1. (2025·六盘水期末)新定义运算:如图,在$3× 3$的网格中,灰色格子表示0,白色格子表示1,每一行都按$f(x)=ax^2+bx+c$进行运算,其中$x$代表第几行,$a$表示每一行的第一个格子,$b$表示每一行的第二个格子,$c$表示每一行的第三个格子.例如:$f(1)=0× 1^2+1× 1+0=1$,$f(2)=1× 2^2+0× 2+0=4$,那么$f(3)$的值为 ()


A.1
B.2
C.3
D.4

解：
由学生总人数为37，可得等量关系：女生人数+男生人数=37，即$x+y=37$；
由捐书总数量为92，可得等量关系：女生捐书总数+男生捐书总数=92，即$3x+2y=92$。
因此可列方程组为
$\begin{cases}x + y = 37 \\3x + 2y = 92\end{cases}$

【分析】
解题时首先要读懂新定义的运算规则：明确灰色格子代表0，白色格子代表1，每一行的a是该行第1列的数值、b是该行第2列的数值、c是该行第3列的数值，x对应行数，运算公式为$f(x)=ax^2+bx+c$。接下来先找到第3行三个格子对应的颜色，确定a、b、c的取值，最后将x=3和a、b、c代入公式计算即可得到$f(3)$的值。
【解析】
根据题意可知：灰色格子数值为0，白色格子数值为1，对于第3行：
第1列是灰色，因此$a=0$；第2列是灰色，因此$b=0$；第3列是白色，因此$c=1$。
又x代表行数，此处$x=3$，代入公式$f(x)=ax^2+bx+c$得：
$f(3)=0×3^2 + 0×3 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
定义新运算，代数式求值，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解题目给出的运算规则，正确提取对应位置的数值后代入计算即可，主要考查学生的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8

2. (2025·驻马店期末)对于任意非零有理数$a$，$b$，定义运算“※”如下：$a※b=\frac{a-b}{ab}$，则$1※2+2※3+3※4+\dots+2024※2025$的值为（）

A.$\frac{1}{2024}$
B.$\frac{1}{2025}$
C.$\frac{2024}{2025}$
D.$-\frac{2024}{2025}$

2.D 解析:$1※2+2※3+3※4+\dots+2\ 024※2\ 025=\frac{-1}{1×2}+\frac{-1}{2×3}+$$\frac{-1}{3×4}+\dots+\frac{-1}{2\ 024×2\ 025}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\dots-\frac{1}{2\ 024}+$$\frac{1}{2\ 025}=-1+\frac{1}{2\ 025}=-\frac{2\ 024}{2\ 025}$.故选D.

【分析】
解题首先要准确理解新定义运算“※”的规则，先将每个“※”运算转化为常规的分数运算；再观察转化后各项的结构特征，发现可通过裂项拆分把每一项拆成两个分数的差，拆分后相邻项的中间分数可以互相抵消，最后仅计算剩余的首尾项即可得到结果，避免了逐项计算的繁琐。
【解析】
解：根据新运算定义$a※b=\frac{a-b}{ab}$，可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1-2}{1×2}+\frac{2-3}{2×3}+\frac{3-4}{3×4}+\dots+\frac{2024-2025}{2024×2025}\\&=\frac{-1}{1×2}+\frac{-1}{2×3}+\frac{-1}{3×4}+\dots+\frac{-1}{2024×2025}\\&=-(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})\\&=-(1-\frac{1}{2025})\\&=-\frac{2024}{2025}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
定义新运算、裂项相消、有理数混合运算
【点评】
本题结合新定义运算考查简便计算能力，解题关键是正确转化新运算为常规运算，再利用裂项相消简化计算，很好地考查了运算规则的理解能力和运算技巧的运用能力。
【难度系数】
0.6

3. (2025·北京期末)给出一种数的表示方法：
设数 $ a = \overline{a_1 a_2 a_3 ··· a_n} $，其中 $ a_1, a_2, ···, a_n $ 的值只能取0或1，则称数 $ a $ 为 $ n $ 位本原数。例如，当 $ n=2 $ 时，2位本原数 $ a $ 可以表示为 $ \overline{00}, \overline{01}, \overline{10}, \overline{11} $ 四个数。现定义两个 $ n $ 位本原数的加法运算：设 $ s = \overline{s_1 s_2 s_3 ··· s_n}, t = \overline{t_1 t_2 t_3 ··· t_n} $，那么有
$ s \oplus t = \frac{1}{2} [ (s_1 + t_1 - |s_1 - t_1|) + (s_2 + t_2 - |s_2 - t_2|) + ··· + (s_n + t_n - |s_n - t_n|) ] $。
(1)若 $ b = \overline{10}, c = \overline{11} $，则 $ b \oplus c = $ ；
(2)若 $ d, e $ 均是3位本原数，设 $ d = \overline{101} $，且 $ d \oplus e = 2 $，则3位本原数 $ e = $ 。

解：
同向而行时，乙10小时行驶的路程减去甲10小时行驶的路程等于两人初始相距的50km，可得方程：$10y - 10x = 50$
相向而行时，甲2小时行驶的路程与乙2小时行驶的路程之和等于两人初始相距的50km，可得方程：$2x + 2y = 50$
因此可列出方程组：
$\begin{cases}10y - 10x = 50 \\2x + 2y = 50\end{cases}$

【分析】
本题属于定义新运算题型，解题思路如下：首先读懂题意，明确n位本原数的每个数位只能取0或1，再理解新运算⊕的计算规则：运算结果是将两个本原数对应数位分别代入公式计算求和后再除以2。我们可以先简化每一项的计算：对于两个只有0或1取值的数位$s_i$、$t_i$，若二者均为1，$(s_i + t_i - |s_i - t_i|)=2$，对结果的贡献为1；若至少有一个为0，这部分的计算结果为0，对结果的贡献为0，因此⊕运算最终结果就是两个本原数对应数位同时为1的总个数。第(1)问直接将b、c的数位代入公式计算即可；第(2)问已知运算结果为2，结合d的数位取值，反推e的各个数位的可能取值即可。
【解析】
(1) 已知$b=\overline{10}$，$c=\overline{11}$，即$b_1=1,b_2=0$，$c_1=1,c_2=1$，代入新运算公式：
$\begin{aligned}b\oplus c&=\frac{1}{2}×[(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]\\&=\frac{1}{2}×[(2-0)+(1-1)]\\&=\frac{1}{2}×2\\&=1\end{aligned}$
(2) 设3位本原数$e=\overline{e_1e_2e_3}$，其中$e_1,e_2,e_3$只能取0或1，已知$d=\overline{101}$，即$d_1=1,d_2=0,d_3=1$，代入新运算公式：
$\begin{aligned}d\oplus e&=\frac{1}{2}[(1+e_1-|1-e_1|)+(0+e_2-|0-e_2|)+(1+e_3-|1-e_3|)]\\&=\frac{1}{2}[(1+e_1-(1-e_1))+(e_2-e_2)+(1+e_3-(1-e_3))]\\&=\frac{1}{2}(2e_1 + 0 + 2e_3)\\&=e_1+e_3\end{aligned}$
由$d\oplus e=2$得$e_1+e_3=2$，因为$e_1,e_3$只能取0或1，因此$e_1=1,e_3=1$，$e_2$可以取0或1，所以$e=\overline{101}$或$\overline{111}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\overline{101}}$或$\boxed{\overline{111}}$
【知识点】
定义新运算，绝对值化简，代数式求值
【点评】
本题重点考查对新定义规则的理解和应用能力，解题关键是准确提取题目中的运算规则，结合数位只能取0或1的限制进行计算或推导，第二问要注意第二位的取值有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7

4.（2025·深圳期末）类比用字母表示数，我们
用“°”来表示某种运算.对于任意元素a,b,若
a°b = b°a,那么这种运算满足交换律;若存在元素e,满足a°e = e°a = a,则称e为“°运算”下的单位元;若两个元素经过“°运算”后得到单位元,则这两个元素互为“°运算”下的逆元.
例如,在有理数范围内,加法满足交换律,减法则不满足交换律,加法运算下的单位元是0,互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元.
(1)在有理数范围内,乘法运算下的单位元是, -5在乘法运算下的逆元是.
(2)若a,b表示两个有理数,定义运算“*”,其运算法则为a*b = 2ab - a - b +1,例如,若a=2,b=3,则a*b=2×2×3 -2 -3 +1=8.
①“*运算”是否满足交换律?.(填“是”或“否”)
②求出“*运算”下的单位元.
③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元?若有,求出这个(些)数;若没有,请说明理由.

4.(1)1 $-\frac{1}{5}$ 解析:1 乘任何数等于它本身,故乘法的单位元是 1,-5 在乘法运算下的逆元是$-\frac{1}{5}.$
(2)①是 解析:$b * a = 2ba - b - a + 1 = a * b$,所以“* 运算”满足交换律.
②假设 x 为有理数,“* 运算”下的单位元为 e,根据定义可知,$x * e = e * x = x$ 对任意有理数 x 都成立,由①知“ * 运算”满足交换律,因此只需要研究 $x * e = x$,即 $2xe - x - e + 1 = x$,整理可得$(2e-2)x=e-1$,以上等式对于任意 x 都成立,因此$2e-2=e-1=0$,解得 $e=1$.故“ * 运算”下的单位元是 1.
③假设有理数 y 在“ * 运算”下的逆元为 $y'$,则根据逆元的定义可知,$y * y' = 1$,因此 $2yy' - y - y' + 1 = 1$,整理得$(2y-1)·$$y'=y$,根据等式的基本性质,若 $2y-1≠0$,则等式两边可以同时除以$(2y-1)$,得到 $y'=\frac{y}{2y-1}$,因此只要 $2y-1≠0$,y 必有逆元 $y'=\frac{y}{2y-1}$,当 $2y-1=0$,即 $y=\frac{1}{2}$时,原等式变为 $0× y'=$$\frac{1}{2}$,此时不存在 $y'$ 使等式成立,因此当 $y=\frac{1}{2}$时不存在逆元,即$\frac{1}{2}$在“ * 运算”下不存在逆元.

【分析】
这是一道定义新运算类题目，解题核心是准确理解题目给出的交换律、单位元、逆元的定义，结合已学的有理数运算、方程知识逐一求解：1. 第(1)问结合乘法运算的性质，对照单位元、逆元的定义直接求解即可；2. 第(2)问①判断交换律，只需将a*b中的a和b互换位置，计算b*a后和a*b比较是否相等；②求单位元时，设单位元为e，根据单位元定义列出对任意有理数x都成立的等式，再根据等式对任意x成立的条件求解e的值；③判断是否存在无逆元的数，设某数y的逆元为y'，根据逆元定义列出方程，整理为关于y'的一元一次方程形式，分析方程无解的情况即可得到不存在逆元的数。
【解析】
(1) 根据单位元定义，有理数乘法中，1乘任意有理数都等于该有理数本身，因此乘法运算下的单位元是1；根据逆元定义，两个数相乘等于单位元1则互为逆元，设-5的逆元为x，列方程得$-5x=1$，解得$x=-\frac{1}{5}$，即-5的逆元是$-\frac{1}{5}$。
(2) ① 根据运算法则$a*b = 2ab - a - b +1$，计算$b*a$得：$b*a=2ba - b - a +1=2ab - a - b +1$，与$a*b$的结果完全相等，因此“*运算”满足交换律。
② 设“*运算”下的单位元为$e$，根据单位元定义，对任意有理数$x$都有$x*e=x$。代入运算法则得：$2xe - x - e +1 = x$，整理得$(2e-2)x = e-1$。由于该等式对任意有理数$x$都成立，因此只有x的系数和常数项均为0时等式恒成立，即$\begin{cases}2e-2=0 \\ e-1=0 \end{cases}$，解得$e=1$，即“*运算”下的单位元是1。
③ 存在没有逆元的有理数。假设有理数$y$的逆元为$y'$，根据逆元定义得$y*y'=1$，代入运算法则得$2yy' - y - y' +1=1$，整理得$(2y-1)y'=y$：
当$2y-1≠0$即$y≠\frac{1}{2}$时，$y'=\frac{y}{2y-1}$，此时$y$存在逆元；
当$2y-1=0$即$y=\frac{1}{2}$时，等式变为$0·y'=\frac{1}{2}$，不存在有理数$y'$使等式成立，因此$y=\frac{1}{2}$没有逆元。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；$\boxed{-\frac{1}{5}}$
(2) ① $\boxed{是}$；② 单位元为$\boxed{1}$；③ 存在，$\boxed{\frac{1}{2}}$在“*运算”下不存在逆元
【知识点】
定义新运算；有理数四则运算；一元一次方程应用
【点评】
本题以新运算为载体，考查对新概念的理解和迁移应用能力，解题关键是紧扣题目给出的定义，将新运算转化为熟悉的四则运算和方程问题求解，需重点掌握“等式对任意有理数成立”这类条件的用法。
【难度系数】
0.6