1[2026山东德州期末,中]一只小球落在数轴上的某点$P_0=a$处,第1次从$P_0$处向右跳1个单位到$P_1$处,第2次从$P_1$处向左跳2个单位到$P_2$处,第3次从$P_2$处向右跳3个单位到$P_3$处,第4次从$P_3$处向左跳4个单位到$P_4$处,….若小球按以上规律跳了$(2n+3)$次,则它落在数轴上的点$P_{2n+3}$处所表示的数是 ()

A.$a+n$
B.$a+n+2$
C.$a+n-1$
D.$a+n+3$

因为点$P_0$所表示的数是$a$,所以点$P_1$所表示的数是$a+1$,点$P_2$所表示的数是$a+1-2=a-1$,点$P_3$所表示的数是$a-1+3=a+2$,点$P_4$所表示的数是$a+2-4=a-2$,点$P_5$所表示的数是$a-2+5=a+3$,点$P_6$所表示的数是$a+3-6=a-3$,…,由上可得,当$n$为奇数时,点$P_n$表示的数为$a+\frac{n+1}{2}$;当$n$为偶数时,点$P_n$表示的数为$a-\frac{n}{2}$$(n≥1)$. 因为$2n+3$是奇数,所以$P_{2n+3}$表示的数为$a+\frac{2n+4}{2}=a+n+2$. 故选 B.

2[2026重庆巴南区期末,较难]有一组正整数：$a_1,a_2,\dots,a_{2024},a_{2025}$，从$a_3$开始，满足$a_3=|a_1-2a_2|$，$a_4=|a_2-2a_3|$，$a_5=|a_3-2a_4|$，…，$a_{2025}=|a_{2023}-2a_{2024}|$，当$a_1=m,a_2=1(m≥3,m$为整数$)$时，$a_{2025}=$。

当$a_1=m,a_2=1(m≥3,m$为整数$)$时,$a_3=m-2,a_4=2m-5,a_5=3m-8$,$a_6=4m-11$,$\dots$,$a_n=(n-2)m-3n+7$($n≥3,n$为整数),所以$a_{2025}=(2025-2)m-3×2025+7=2023m-6068$,故答案为$2023m-6068$.

3[2026 江苏泰州期中,中]观察下列代数式的规律,回答问题:
$-3x,6x^2,-9x^3,12x^4,-15x^5,···.$
(1)用含$n$($n$为正整数)的式子表示第$n$个代数式.
(2)写出第2024个和第2025个代数式.

(1)由所给代数式可知,代数式的系数依次为$-3,6,-9,12,\dots$,所以第$n$个代数式的系数可表示为$(-1)^n×3n$. 代数式的次数依次为$1,2,3,4,\dots$,所以第$n$个代数式的次数可表示为$n$,所以第$n$个代数式可表示为$(-1)^n×3nx^n$.
(2)由(1)知,第2024个代数式为$6072x^{2024}$,第2025个代数式为$-6075x^{2025}$.

4 新考向跨学科综合 [2026福建厦门期中,中]烷烃是一类由碳(C)、氢(H)元素组成的有机化合物,在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料,也可用于动、植物的养护,通常按碳原子的个数命名,依次为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷(当碳原子数目超过10个时即用汉字数字表示,如十一烷、十二烷…)等.甲烷的化学式为$\ce{CH_{4}}$(表示由1个碳原子和4个氢原子组成),类似的,乙烷的化学式为$\ce{C_{2}H_{6}}$,丙烷的化学式为$\ce{C_{3}H_{8}}$,…,其分子结构模型如图所示,按照此规律,用含n的代数式表示n烷(n＞10,且n为整数)中氢原子的个数为.

由题知,甲烷的化学式为$\ce{CH_{4}}$,乙烷的化学式为$\ce{C_{2}H_{6}}$,丙烷的化学式为$\ce{C_{3}H_{8}}$,$\dots$,所以$n$烷的化学式可表示为$\ce{C_nH_{2n+2}}$,所以$n$烷($n＞10$,且$n$为整数)中氢原子的个数为$2n+2$.故答案为$2n+2$.

5[较难]将正方形ABCD(如图(1))作如下划分，第1次划分:分别连接正方形ABCD对边的中点(如图(2))，得线段HF和EG，它们交于点M，此时图(2)中共有5个正方形;第2次划分:将图(2)左上角正方形AEMH再划分，得图(3)，则图(3)中共有9个正方形.
(1)继续划分下去，第n次划分后图中共有个正方形.
(2)若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有个正方形.
(3)能否将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形?如果能，请算出是第几次划分;如果不能，请说明理由.

(1)因为第1次划分可得5个正方形,第2次划分可得9个正方形,第3次划分可得13个正方形,$\dots$,所以第$n$次划分可得$(4n+1)$个正方形. 故答案为$(4n+1)$.
(2)由(1)得第100次划分后,图中共有$4×100+1=401$(个)正方形. 故答案为401.
(3)不能. 理由: 令$4n+1=2020$,所以$n=504.75$. 因为求出的$n$值不是整数,所以不能将正方形$ABCD$划分成有2020个正方形的图形.