[2025 江苏盐城质检]综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马. 如图(1),将军从山脚下的点A出发,到一条笔直的河边l饮马后再到点B宿营,他时常想,怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢?
【分析问题】
小亮:如图(2),作B关于l的对称点B',连接AB'与l交于点C,点C就是饮马的地方,此时按路线AC-CB走的路程就是最短的.
小慧:你能详细解释原因吗?

小亮:如图(3),在l上另取一点C',连接AC',BC',B'C',只要证明AC+CB＜AC'+C'B即可. 请写出小亮的证明过程.
【解决问题】
任务一:如图(4),将军牵马从军营P处出发,先到河边OA饮马,再到草地OB牧马,最后回到P处,试分别在OA和OB上各找一点E,F,使得将军走过的路程最短.(保留画图痕迹,辅助线用虚线,最短路 线用实线)
任务二:如图(5)所示,在P,Q两村之间有两条河,且每条河的宽度处处相等,从P村前往Q村,要经过这两条河. 现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF,MN,则这两座桥EF,MN造在何处可使由P村到Q村的路程最短?(要求在图上标出道路和桥的位置)

【分析问题】证明:
∵ 点B,B'关于l对称,
∴ CB=CB',C'B=C'B',
∴ AC+CB=AC+CB'=AB',AC'+C'B=AC'+C'B'.
∵ AB'＜AC'+C'B',
∴ AC+CB＜AC'+C'B,
∴ 作B关于l的对称点B',连接AB'与l交于点C,点C就是饮马的地方,此时按路线AC-CB走的路程就是最短的.
【解决问题】
任务一:如图所示,分别作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接CD,分别交OA,OB于E,F,则按路线PE-EF-FP走的路程最短.

任务二:如图所示,分别过点P和点Q作l₁,l₃的垂线,垂足分别为A,B,在PA上截取PC等于靠近P村的河的宽,在BQ上截取QD等于靠近Q村的河的宽,连接CD分别交l₂,l₄于E,M,分别过点E,M作l₁,l₃的垂线,垂足分别为F,N,连接PF,QN,则此时由P村到Q村的路程最短.