1. (牡丹江中考)观察下列数据：$\frac{1}{2}, -\frac{2}{5}, \frac{3}{10}, -\frac{4}{17}, \frac{5}{26}, \dots$, 则第12个数是 ()

A.$\frac{12}{143}$
B.$-\frac{12}{143}$
C.$\frac{12}{145}$
D.$-\frac{12}{145}$

1. D 解析:$\frac{1}{2},-\frac{2}{5},\frac{3}{10},-\frac{4}{17},\frac{5}{26},\dots$,根据规律可得第$n$个数是$\frac{(-1)^{n+1}n}{n^2+1}$,所以第12个数是$-\frac{12}{145}$.故选D.

【分析】
要解决这道找规律的题目，我们可以把分数拆成符号、分子、分母三个部分分别探索规律：首先观察符号，发现数列正负交替出现，奇数项为正、偶数项为负；再看分子，第1个数分子是1，第2个是2，第3个是3，显然分子和对应的项数一致；最后看分母，2、5、10、17、26，分别对应1²+1、2²+1、3²+1、4²+1、5²+1，即分母是对应项数的平方加1。找到三部分规律后组合得到第n项的通用表达式，再代入n=12计算即可得到结果。
【解析】
我们分三部分分析数列的规律：
1. 符号规律：第1项为正，第2项为负，第3项为正……即奇数项符号为正，偶数项符号为负；
2. 分子规律：第1项分子是1，第2项分子是2，第3项分子是3……即第n项的分子等于n；
3. 分母规律：第1项分母$2=1^2+1$，第2项分母$5=2^2+1$，第3项分母$10=3^2+1$……即第n项的分母为$n^2+1$。
综上，第n个数的表达式为$\frac{(-1)^{n+1}n}{n^2+1}$。
当n=12时，代入表达式计算：
$\frac{(-1)^{12+1}×12}{12^2+1}=\frac{-1×12}{144+1}=-\frac{12}{145}$
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，符号规律判断，有理数乘方运算
【点评】
本题是典型的数字规律类题目，解题核心是将分数拆分为独立的三部分分别找规律，再归纳出通用表达式代入求解，能有效考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7

2. (2026·南阳模拟)观察下列一组数:2.9,
4.99,6.999,8.999 9,10.999 99,…,按此规律,
第$n$个数是 ()

A.$2n - 0.1^n$
B.$2n + 1 - 0.1^n$
C.$2n - 1 + 0.9^n$
D.$2n + 0.9^n$

由题意得两个数分别是18和24。
用短除法计算：
2 | 18 24
3 | 9 12
3 4
最大公因数：2×3=6
最小公倍数：2×3×3×4=72
答：选D。

【分析】
解决这类数字规律题，我们可以先把数拆成整数部分和小数部分，分别找两部分的规律，再合并得到通式，也可以通过代入n的小数值排除错误选项，快速锁定答案。首先观察数列：第1个是2.9，第2个是4.99，第3个是6.999，第4个是8.9999……先分析整数部分：2、4、6、8……是连续正偶数，第n项的整数部分为2n；再分析小数部分：0.9、0.99、0.999……可变形为1-0.1、1-0.1²、1-0.1³……第n项的小数部分为1-0.1ⁿ，合并两部分即可得到第n个数的表达式，也可代入数值验证排除错误选项。
【解析】
解：将数列拆分整数部分和小数部分分别推导规律：
1. 整数部分规律：第1个数整数为$2=2×1$，第2个为$4=2×2$，第3个为$6=2×3$……因此第n个的整数部分为$2n$；
2. 小数部分规律：第1个小数为$0.9=1-0.1^1$，第2个小数为$0.99=1-0.1^2$，第3个小数为$0.999=1-0.1^3$……因此第n个的小数部分为$1-0.1^n$；
3. 合并得第n个数：$2n + (1 - 0.1^n) = 2n + 1 - 0.1^n$。
也可用代入排除法验证：
当$n=1$时，A选项$2×1 - 0.1^1=1.9≠2.9$，C选项$2×1 -1 +0.9^1=1.9≠2.9$，排除A、C；
当$n=2$时，D选项$2×2 + 0.9^2=4+0.81=4.81≠4.99$，排除D。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究,乘方的意义,代数式求值
【点评】
本题考查数字规律的探究能力，拆分法和代入排除法是解决这类规律题的常用技巧，能帮助同学们快速找到规律、验证选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7

3.（内江中考）对于正数$x$，规定$f(x)=\frac{2x}{x+1}$，例如：
$f(2)=\frac{2×2}{2+1}=\frac{4}{3}$，$f(\frac{1}{2})=\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}$，$f(3)=\frac{2×3}{3+1}=\frac{3}{2}$，$f(\frac{1}{3})=\frac{2×\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{1}{2}$，计算：$f(\frac{1}{101})+f(\frac{1}{100})+f(\frac{1}{99})+…+f(\frac{1}{3})+f(\frac{1}{2})+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=（ ）$

A.199
B.200
C.201
D.202

A的对称轴条数为4
B的对称轴条数为3
C的对称轴条数为6
D的对称轴条数为2
6＞4＞3＞2
答：C。

【分析】
解题时先观察已知的函数示例，发现$f(2)+f(\frac{1}{2})=2$、$f(3)+f(\frac{1}{3})=2$的共性，先推导$f(x)$和$f(\frac{1}{x})$的和的规律，再将所求式子按规律分组配对，最后加上中间单独的$f(1)$的值即可算出总和。
【解析】
第一步：推导$f(x)+f(\frac{1}{x})$的定值
已知$f(x)=\frac{2x}{x+1}$，则：
$f(\frac{1}{x})=\frac{2×\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{\frac{2}{x}}{\frac{1+x}{x}}=\frac{2}{x+1}$
所以$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{2x}{x+1}+\frac{2}{x+1}=\frac{2x+2}{x+1}=2$
第二步：计算$f(1)$的值
$f(1)=\frac{2×1}{1+1}=1$
第三步：分组计算总和
所求式子可分组为：
$[f(\frac{1}{101})+f(101)] + [f(\frac{1}{100})+f(100)] + … + [f(\frac{1}{2})+f(2)] + f(1)$
共有100组和为2的配对，加上单独的$f(1)$，总和为：
$100×2 + 1=201$
【答案】C
【知识点】
分式运算，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，核心是先找到互为倒数的两个自变量对应的函数值之和为定值的规律，通过分组配对大幅简化计算，避免了逐项运算的繁琐。
【难度系数】
0.6

4.（2026·邯郸月考）如图，在数轴上有一动点P，将点P沿数轴做如下移动：第一次将点P向右移动2个单位长度到达点$P_1$，第二次将点$P_1$向左移动4个单位长度到达点$P_2$，第三次将点$P_2$向右移动6个单位长度到达点$P_3$，…，按照这种规律移动下去，第$n$次移动到点$P_n$，甲、乙、丙三位同学给出以下结论：

甲：若点$P_1$，$P_2$表示的数互为相反数，则点$P$表示0；
乙：若点$P$表示-1，点$P_n$到原点的距离为9，
则$n=9$.
丙：当$n$为奇数时，$|P_n - P_{n-1}|=3n$；
对于三人的观点，以下说法正确的是（）

A.甲、乙、丙都对
B.甲、乙对，丙不对
C.甲、丙对，乙不对
D.甲对，乙、丙不对

A

5. 如图,被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是:从第二行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和,图中两平行线之间的一列数:1,3,6,10,15,…,我们把第一个数记为$a_1$,第二个数记为$a_2$,第三个数记为$a_3$,…,第$n$个数记为$a_n$,则$a_{100}$的值为 ()


A.100
B.199
C.5 050
D.10 000

① 若$a＞b$，$b＞c$，则$a＞c$，可得$a+d＞c+d$，①正确。
② 任意分割平行四边形得到的两个梯形的高都等于原平行四边形对应平行线间的距离，高相等，②正确。
③ 周长相等的长方形和平行四边形，长方形面积不一定大于平行四边形面积，③错误。
④ 1既不是质数也不是合数，④正确。
正确的说法共3个。
答：C。

【分析】首先依次列出数列的前几项，对比项的序号和项的值的关系：第1项是1，第2项是1+2的和，第3项是1+2+3的和，以此类推可归纳出第n项是从1到n的正整数之和，再用连续整数求和的简便算法代入n=100即可算出结果。
【解析】观察数列的前几项可得：
$a_1=1$
$a_2=3=1+2$
$a_3=6=1+2+3$
$a_4=10=1+2+3+4$
$a_5=15=1+2+3+4+5$
……
由此可总结规律：第$n$个数$a_n = 1+2+3+\dots +n$
根据连续正整数求和的简便方法：和=（首项+末项）×项数÷2，当$n=100$时：
$a_{100}=(1+100)×100÷2=101×50=5050$
【答案】C
【知识点】数字规律探究，连续整数求和
【点评】本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知项归纳出通项规律，再结合简便计算得到答案，重点考查观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】0.7

6. 如图,一个起点为0的数轴,现有同学将它弯折,弯折后虚线上第一行的数是0,第二行的数是6,第三行的数是21,…,第六行的数是.

0.16×5=0.8
6.4÷8=0.8
2m+3m=5m
4÷40=0.1
0.15×60=9
n×n×1=n²

7. 如图所示,将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图中“•”的个数为$a_1$,第2幅图中“•”的个数为$a_2$,第3幅图中“•”的个数为$a_3$,以此类推,则$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_{18}}$的值为。

```
0.48
× 65
------
2 40
28 8
------
31.20
```
$0.48×65=31.2$
---
```
1.4
12)16.8
12
----
4 8
4 8
----
0
```
$16.8÷12=1.4$
---
```
0.625
56)35.000
33 6
----
1 40
1 12
----
2 80
2 80
----
0
```
$35÷56=0.625$