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1. 数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫作数$a$的绝对值，记作$|a|$.数轴上表示数$a$的点与表示数$b$的点的距离记作$|a - b|$，如$|3 - 5|$表示数轴上表示数$3$的点与表示数$5$的点的距离，$|3 + 5| = |3 - (-5)|$表示数轴上表示数$3$的点与表示数$-5$的点的距离，$|a - 3|$表示数轴上表示数$a$的点与表示数$3$的点的距离.
根据以上材料回答下列问题(将结果直接填写在相应位置,不写过程):
(1)若$|x - 1| = |x + 1|$，则$x = \_\_\_\_\_\_$；若$|x - 2| = |x + 1|$，则$x = \_\_\_\_\_\_$；
(2)若$|x - 2| + |x + 1| = 3$，则$x$能取到的最小值是________，最大值是________；
(3)$|x - 2| + |x + 1| + |x + 3|$的最小值是________；
(4)$|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + ··· + |x + 98| + |x + 99| + |x + 100|$的最小值是________.
根据以上材料回答下列问题(将结果直接填写在相应位置,不写过程):
(1)若$|x - 1| = |x + 1|$，则$x = \_\_\_\_\_\_$；若$|x - 2| = |x + 1|$，则$x = \_\_\_\_\_\_$；
(2)若$|x - 2| + |x + 1| = 3$，则$x$能取到的最小值是________，最大值是________；
(3)$|x - 2| + |x + 1| + |x + 3|$的最小值是________；
(4)$|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + ··· + |x + 98| + |x + 99| + |x + 100|$的最小值是________.
答案
(1)
从上面看：画出3个小正方形，呈L形，后行1个小正方形，前行2个小正方形，后行的小正方形和前行最左侧的小正方形上下对齐。
从前面看：画出3列底部对齐的小正方形，左列竖排3个，中列竖排2个，右列竖排1个。
从右面看：画出2列底部对齐的小正方形，左列竖排3个，右列竖排2个。
(2) $\boldsymbol{⑤}$；$\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{3}$
答：可以移动⑤号正方体，添加正方体有6种添法，要使从上面看到的图形不变最多拿走3个。
从上面看：画出3个小正方形，呈L形，后行1个小正方形，前行2个小正方形，后行的小正方形和前行最左侧的小正方形上下对齐。
从前面看：画出3列底部对齐的小正方形，左列竖排3个，中列竖排2个，右列竖排1个。
从右面看：画出2列底部对齐的小正方形，左列竖排3个，右列竖排2个。
(2) $\boldsymbol{⑤}$；$\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{3}$
答：可以移动⑤号正方体，添加正方体有6种添法，要使从上面看到的图形不变最多拿走3个。
2. 如图,在一条笔直的街道上有E,F,G,H四个小区,且相邻两个小区之间的距离均为200 m.已知E,F,G,H四个小区各有2个,2个,3个,1个小朋友在同一所小学的同一班级上学,安全起见,这8个小朋友约定先在街道上某处汇合,再一起去学校.聪明的小朋友们通过分析,发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小,请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值.
答案
(1)
6+12+4=22
24+22=46
24-2-14=8
8+4=12
统计表补充：总计行合计栏填46，及格栏填12；女生行合计栏填22；男生行及格栏填8。
统计图补充：及格等级处代表男生的直条高度对应纵轴刻度8，标注数字8；代表女生的直条高度对应纵轴刻度4，标注数字4。
(2)
6 ＜ 10 ＜ 6+12
等级：良好
答：(1) 统计表和统计图按上述计算结果补充完整；(2) 小丽的跳绳成绩等级是良好。
6+12+4=22
24+22=46
24-2-14=8
8+4=12
统计表补充：总计行合计栏填46，及格栏填12；女生行合计栏填22；男生行及格栏填8。
统计图补充：及格等级处代表男生的直条高度对应纵轴刻度8，标注数字8；代表女生的直条高度对应纵轴刻度4，标注数字4。
(2)
6 ＜ 10 ＜ 6+12
等级：良好
答：(1) 统计表和统计图按上述计算结果补充完整；(2) 小丽的跳绳成绩等级是良好。
3. (1) $2|x-2| + 2|x-3| +5|x-4|$的最小值是________；
(2) $\frac{1}{2}|x-2| + \frac{1}{3}|x+1|$的最小值是________；
(3) 求$2|2x-1| + |3x-2| + \left|x-\frac{5}{2}\right| + |2x-7| + |3x-9|$的最小值。
(2) $\frac{1}{2}|x-2| + \frac{1}{3}|x+1|$的最小值是________；
(3) 求$2|2x-1| + |3x-2| + \left|x-\frac{5}{2}\right| + |2x-7| + |3x-9|$的最小值。
答案
12的因数：1、2、3、4、6、12
8的因数：1、2、4、8
12和8的最大公因数是4。
12和8的最小公倍数是24。
80÷24=3……8，80不是24的倍数，即80不是12和8的公倍数。
答：小正方形纸片边长最大是4厘米。摆出的正方形的边长不会是80厘米，因为用长12厘米、宽8厘米的长方形纸片摆正方形，边长需要同时是12和8的公倍数，80不是12和8的公倍数，无法刚好摆满没有剩余。
8的因数：1、2、4、8
12和8的最大公因数是4。
12和8的最小公倍数是24。
80÷24=3……8，80不是24的倍数，即80不是12和8的公倍数。
答：小正方形纸片边长最大是4厘米。摆出的正方形的边长不会是80厘米，因为用长12厘米、宽8厘米的长方形纸片摆正方形，边长需要同时是12和8的公倍数，80不是12和8的公倍数，无法刚好摆满没有剩余。
4. (1)$|x-2|-|x+14|$的最大值是
(2)求$|x-1|-4|x+1|$的最大值.
16
；(2)求$|x-1|-4|x+1|$的最大值.
答案
S_A = 2.5×4÷2 = 5（平方米）
S_B = 5×4 = 20（平方米）
S_C = (2.5 + 6.5)×4÷2 = 18（平方米）
5 ＜ 18 ＜ 20
20×2 = 40（棵）
答：一共可以种棉花40棵。
S_B = 5×4 = 20（平方米）
S_C = (2.5 + 6.5)×4÷2 = 18（平方米）
5 ＜ 18 ＜ 20
20×2 = 40（棵）
答：一共可以种棉花40棵。
5. (1)若$x,y$满足$(|x-1|+|x-6|)(|y-1|+|y+1|)=10$,求代数式$x+y$的最大值和最小值；
(2)若$x,y$满足$|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10$,求$xy$的最大值.
(2)若$x,y$满足$|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10$,求$xy$的最大值.
答案
(1)由题可知$|x-1|+|x-6|≥5$,$|y-1|+|y+1|≥2$,又因为$(|x-1|+|x-6|)(|y-1|+|y+1|)=10$,所以$|x-1|+|x-6|=5$,$|y-1|+|y+1|=2$,即$1≤ x≤6$,$-1≤ y≤1$,所以代数式$x+y$的最大值是$6+1=7$,最小值是$1+(-1)=0$.
(2)当$-2≤ x≤1$时,$|x-1|+|x+2|$取得最小值为3;当$-4≤ y≤3$时,$|y-3|+|y+4|$取得最小值为7,因为$|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10$,$|x-1|+|x+2|≥3$,$|y-3|+|y+4|≥7$,所以$|x-1|+|x+2|=3$,$|y-3|+|y+4|=7$,所以$-2≤ x≤1$,$-4≤ y≤3$,所以当$x=-2$,$y=-4$时,$xy$有最大值,最大值为$-2×(-4)=8$.
(2)当$-2≤ x≤1$时,$|x-1|+|x+2|$取得最小值为3;当$-4≤ y≤3$时,$|y-3|+|y+4|$取得最小值为7,因为$|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10$,$|x-1|+|x+2|≥3$,$|y-3|+|y+4|≥7$,所以$|x-1|+|x+2|=3$,$|y-3|+|y+4|=7$,所以$-2≤ x≤1$,$-4≤ y≤3$,所以当$x=-2$,$y=-4$时,$xy$有最大值,最大值为$-2×(-4)=8$.
解析
【分析】
(1) 首先利用绝对值的几何意义分析：|x-a|表示数轴上数x对应点到数a对应点的距离。|x-1|+|x-6|是x到1和6的距离之和，最小值为5，当x在1到6之间时取到；|y-1|+|y+1|是y到1和-1的距离之和，最小值为2，当y在-1到1之间时取到。两个距离和的乘积为10，刚好是两个最小值的乘积，因此两个绝对值和只能取各自最小值，由此得到x、y的取值范围，再求x+y的最值即可。
(2) 同理先求两组绝对值和的最小值：|x-1|+|x+2|的最小值为3，|y-3|+|y+4|的最小值为7，两个最小值相加刚好等于10，说明两组绝对值和均取最小值，得到x、y的取值范围，再结合“同号相乘为正”的规律求xy的最大值。
【解析】
(1) 根据绝对值的几何意义可得：
$|x-1|+|x-6|$表示数轴上x到1、6的距离之和，最小值为$6-1=5$，即$|x-1|+|x-6|≥5$；
$|y-1|+|y+1|$表示数轴上y到1、-1的距离之和，最小值为$1-(-1)=2$，即$|y-1|+|y+1|≥2$。
已知$(|x-1|+|x-6|)(|y-1|+|y+1|)=10$，且$5×2=10$，因此仅当两个绝对值和都取最小值时等式成立，即：
$|x-1|+|x-6|=5$，对应取值范围$1≤x≤6$；
$|y-1|+|y+1|=2$，对应取值范围$-1≤y≤1$。
当x取最大值6、y取最大值1时，$x+y$取得最大值：$6+1=7$；
当x取最小值1、y取最小值-1时，$x+y$取得最小值：$1+(-1)=0$。
(2) 根据绝对值的几何意义可得：
$|x-1|+|x+2|$表示数轴上x到1、-2的距离之和，最小值为$1-(-2)=3$，即$|x-1|+|x+2|≥3$；
$|y-3|+|y+4|$表示数轴上y到3、-4的距离之和，最小值为$3-(-4)=7$，即$|y-3|+|y+4|≥7$。
已知$|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10$，且$3+7=10$，因此仅当两个绝对值和都取最小值时等式成立，即：
$|x-1|+|x+2|=3$，对应取值范围$-2≤x≤1$；
$|y-3|+|y+4|=7$，对应取值范围$-4≤y≤3$。
要使xy最大，需x、y同号：同正的最大乘积为$1×3=3$，同负的最大乘积为$(-2)×(-4)=8$，$8＞3$，因此xy的最大值为8。
【答案】
(1) $x+y$的最大值为7，最小值为0；(2) $xy$的最大值为8
【知识点】
1. 绝对值的几何意义
2. 绝对值和的最值
3. 代数式最值计算
【点评】
本题考查利用绝对值的几何意义求解代数式最值，解题关键是先通过数轴上两点距离的性质确定绝对值和的最小值，结合题设等式得到变量的取值范围，再根据代数式的运算特征求最值，求解乘积最值时要注意正负号对结果的影响。
【难度系数】
0.6
(1) 首先利用绝对值的几何意义分析：|x-a|表示数轴上数x对应点到数a对应点的距离。|x-1|+|x-6|是x到1和6的距离之和，最小值为5，当x在1到6之间时取到；|y-1|+|y+1|是y到1和-1的距离之和，最小值为2，当y在-1到1之间时取到。两个距离和的乘积为10，刚好是两个最小值的乘积，因此两个绝对值和只能取各自最小值，由此得到x、y的取值范围，再求x+y的最值即可。
(2) 同理先求两组绝对值和的最小值：|x-1|+|x+2|的最小值为3，|y-3|+|y+4|的最小值为7，两个最小值相加刚好等于10，说明两组绝对值和均取最小值，得到x、y的取值范围，再结合“同号相乘为正”的规律求xy的最大值。
【解析】
(1) 根据绝对值的几何意义可得：
$|x-1|+|x-6|$表示数轴上x到1、6的距离之和，最小值为$6-1=5$，即$|x-1|+|x-6|≥5$；
$|y-1|+|y+1|$表示数轴上y到1、-1的距离之和，最小值为$1-(-1)=2$，即$|y-1|+|y+1|≥2$。
已知$(|x-1|+|x-6|)(|y-1|+|y+1|)=10$，且$5×2=10$，因此仅当两个绝对值和都取最小值时等式成立，即：
$|x-1|+|x-6|=5$，对应取值范围$1≤x≤6$；
$|y-1|+|y+1|=2$，对应取值范围$-1≤y≤1$。
当x取最大值6、y取最大值1时，$x+y$取得最大值：$6+1=7$；
当x取最小值1、y取最小值-1时，$x+y$取得最小值：$1+(-1)=0$。
(2) 根据绝对值的几何意义可得：
$|x-1|+|x+2|$表示数轴上x到1、-2的距离之和，最小值为$1-(-2)=3$，即$|x-1|+|x+2|≥3$；
$|y-3|+|y+4|$表示数轴上y到3、-4的距离之和，最小值为$3-(-4)=7$，即$|y-3|+|y+4|≥7$。
已知$|x-1|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10$，且$3+7=10$，因此仅当两个绝对值和都取最小值时等式成立，即：
$|x-1|+|x+2|=3$，对应取值范围$-2≤x≤1$；
$|y-3|+|y+4|=7$，对应取值范围$-4≤y≤3$。
要使xy最大，需x、y同号：同正的最大乘积为$1×3=3$，同负的最大乘积为$(-2)×(-4)=8$，$8＞3$，因此xy的最大值为8。
【答案】
(1) $x+y$的最大值为7，最小值为0；(2) $xy$的最大值为8
【知识点】
1. 绝对值的几何意义
2. 绝对值和的最值
3. 代数式最值计算
【点评】
本题考查利用绝对值的几何意义求解代数式最值，解题关键是先通过数轴上两点距离的性质确定绝对值和的最小值，结合题设等式得到变量的取值范围，再根据代数式的运算特征求最值，求解乘积最值时要注意正负号对结果的影响。
【难度系数】
0.6
