的度数是 ()


A.$45°$
B.$90°$
C.$75°$
D.$135°$

6. B 【解析】如图,作点 $D$ 关于直线 $BC$ 的对称点 $D'$,作点 $E$ 关于直线 $AC$ 的对称点 $E'$,连接 $D'E'$ 分别交 $AC,BC$ 于点 $M',N'$,连接 $ME'$,$ND',EM',DN'$. 易知 $E,A,E'$ 共线. 由轴对称的性质可得 $ME=ME',ND=ND'$, 所以四边形 $DEMN$ 的周长为 $DE+ME+MN+ND=DE+ME'+MN+ND' ≥ DE+D'E'$. 因为 $DE$ 的长固定, 所以当点 $M$ 与点 $M'$ 重合, 点 $N$ 与点 $N'$ 重合时, 四边形 $DEMN$ 的周长最小, 此时 $∠ DNM+∠ EMN=∠ DN'M'+∠ EM'N'$. 由对称性、三角形内角和及平角的性质可知 $∠ DN'M'=180°-∠ DN'D'=∠ N'DD'+∠ N'D'D=2 ∠ N'D'D$,$∠ EM'N'=180°-∠ EM'E'=∠ M'EE'+∠ M'E'E=2 ∠ M'E'E$, 所以 $∠ DN'M'+∠ EM'N'=2 ∠ N'D'D+2 ∠ M'E'E=2(180°-∠ D'DE')$. 设 $DD'$ 与 $BC$ 交于点 $H$. 因为 $AB=AC, ∠ BAC=90°$, 所以易得 $∠ BDH=45°$, 所以 $∠ D'DE'=180°-45°=135°$, 所以 $∠ DN'M'+∠ EM'N'=2(180°-135°)=90°$, 即当四边形 $DEMN$ 的周长最小时, $∠ DNM+∠ EMN$ 的度数是 $90°$, 故选 B.

7[2026江苏南通质检,中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2\sqrt{3}$,$∠ BAC=120°$,$D$为$BC$边上的动点,以$BD$为边向上作等边$△ BED$,连接$CE$,$AD$,则$AD+CE$的最小值为.

7.$4\sqrt{3}$ 【解析】如图,连接 $AE. \because △ BDE$ 是等边三角形, $\therefore BD=BE, ∠ EBD=60°, \therefore$ 当 $D$ 在 $BC$ 边上运动时, 点 $E$ 在射线 $BE$ 上运动, 且 $∠ EBD=60°. \because AB=AC, ∠ BAC=120°$,$\therefore ∠ ABD=∠ ACB=30°, \therefore ∠ ABE=∠ ABD=30°, \therefore AB$ 是 $DE$ 的垂直平分线, $\therefore AE=AD$,$\therefore AD+CE=AE+CE$. 作点 $A$ 关于 $BE$ 的对称点 $A'$, 连接 $BA',A'E,AA'$, 则易得 $A',A,C$ 三点在同一条直线上, $∠ CBA'=90°, BA'=BA=2 \sqrt{3}$.$\because ∠ ACB=30°, \therefore CA'=2BA'=4 \sqrt{3}$. 由对称得 $EA=EA', \therefore AE+CE=EA'+CE ≥ CA', \therefore AE+CE ≥ 4 \sqrt{3}$, 故 $AD+CE$ 的最小值为 $4 \sqrt{3}$. 故答案为 $4 \sqrt{3}$.