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1. (2025·安康期末)让我们轻松一下,做一个数字游戏:第一步:取一个自然数 $ n_1 =5 $,计算 $ n_1^2 +1 $ 得 $ a_1 $;第二步:算出 $ a_1 $ 的各位数字之和得 $ n_2 $,计算 $ n_2^2 +1 $ 得 $ a_2 $;第三步:算出 $ a_2 $ 的各位数字之和得 $ n_3 $,计算 $ n_3^2 +1 $ 得 $ a_3 $;…以此类推,则 $ a_{2025} $ 的值为 (
A.26
B.65
C.122
D.123
C
)A.26
B.65
C.122
D.123
答案
1. C 解析:由题意知 $n_1 = 5,a_1 = n_1^2 + 1 = 26$,所以 $n_2 = 2+6 = 8,a_2 = n_2^2 + 1 = 65,n_3 = 6+5 = 11,a_3 = n_3^2 + 1 = 122,n_4 = 1+2+2 = 5,a_4 = n_4^2 + 1 = 26,\dots$.可推导一般性规律为每3个数循环一次,$2\ 025÷3 = 675$,所以 $a_{2\ 025} = a_3 = 122$.故选 C.
解析
【分析】
这是一道数字规律探究题，这类题通常存在周期循环规律。解题时首先要严格按照题目给定的运算规则，依次计算出前几个$a$的值，观察数值的重复规律，确定循环周期；再用要求的项数2025除以周期，根据所得的余数判断$a_{2025}$对应周期内的第几个数：余数为0则对应周期最后一个数，余数为几就对应第几个数，最终求出结果。
【解析】
根据题意逐步计算：
第一步：$n_1=5$，$a_1 = n_1^2 + 1 = 5^2 +1 =26$；
第二步：$a_1$的各位数字之和$n_2=2+6=8$，$a_2 = n_2^2 +1 =8^2+1=65$；
第三步：$a_2$的各位数字之和$n_3=6+5=11$，$a_3 = n_3^2 +1 =11^2+1=122$；
第四步：$a_3$的各位数字之和$n_4=1+2+2=5$，$a_4 = n_4^2 +1 =5^2+1=26$。
可发现规律：$a$的数值每3个为一个循环周期，循环组为$26、65、122$。
计算2025除以周期3的结果：$2025÷3=675$，无余数，说明$a_{2025}$对应循环组的第3个数字，即$a_{2025}=a_3=122$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
规律探究，周期问题，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心考查归纳推理能力，解题关键是按照给定规则准确计算前几项，找到数值的循环周期，再结合周期性质求解对应项，计算时注意不要算错各位数字之和即可。
【难度系数】
0.7
这是一道数字规律探究题，这类题通常存在周期循环规律。解题时首先要严格按照题目给定的运算规则，依次计算出前几个$a$的值，观察数值的重复规律，确定循环周期；再用要求的项数2025除以周期，根据所得的余数判断$a_{2025}$对应周期内的第几个数：余数为0则对应周期最后一个数，余数为几就对应第几个数，最终求出结果。
【解析】
根据题意逐步计算：
第一步：$n_1=5$，$a_1 = n_1^2 + 1 = 5^2 +1 =26$；
第二步：$a_1$的各位数字之和$n_2=2+6=8$，$a_2 = n_2^2 +1 =8^2+1=65$；
第三步：$a_2$的各位数字之和$n_3=6+5=11$，$a_3 = n_3^2 +1 =11^2+1=122$；
第四步：$a_3$的各位数字之和$n_4=1+2+2=5$，$a_4 = n_4^2 +1 =5^2+1=26$。
可发现规律：$a$的数值每3个为一个循环周期，循环组为$26、65、122$。
计算2025除以周期3的结果：$2025÷3=675$，无余数，说明$a_{2025}$对应循环组的第3个数字，即$a_{2025}=a_3=122$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
规律探究，周期问题，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心考查归纳推理能力，解题关键是按照给定规则准确计算前几项，找到数值的循环周期，再结合周期性质求解对应项，计算时注意不要算错各位数字之和即可。
【难度系数】
0.7
2. (2025·合肥期末)按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，请你探索第2 025次得到的结果为 (
A.6
B.12
C.15
D.24
B
)A.6
B.12
C.15
D.24
答案
消元；二元；一元
解析
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基础概念，解二元一次方程组的核心是减少未知数的个数，该基本思路为消元，通过消去其中一个未知数，即可将二元转化为一元，实现用已学的一元一次方程求解的目标。
3. 新趋势 数学文化 (2025·杭州期末)某数学探究课上有这样一段对话：
老师:数学家斐波那契在《计算之书》中记载了这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和.
甲同学:这一列数的前2025个数中,能被3整除的数共有506个.
乙同学:这一列数的前2025个数的和为奇数.
以下对两位同学的看法判断正确的是 (
A.甲对,乙错
B.甲错,乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
老师:数学家斐波那契在《计算之书》中记载了这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和.
甲同学:这一列数的前2025个数中,能被3整除的数共有506个.
乙同学:这一列数的前2025个数的和为奇数.
以下对两位同学的看法判断正确的是 (
A
)A.甲对,乙错
B.甲错,乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
答案
另一个未知数；消去一个未知数；一元一次方程
解析
根据代入消元法的教材定义，依次推导空缺内容：第一个空为另一个未知数，将该形式的代数式代入另一方程后，可消去一个未知数，最终把二元一次方程组转化为一元一次方程。
4. (2025·绍兴期末)如图,小明将若干个实心球和空心球(○是空心球,●是实心球)按照一定的规律排列,下列说法正确的是 (
○ ● ● ○ ○ ○ ● ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ● ● ● …
A.第46个是空心球
B.第47个是空心球
C.第105个是实心球
D.第106个是实心球
C
)○ ● ● ○ ○ ○ ● ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ● ● ● …
A.第46个是空心球
B.第47个是空心球
C.第105个是实心球
D.第106个是实心球
答案
4. C 解析:观察题图可知,空心球的个数(相邻在一起)是从 1 开始的连续的奇数,实心球的个数(相邻在一起)是从 2 开始的连续的偶数,因为 $1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$,所以第 46 个球和第 47 个球都是实心球,故 A,B 说法错误,不符合题意;因为 $1+2+3+4+···+10+11+12+13+14 = 105$,所以第 105 个是实心球,第 106 个是空心球,故 C 说法正确,符合题意,D 说法错误,不符合题意.故选 C.
解析
【分析】
首先观察球的排列规律，可将连续相同类型的球划分为一组：第1组是1个空心球，第2组是2个实心球，第3组是3个空心球，第4组是4个实心球……以此类推，可总结出规律：第n组有n个球，若n为奇数，该组全是空心球；若n为偶数，该组全是实心球。接下来我们可以用连续整数求和公式计算前k组的总球数，判断目标序号的球落在第几组，再根据组号的奇偶性判断球的类型即可。
【解析】
观察排列规律可得：将相同类型的连续球分为一组，第n组共有n个球，当n为奇数时，该组为空心球；当n为偶数时，该组为实心球，前n组的总球数为$S_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
1. 判断第46、47个球的类型：
前9组的总球数$S_9=\frac{9×(9+1)}{2}=45$，说明第45个球是第9组的最后一个球，第46、47个球属于第10组，第10组是偶数组，全为实心球，因此A、B选项错误。
2. 判断第105、106个球的类型：
前14组的总球数$S_{14}=\frac{14×(14+1)}{2}=105$，说明第105个球是第14组的最后一个球，第14组是偶数组，全为实心球，故C选项正确；第106个球属于第15组，第15组是奇数组，全为空心球，故D选项错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；有理数加法运算；等差数列求和
【点评】
本题是典型的分组类规律探究题，解题的核心是准确梳理出组号、组内球数、球的类型三者的对应关系，再借助连续整数求和公式快速定位目标球所属的组别，解题时要注意区分奇偶组对应的球的类型，避免混淆出错。
【难度系数】
0.6
首先观察球的排列规律，可将连续相同类型的球划分为一组：第1组是1个空心球，第2组是2个实心球，第3组是3个空心球，第4组是4个实心球……以此类推，可总结出规律：第n组有n个球，若n为奇数，该组全是空心球；若n为偶数，该组全是实心球。接下来我们可以用连续整数求和公式计算前k组的总球数，判断目标序号的球落在第几组，再根据组号的奇偶性判断球的类型即可。
【解析】
观察排列规律可得：将相同类型的连续球分为一组，第n组共有n个球，当n为奇数时，该组为空心球；当n为偶数时，该组为实心球，前n组的总球数为$S_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
1. 判断第46、47个球的类型：
前9组的总球数$S_9=\frac{9×(9+1)}{2}=45$，说明第45个球是第9组的最后一个球，第46、47个球属于第10组，第10组是偶数组，全为实心球，因此A、B选项错误。
2. 判断第105、106个球的类型：
前14组的总球数$S_{14}=\frac{14×(14+1)}{2}=105$，说明第105个球是第14组的最后一个球，第14组是偶数组，全为实心球，故C选项正确；第106个球属于第15组，第15组是奇数组，全为空心球，故D选项错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；有理数加法运算；等差数列求和
【点评】
本题是典型的分组类规律探究题，解题的核心是准确梳理出组号、组内球数、球的类型三者的对应关系，再借助连续整数求和公式快速定位目标球所属的组别，解题时要注意区分奇偶组对应的球的类型，避免混淆出错。
【难度系数】
0.6
5. (2025·台州期末)如图,将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形.第1幅图中“●”的个数为$a_1$,第2幅图中“●”的个数为$a_2$,第3幅图中“●”的个数为$a_3$,依次类推,则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_{20}}$的值为 (
A.$\frac{19}{20}$
B.$\frac{19}{21}$
C.$\frac{20}{21}$
D.1
C
)A.$\frac{19}{20}$
B.$\frac{19}{21}$
C.$\frac{20}{21}$
D.1
答案
5. C 解析:由题图可知,$a_1 = 2 = 1×2,a_2 = 6 = 2×3,a_3 = 12 = 3×4$,$a_4 = 20 = 4×5,···,a_n = n(n+1)$($n$ 为正整数),所以 $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+···+\dfrac{1}{a_{20}}=\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+···+\dfrac{1}{20×21}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+···+\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{21}=1-\dfrac{1}{21}=\dfrac{20}{21}$.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先观察前几幅图中“●”的个数，寻找个数和图形序号的对应规律，推导得到第n幅图的“●”个数$a_n$的通用表达式；再观察所求分数和的结构特征，利用裂项拆分的方法把每个分数拆成两个分数的差，相加后中间项可以相互抵消，最后简化计算就能得到结果。
【解析】
解：观察图形计数可得：
第1幅图：$a_1=2=1×2$
第2幅图：$a_2=6=2×3$
第3幅图：$a_3=12=3×4$
第4幅图：$a_4=20=4×5$
……
归纳可得规律：第n幅图中“●”的个数为$a_n=n(n+1)$（n为正整数）。
代入求和式得：
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_{20}}$
$=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{20×21}$
根据$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$拆分每一项：
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{20}-\frac{1}{21}$
中间相邻项抵消后仅剩首尾两项：
$=1-\frac{1}{21}=\frac{20}{21}$
故选C。
【答案】C
【知识点】
图形规律探究，裂项相消法，分数简便运算
【点评】
本题是规律探究与运算技巧结合的典型题型，解题核心是先通过观察归纳得到通项公式，再利用裂项相消简化求和过程，能够有效考查学生的观察归纳能力和运算技巧。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察前几幅图中“●”的个数，寻找个数和图形序号的对应规律，推导得到第n幅图的“●”个数$a_n$的通用表达式；再观察所求分数和的结构特征，利用裂项拆分的方法把每个分数拆成两个分数的差，相加后中间项可以相互抵消，最后简化计算就能得到结果。
【解析】
解：观察图形计数可得：
第1幅图：$a_1=2=1×2$
第2幅图：$a_2=6=2×3$
第3幅图：$a_3=12=3×4$
第4幅图：$a_4=20=4×5$
……
归纳可得规律：第n幅图中“●”的个数为$a_n=n(n+1)$（n为正整数）。
代入求和式得：
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_{20}}$
$=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{20×21}$
根据$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$拆分每一项：
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{20}-\frac{1}{21}$
中间相邻项抵消后仅剩首尾两项：
$=1-\frac{1}{21}=\frac{20}{21}$
故选C。
【答案】C
【知识点】
图形规律探究，裂项相消法，分数简便运算
【点评】
本题是规律探究与运算技巧结合的典型题型，解题核心是先通过观察归纳得到通项公式，再利用裂项相消简化求和过程，能够有效考查学生的观察归纳能力和运算技巧。
【难度系数】
0.7
6. (2025·成都期末)如图,谢尔宾斯基三角形是一种无限分形结构,它是这样制作出来的:把一个等边三角形(如图①)分别连接其三边中点,分成4个完全相同的小等边三角形,将最中间的一个小等边三角形涂上阴影;对图①中剩下3个空白小三角形分别重复以上做法得到图②;对图②中剩下9个空白小三角形重复以上做法得到图③.已知图①中的大三角形的面积为4,阴影部分的面积是1;则图③中阴影部分的面积为
$\dfrac{37}{16}$
;将这种做法继续下去,第n个图中的阴影部分的面积为$4-\dfrac{3^n}{4^{n-1}}$
.答案
解：(1) 由①，得$y=2x-1$，③
将③代入②，得$3x+2(2x-1)=12$，
解得$x=2$，
将$x=2$代入③，得$y=3$，
$\therefore$原方程组的解是$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$；
(2) 由①，得$a=\frac{1-3b}{2}$，③
将③代入②，得$3·\frac{1-3b}{2}+2b+4=0$，
解得$b=\frac{11}{5}$，
将$b=\frac{11}{5}$代入③，得$a=-\frac{14}{5}$，
$\therefore$原方程组的解是$\begin{cases}a=-\frac{14}{5}, \\ b=\frac{11}{5}\end{cases}$。
1. 把$y=1-x$代入$x-2y=4$，得$x-2(1-x)=4$，整理得$x-2+2x=4$，故选C。
将③代入②，得$3x+2(2x-1)=12$，
解得$x=2$，
将$x=2$代入③，得$y=3$，
$\therefore$原方程组的解是$\begin{cases}x=2, \\ y=3\end{cases}$；
(2) 由①，得$a=\frac{1-3b}{2}$，③
将③代入②，得$3·\frac{1-3b}{2}+2b+4=0$，
解得$b=\frac{11}{5}$，
将$b=\frac{11}{5}$代入③，得$a=-\frac{14}{5}$，
$\therefore$原方程组的解是$\begin{cases}a=-\frac{14}{5}, \\ b=\frac{11}{5}\end{cases}$。
1. 把$y=1-x$代入$x-2y=4$，得$x-2(1-x)=4$，整理得$x-2+2x=4$，故选C。
解析
【分析】
解题时先观察每次操作后阴影面积的变化规律：首先明确每次操作是将上一步剩余的所有空白小三角形各自分成4个更小的等边三角形，每个小三角形面积是上一级空白三角形的$\frac{1}{4}$，每个空白三角形会新增1份阴影面积。先分步计算图②、图③的阴影面积，再归纳每次新增阴影的规律，推导第n个图的阴影面积通用表达式。
【解析】
已知大三角形总面积为4：
1. 计算图③的阴影面积：
图①阴影面积$S_1=1$，剩余3个空白小三角形，每个面积为1；
图②操作时，每个空白小三角形新增面积为$\frac{1}{4}$的阴影，共新增$3×\frac{1}{4}$，因此图②阴影面积$S_2=1+3×\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$，此时剩余$3×3=9$个空白小三角形，每个空白面积为$\frac{1}{4}$；
图③操作时，每个空白小三角形新增面积为$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$的阴影，共新增$9×\frac{1}{16}$，因此图③阴影面积$S_3=\frac{7}{4}+9×\frac{1}{16}=\frac{28}{16}+\frac{9}{16}=\frac{37}{16}$。
2. 推导第n个图的阴影面积$S_n$：
归纳规律可得，每次新增阴影面积依次为$1、\frac{3}{4}、(\frac{3}{4})^2、\dots、(\frac{3}{4})^{n-1}$，因此：
$S_n=1+\frac{3}{4}+(\frac{3}{4})^2+\dots+(\frac{3}{4})^{n-1}$ ①
将①两边同时乘$\frac{3}{4}$得：
$\frac{3}{4}S_n=\frac{3}{4}+(\frac{3}{4})^2+\dots+(\frac{3}{4})^{n}$ ②
用①-②得：$\frac{1}{4}S_n=1-(\frac{3}{4})^n$
整理得$S_n=4-\frac{3^n}{4^{n-1}}$。
【答案】
$\dfrac{37}{16}$；$4-\dfrac{3^n}{4^{n-1}}$
【知识点】
图形规律探究；有理数混合运算；代数式表示规律
【点评】
本题以谢尔宾斯基三角形分形结构为背景，考查归纳推理能力，解题时既可以正向累加新增阴影面积，也可以反向计算剩余空白面积推导结果，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
解题时先观察每次操作后阴影面积的变化规律：首先明确每次操作是将上一步剩余的所有空白小三角形各自分成4个更小的等边三角形，每个小三角形面积是上一级空白三角形的$\frac{1}{4}$，每个空白三角形会新增1份阴影面积。先分步计算图②、图③的阴影面积，再归纳每次新增阴影的规律，推导第n个图的阴影面积通用表达式。
【解析】
已知大三角形总面积为4：
1. 计算图③的阴影面积：
图①阴影面积$S_1=1$，剩余3个空白小三角形，每个面积为1；
图②操作时，每个空白小三角形新增面积为$\frac{1}{4}$的阴影，共新增$3×\frac{1}{4}$，因此图②阴影面积$S_2=1+3×\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$，此时剩余$3×3=9$个空白小三角形，每个空白面积为$\frac{1}{4}$；
图③操作时，每个空白小三角形新增面积为$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$的阴影，共新增$9×\frac{1}{16}$，因此图③阴影面积$S_3=\frac{7}{4}+9×\frac{1}{16}=\frac{28}{16}+\frac{9}{16}=\frac{37}{16}$。
2. 推导第n个图的阴影面积$S_n$：
归纳规律可得，每次新增阴影面积依次为$1、\frac{3}{4}、(\frac{3}{4})^2、\dots、(\frac{3}{4})^{n-1}$，因此：
$S_n=1+\frac{3}{4}+(\frac{3}{4})^2+\dots+(\frac{3}{4})^{n-1}$ ①
将①两边同时乘$\frac{3}{4}$得：
$\frac{3}{4}S_n=\frac{3}{4}+(\frac{3}{4})^2+\dots+(\frac{3}{4})^{n}$ ②
用①-②得：$\frac{1}{4}S_n=1-(\frac{3}{4})^n$
整理得$S_n=4-\frac{3^n}{4^{n-1}}$。
【答案】
$\dfrac{37}{16}$；$4-\dfrac{3^n}{4^{n-1}}$
【知识点】
图形规律探究；有理数混合运算；代数式表示规律
【点评】
本题以谢尔宾斯基三角形分形结构为背景，考查归纳推理能力，解题时既可以正向累加新增阴影面积，也可以反向计算剩余空白面积推导结果，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
