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1. [2025晋中太谷区期末]下列说法正确的是（
A.在圆的面积公式 $ S = π r^2 $ 中，变量是 $ π, r, S $
B.一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，常量是12，变量是t,n
C.以固定的速度 $ v_0 $ 竖直向上抛一个小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动的时间t(单位:s)之间的关系式是 $ h = v_0 t - 4.9 t^2 $，常量是4.9，变量是h,t
D.在汽车的某次加油过程中，加油机的数据显示屏显示金额、油量、单价三个量，这三个量中的常量是单价、油量
B
）A.在圆的面积公式 $ S = π r^2 $ 中，变量是 $ π, r, S $
B.一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，常量是12，变量是t,n
C.以固定的速度 $ v_0 $ 竖直向上抛一个小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动的时间t(单位:s)之间的关系式是 $ h = v_0 t - 4.9 t^2 $，常量是4.9，变量是h,t
D.在汽车的某次加油过程中，加油机的数据显示屏显示金额、油量、单价三个量，这三个量中的常量是单价、油量
答案
在圆的面积公式 $ S = π r^2 $ 中，常量是 $ π $，变量是 $ S,r $，故选项A不正确；以固定的速度 $ v_0 $ 竖直向上抛一个小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动的时间t(单位:s)之间的关系式是 $ h = v_0 t - 4.9 t^2 $，常量是 -4.9(注意:写负的常量时,要保留它的符号) 和 $ v_0 $，变量是 h,t，故选项C不正确；在汽车的加油过程中，常量是单价，变量是金额、油量，故选项D不正确；易知选项B正确。
解析
【分析】
本题考查常量与变量的判断，解题第一步先明确常量、变量的核心定义：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量是常量，数值会随过程发生改变的量是变量。接下来逐一分析每个选项对应的变化过程，先找出所有固定不变的量，再找出变化的量，和选项描述对比判断对错即可。
【解析】
首先明确概念：在一个变化过程中，数值固定不变的量为常量，数值发生变化的量为变量。
选项A：圆的面积公式$S = π r^2$中，$π$是固定的圆周率，属于常量，变量只有$S$和$r$，故A错误。
选项B：蜡烛燃烧过程中，原长12厘米固定不变，是常量；燃烧时间$t$变化时，剩余长度$n$也随之变化，所以$t$、$n$是变量，故B正确。
选项C：关系式$h = v_0 t - 4.9 t^2$中，固定的初速度$v_0$和系数$-4.9$都是常量，变量是$h$和$t$，选项遗漏了常量$v_0$，故C错误。
选项D：加油过程中，单价是固定不变的常量，油量不断增加，金额随油量增加而升高，所以油量和金额都是变量，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】B
【知识点】
常量与变量的识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点在于容易遗漏变化过程中固定的已知量（如选项C中的初速度$v_0$），或是误将固定的系数、初始值当成变量，解题时需要结合具体情境完整梳理所有量的变化情况。
【难度系数】
0.7
本题考查常量与变量的判断，解题第一步先明确常量、变量的核心定义：在一个变化过程中，数值始终保持不变的量是常量，数值会随过程发生改变的量是变量。接下来逐一分析每个选项对应的变化过程，先找出所有固定不变的量，再找出变化的量，和选项描述对比判断对错即可。
【解析】
首先明确概念：在一个变化过程中，数值固定不变的量为常量，数值发生变化的量为变量。
选项A：圆的面积公式$S = π r^2$中，$π$是固定的圆周率，属于常量，变量只有$S$和$r$，故A错误。
选项B：蜡烛燃烧过程中，原长12厘米固定不变，是常量；燃烧时间$t$变化时，剩余长度$n$也随之变化，所以$t$、$n$是变量，故B正确。
选项C：关系式$h = v_0 t - 4.9 t^2$中，固定的初速度$v_0$和系数$-4.9$都是常量，变量是$h$和$t$，选项遗漏了常量$v_0$，故C错误。
选项D：加油过程中，单价是固定不变的常量，油量不断增加，金额随油量增加而升高，所以油量和金额都是变量，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】B
【知识点】
常量与变量的识别
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点在于容易遗漏变化过程中固定的已知量（如选项C中的初速度$v_0$），或是误将固定的系数、初始值当成变量，解题时需要结合具体情境完整梳理所有量的变化情况。
【难度系数】
0.7
2. [2026合肥庐阳区期中]已知函数$y=\begin{cases}x+2&(x≤2),\\2x&(x＞2),\end{cases}$
则当函数值$y=3$时，自变量$x$的值是（
A.1或1.5
B.1
C.1.5或-1
D.1.5
则当函数值$y=3$时，自变量$x$的值是（
B
）A.1或1.5
B.1
C.1.5或-1
D.1.5
答案
当 $ y = 3 $ 时，若 $ x ≤ 2 $，则 $ x + 2 = 3 $，解得 $ x = 1 $，符合题意；若 $ x ＞ 2 $，则 $ 2x = 3 $，解得 $ x = 1.5 $，不符合题意，舍去。所以当函数值 $ y = 3 $ 时，自变量 $ x $ 的值是 1。
避坑指南
一个自变量的值只对应一个函数值，但一个函数值可以对应多个自变量的值，而且对于求得的自变量的值还要验证这些值是否符合该函数自变量的取值范围。
避坑指南
一个自变量的值只对应一个函数值，但一个函数值可以对应多个自变量的值，而且对于求得的自变量的值还要验证这些值是否符合该函数自变量的取值范围。
解析
【分析】
这是分段函数已知函数值求自变量的问题，解题时需根据分段函数的不同自变量取值范围分情况讨论：首先将y=3分别代入对应范围的函数解析式，解出x的值，再检验解出的x是否符合对应解析式的自变量取值范围，符合的为有效解，不符合的要舍去，最终得到正确结果。
【解析】
根据分段函数的定义，分两种情况求解：
1. 当$x ≤ 2$时，对应函数解析式为$y=x+2$，令$y=3$，列方程得：
$x+2=3$，解得$x=1$，$1 ≤ 2$，符合该段自变量取值范围，保留；
2. 当$x ＞ 2$时，对应函数解析式为$y=2x$，令$y=3$，列方程得：
$2x=3$，解得$x=1.5$，$1.5 ＜ 2$，不满足该段$x＞2$的取值要求，舍去。
综上，自变量x的值为1。
【答案】
B
【知识点】
分段函数求值，解一元一次方程，自变量取值范围验证
【点评】
本题是分段函数的基础应用题型，易错点是求解后忽略验证解是否符合对应段的自变量取值范围，导致多选错误解，解题时要牢记分段讨论、结果验证的步骤。
【难度系数】
0.6
这是分段函数已知函数值求自变量的问题，解题时需根据分段函数的不同自变量取值范围分情况讨论：首先将y=3分别代入对应范围的函数解析式，解出x的值，再检验解出的x是否符合对应解析式的自变量取值范围，符合的为有效解，不符合的要舍去，最终得到正确结果。
【解析】
根据分段函数的定义，分两种情况求解：
1. 当$x ≤ 2$时，对应函数解析式为$y=x+2$，令$y=3$，列方程得：
$x+2=3$，解得$x=1$，$1 ≤ 2$，符合该段自变量取值范围，保留；
2. 当$x ＞ 2$时，对应函数解析式为$y=2x$，令$y=3$，列方程得：
$2x=3$，解得$x=1.5$，$1.5 ＜ 2$，不满足该段$x＞2$的取值要求，舍去。
综上，自变量x的值为1。
【答案】
B
【知识点】
分段函数求值，解一元一次方程，自变量取值范围验证
【点评】
本题是分段函数的基础应用题型，易错点是求解后忽略验证解是否符合对应段的自变量取值范围，导致多选错误解，解题时要牢记分段讨论、结果验证的步骤。
【难度系数】
0.6
3. [2025保定莲池区期末]点$P(x,y)$在第一象限内，且满足$x+y=6$，点$A$的坐标为$(4,0)$。设三角形$OPA$的面积为$S$，则下列图象中能正确表示面积$S$与$x$之间的函数关系的是（
C
）答案
因为点 $ P(x,y) $ 在第一象限内，且满足 $ x + y = 6 $，所以 $ y = 6 - x $，$ 0 ＜ x ＜ 6,0 ＜ y ＜ 6 $(易忽略)。因为点 $ A $ 的坐标为 $ (4,0) $，所以 $ S = \frac{1}{2} × 4 × (6 - x) = -2x + 12(0 ＜ x ＜ 6) $，结合选项知 C 正确。
解析
【分析】
解题时首先要推导S与x的函数关系式，再结合自变量的取值范围判断对应图象：第一步，根据点P在第一象限且满足x+y=6，将y用含x的式子表示，同时确定x的取值范围；第二步，明确△OPA的底为OA的长度，高为点P的纵坐标，代入三角形面积公式即可得到S关于x的函数表达式；第三步，结合函数类型和端点是否可取（x能否取0和6），匹配选项中的正确图象。
【解析】
解：
∵点$P(x,y)$在第一象限内，且$x+y=6$，
∴$y=6-x$，且$x＞0$，$y=6-x＞0$，即$0＜x＜6$。
∵点$A$的坐标为$(4,0)$，
∴$OA=4$，$△ OPA$的高为点$P$的纵坐标$y$，
根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}×OA×y=\frac{1}{2}×4×(6-x)=-2x+12$，其中$0＜x＜6$。
由此可知S是x的一次函数：
当$x=0$时，$S=12$，因x不能取0，故点$(0,12)$为空心点；
当$x=6$时，$S=0$，因x不能取6，故点$(6,0)$为空心点，符合要求的图象为选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象；三角形面积计算；自变量取值范围
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查一次函数图象的应用，解题关键是正确推导函数解析式，尤其要注意点P在第一象限的限制条件，准确判断自变量的取值范围，明确图象端点的虚实，避免忽略限制条件误选。
【难度系数】
0.7
解题时首先要推导S与x的函数关系式，再结合自变量的取值范围判断对应图象：第一步，根据点P在第一象限且满足x+y=6，将y用含x的式子表示，同时确定x的取值范围；第二步，明确△OPA的底为OA的长度，高为点P的纵坐标，代入三角形面积公式即可得到S关于x的函数表达式；第三步，结合函数类型和端点是否可取（x能否取0和6），匹配选项中的正确图象。
【解析】
解：
∵点$P(x,y)$在第一象限内，且$x+y=6$，
∴$y=6-x$，且$x＞0$，$y=6-x＞0$，即$0＜x＜6$。
∵点$A$的坐标为$(4,0)$，
∴$OA=4$，$△ OPA$的高为点$P$的纵坐标$y$，
根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}×OA×y=\frac{1}{2}×4×(6-x)=-2x+12$，其中$0＜x＜6$。
由此可知S是x的一次函数：
当$x=0$时，$S=12$，因x不能取0，故点$(0,12)$为空心点；
当$x=6$时，$S=0$，因x不能取6，故点$(6,0)$为空心点，符合要求的图象为选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象；三角形面积计算；自变量取值范围
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查一次函数图象的应用，解题关键是正确推导函数解析式，尤其要注意点P在第一象限的限制条件，准确判断自变量的取值范围，明确图象端点的虚实，避免忽略限制条件误选。
【难度系数】
0.7
4. [2026合肥期中]已知一次函数$y=kx+3$，当$-3≤ x≤4$时，$y$的最大值是$\frac{9}{2}$，求$y$的最小值.
答案
解:当 $ k ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
因为当 $ -3 ≤ x ≤ 4 $ 时，$ y $ 的最大值是 $ \frac{9}{2} $，
即 $ x = 4 $ 时，$ y $ 的最大值是 $ \frac{9}{2} $，所以 $ 4k + 3 = \frac{9}{2} $，解得 $ k = \frac{3}{8} $，
所以当 $ x = -3 $ 时，一次函数 $ y = \frac{3}{8}x + 3 $ 有最小值，最小值为
$ y = \frac{3}{8} × (-3) + 3 = \frac{15}{8} $。
当 $ k ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
因为当 $ -3 ≤ x ≤ 4 $ 时，$ y $ 的最大值是 $ \frac{9}{2} $，
即 $ x = -3 $ 时，$ y $ 的最大值是 $ \frac{9}{2} $，所以 $ -3k + 3 = \frac{9}{2} $，解得 $ k = -\frac{1}{2} $，
所以当 $ x = 4 $ 时，一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x + 3 $ 有最小值，最小值为
$ y = -\frac{1}{2} × 4 + 3 = 1 $。
综上，$ y $ 的最小值是 $ \frac{15}{8} $ 或 1。
避坑指南
题中没有说明 $ k $ 的符号，所以需要分类讨论函数的增减性。
因为当 $ -3 ≤ x ≤ 4 $ 时，$ y $ 的最大值是 $ \frac{9}{2} $，
即 $ x = 4 $ 时，$ y $ 的最大值是 $ \frac{9}{2} $，所以 $ 4k + 3 = \frac{9}{2} $，解得 $ k = \frac{3}{8} $，
所以当 $ x = -3 $ 时，一次函数 $ y = \frac{3}{8}x + 3 $ 有最小值，最小值为
$ y = \frac{3}{8} × (-3) + 3 = \frac{15}{8} $。
当 $ k ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
因为当 $ -3 ≤ x ≤ 4 $ 时，$ y $ 的最大值是 $ \frac{9}{2} $，
即 $ x = -3 $ 时，$ y $ 的最大值是 $ \frac{9}{2} $，所以 $ -3k + 3 = \frac{9}{2} $，解得 $ k = -\frac{1}{2} $，
所以当 $ x = 4 $ 时，一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x + 3 $ 有最小值，最小值为
$ y = -\frac{1}{2} × 4 + 3 = 1 $。
综上，$ y $ 的最小值是 $ \frac{15}{8} $ 或 1。
避坑指南
题中没有说明 $ k $ 的符号，所以需要分类讨论函数的增减性。
解析
【分析】
一次函数的增减性由系数k的符号决定，且在自变量的闭区间范围内，函数的最值一定在区间端点处取得。题目未明确k的正负，因此需要分k＞0和k＜0两种情况讨论：首先根据每种情况下的增减性，确定y取最大值时对应的x值，代入解析式求出k的值，再根据增减性确定y取最小值时对应的x值，代入求出最小值即可；k=0时函数为常函数y=3，不符合最大值为$\frac{9}{2}$的条件，无需讨论。
【解析】
解：①当$ k ＞ 0 $时，$ y $随$ x $的增大而增大，
∵当$ -3 ≤ x ≤ 4 $时，$ y $的最大值是$ \frac{9}{2} $，
∴当$ x = 4 $时，$ y $取得最大值$ \frac{9}{2} $，代入解析式得：$ 4k + 3 = \frac{9}{2} $，
解得 $ k = \frac{3}{8} $，
此时函数解析式为$ y = \frac{3}{8}x + 3 $，当$ x = -3 $时，$ y $取得最小值，
最小值为$ y = \frac{3}{8} × (-3) + 3 = \frac{15}{8} $。
②当$ k ＜ 0 $时，$ y $随$ x $的增大而减小，
∵当$ -3 ≤ x ≤ 4 $时，$ y $的最大值是$ \frac{9}{2} $，
∴当$ x = -3 $时，$ y $取得最大值$ \frac{9}{2} $，代入解析式得：$ -3k + 3 = \frac{9}{2} $，
解得 $ k = -\frac{1}{2} $，
此时函数解析式为$ y = -\frac{1}{2}x + 3 $，当$ x = 4 $时，$ y $取得最小值，
最小值为$ y = -\frac{1}{2} × 4 + 3 = 1 $。
综上，$ y $的最小值为$ \frac{15}{8} $或$ 1 $。
【答案】
$\frac{15}{8}$或$1$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数最值计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略k的符号未分类讨论，直接默认k为正数导致漏解。解题时要明确一次函数中k的正负直接决定函数的增减性，遇到未给出k取值范围的一次函数最值问题，要结合自变量的取值范围，分情况确定最值对应的自变量取值后再计算。
【难度系数】
0.6
一次函数的增减性由系数k的符号决定，且在自变量的闭区间范围内，函数的最值一定在区间端点处取得。题目未明确k的正负，因此需要分k＞0和k＜0两种情况讨论：首先根据每种情况下的增减性，确定y取最大值时对应的x值，代入解析式求出k的值，再根据增减性确定y取最小值时对应的x值，代入求出最小值即可；k=0时函数为常函数y=3，不符合最大值为$\frac{9}{2}$的条件，无需讨论。
【解析】
解：①当$ k ＞ 0 $时，$ y $随$ x $的增大而增大，
∵当$ -3 ≤ x ≤ 4 $时，$ y $的最大值是$ \frac{9}{2} $，
∴当$ x = 4 $时，$ y $取得最大值$ \frac{9}{2} $，代入解析式得：$ 4k + 3 = \frac{9}{2} $，
解得 $ k = \frac{3}{8} $，
此时函数解析式为$ y = \frac{3}{8}x + 3 $，当$ x = -3 $时，$ y $取得最小值，
最小值为$ y = \frac{3}{8} × (-3) + 3 = \frac{15}{8} $。
②当$ k ＜ 0 $时，$ y $随$ x $的增大而减小，
∵当$ -3 ≤ x ≤ 4 $时，$ y $的最大值是$ \frac{9}{2} $，
∴当$ x = -3 $时，$ y $取得最大值$ \frac{9}{2} $，代入解析式得：$ -3k + 3 = \frac{9}{2} $，
解得 $ k = -\frac{1}{2} $，
此时函数解析式为$ y = -\frac{1}{2}x + 3 $，当$ x = 4 $时，$ y $取得最小值，
最小值为$ y = -\frac{1}{2} × 4 + 3 = 1 $。
综上，$ y $的最小值为$ \frac{15}{8} $或$ 1 $。
【答案】
$\frac{15}{8}$或$1$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数最值计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略k的符号未分类讨论，直接默认k为正数导致漏解。解题时要明确一次函数中k的正负直接决定函数的增减性，遇到未给出k取值范围的一次函数最值问题，要结合自变量的取值范围，分情况确定最值对应的自变量取值后再计算。
【难度系数】
0.6
5. [2026蚌埠蚌山区期中]如图，八个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的表达式为（
A.$y=\frac{5}{8}x+\frac{1}{2}$
B.$y=\frac{7}{8}x+\frac{1}{2}$
C.$y=\frac{7}{6}x+\frac{1}{2}$
D.$y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$
A
）A.$y=\frac{5}{8}x+\frac{1}{2}$
B.$y=\frac{7}{8}x+\frac{1}{2}$
C.$y=\frac{7}{6}x+\frac{1}{2}$
D.$y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$
答案
解题思路:过点 $ P $ 作 $ PB ⊥ y $ 轴于点 $ B $，$ PC ⊥ x $ 轴于点 $ C $，易知 $ OB = 3 $，利用三角形的面积公式和已知条件求出点 $ A $ 的坐标，再根据待定系数法即可得到该直线 $ l $ 的表达式。
如图，过点 $ P $ 作 $ PB ⊥ y $ 轴于点 $ B $，$ PC ⊥ x $ 轴于点 $ C $。因为正方形的边长为 1，所以 $ OB = 3 $，$ BP = 4 $。因为直线 $ l $ 将这八个正方形分成面积相等的两部分，所以三角形 $ ABP $ 的面积是 $ \frac{1}{2} × 8 + 1 = 5 $，所以 $ \frac{1}{2}BP · AB = 5 $，所以 $ AB = \frac{5}{2} $，所以 $ OA = OB - AB = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} $，由此可知直线 $ l $ 经过点 $ A(0,\frac{1}{2}) $ 和点 $ P(4,3) $。设直线 $ l $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $，可得 $ \begin{cases} b = \frac{1}{2}, \\ 4k + b = 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = \frac{5}{8}, \\ b = \frac{1}{2}, \end{cases} $ 所以直线 $ l $ 的表达式为 $ y = \frac{5}{8}x + \frac{1}{2} $。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确直线l将8个边长为1的正方形分成面积相等的两部分，因此每部分面积为4。第一步先确定点P的坐标，结合网格可知P的横坐标为4、纵坐标为3；第二步通过面积关系求出直线l与y轴的交点A的坐标：过P作PB垂直y轴，可知△ABP的面积为4加上网格外左下角的1个单位面积，即面积为5，利用三角形面积公式算出AB的长度，进而得到A点坐标；最后用待定系数法将A、P两点坐标代入一次函数解析式，求解得到k和b的值即可得到直线表达式。
【解析】
过点 $ P $ 作 $ PB ⊥ y $ 轴于点 $ B $，$ PC ⊥ x $ 轴于点 $ C $。
∵正方形的边长为1，
∴$ OB = 3 $，$ BP = 4 $，即点$ P $的坐标为$(4,3)$。
∵直线 $ l $ 将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴每部分面积为$ 8÷2=4 $，结合图形可得$ S_{△ ABP}=4 + 1=5 $。
根据三角形面积公式：$ S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × BP × AB $，
代入数值得：$ \frac{1}{2} × 4 × AB =5 $，解得$ AB=\frac{5}{2} $。
∴$ OA = OB - AB = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} $，即直线$ l $与y轴交点$ A $的坐标为$(0,\frac{1}{2})$。
设直线 $ l $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $，将$ A(0,\frac{1}{2}) $、$ P(4,3) $代入得：
$\begin{cases} b = \frac{1}{2}, \\ 4k + b = 3, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k = \frac{5}{8}, \\ b = \frac{1}{2}, \end{cases}$
因此直线$ l $的表达式为$ y=\frac{5}{8}x+\frac{1}{2} $。
【答案】
A.$y=\frac{5}{8}x+\frac{1}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式；三角形面积计算；一次函数应用
【点评】
本题将网格图形与一次函数结合，解题的核心是利用面积平分的条件求出直线与y轴的交点坐标，既考查了学生的图形分析能力，也巩固了待定系数法求一次函数解析式的基础方法。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确直线l将8个边长为1的正方形分成面积相等的两部分，因此每部分面积为4。第一步先确定点P的坐标，结合网格可知P的横坐标为4、纵坐标为3；第二步通过面积关系求出直线l与y轴的交点A的坐标：过P作PB垂直y轴，可知△ABP的面积为4加上网格外左下角的1个单位面积，即面积为5，利用三角形面积公式算出AB的长度，进而得到A点坐标；最后用待定系数法将A、P两点坐标代入一次函数解析式，求解得到k和b的值即可得到直线表达式。
【解析】
过点 $ P $ 作 $ PB ⊥ y $ 轴于点 $ B $，$ PC ⊥ x $ 轴于点 $ C $。
∵正方形的边长为1，
∴$ OB = 3 $，$ BP = 4 $，即点$ P $的坐标为$(4,3)$。
∵直线 $ l $ 将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴每部分面积为$ 8÷2=4 $，结合图形可得$ S_{△ ABP}=4 + 1=5 $。
根据三角形面积公式：$ S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × BP × AB $，
代入数值得：$ \frac{1}{2} × 4 × AB =5 $，解得$ AB=\frac{5}{2} $。
∴$ OA = OB - AB = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} $，即直线$ l $与y轴交点$ A $的坐标为$(0,\frac{1}{2})$。
设直线 $ l $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $，将$ A(0,\frac{1}{2}) $、$ P(4,3) $代入得：
$\begin{cases} b = \frac{1}{2}, \\ 4k + b = 3, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k = \frac{5}{8}, \\ b = \frac{1}{2}, \end{cases}$
因此直线$ l $的表达式为$ y=\frac{5}{8}x+\frac{1}{2} $。
【答案】
A.$y=\frac{5}{8}x+\frac{1}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式；三角形面积计算；一次函数应用
【点评】
本题将网格图形与一次函数结合，解题的核心是利用面积平分的条件求出直线与y轴的交点坐标，既考查了学生的图形分析能力，也巩固了待定系数法求一次函数解析式的基础方法。
【难度系数】
0.6
6. [2026合肥庐阳区期中]已知过点$(6,3)$的直线$y=mx+n(m≠0)$不经过第四象限.设$S=m+2n$,则（
A.$S$有最大值,最大值为$6$
B.$S$有最小值,最小值为$6$
C.$S$有最大值,最大值为$\frac{1}{2}$
D.$S$有最小值,最小值为$\frac{1}{2}$
D
）A.$S$有最大值,最大值为$6$
B.$S$有最小值,最小值为$6$
C.$S$有最大值,最大值为$\frac{1}{2}$
D.$S$有最小值,最小值为$\frac{1}{2}$
答案
解题思路:根据直线 $ y = mx + n(m≠0) $ 不经过第四象限，得出 $ m,n $ 的取值范围，由 $ 6m + n = 3 $，得 $ m = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2} $，再用含 $ n $ 的式子表示 $ S $，得 $ S = \frac{11}{6}n + \frac{1}{2} $，最后根据一次函数的增减性即可得解。
因为直线 $ y = mx + n(m≠0) $ 不经过第四象限，所以 $ m ＞ 0,n ≥ 0 $(直线经过第一，三象限，且与 $ y $ 轴的交点在原点处或原点上方)。因为点 $ (6,3) $ 在直线 $ y = mx + n(m≠0) $ 上，所以 $ 6m + n = 3 $，所以 $ m = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2} $，所以 $ S = m + 2n = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2} + 2n = \frac{11}{6}n + \frac{1}{2} $。因为 $ \frac{11}{6} ＞ 0 $，所以 $ S $ 随 $ n $ 的增大而增大，所以当 $ n = 0 $ 时，$ S $ 有最小值，为 $ \frac{1}{2} $。
因为直线 $ y = mx + n(m≠0) $ 不经过第四象限，所以 $ m ＞ 0,n ≥ 0 $(直线经过第一，三象限，且与 $ y $ 轴的交点在原点处或原点上方)。因为点 $ (6,3) $ 在直线 $ y = mx + n(m≠0) $ 上，所以 $ 6m + n = 3 $，所以 $ m = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2} $，所以 $ S = m + 2n = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2} + 2n = \frac{11}{6}n + \frac{1}{2} $。因为 $ \frac{11}{6} ＞ 0 $，所以 $ S $ 随 $ n $ 的增大而增大，所以当 $ n = 0 $ 时，$ S $ 有最小值，为 $ \frac{1}{2} $。
解析
【分析】
解题时先从题干给出的直线不经过第四象限的条件入手，结合一次函数的图像性质，确定参数m、n的取值范围；再利用直线过点(6,3)，将点代入直线解析式得到m和n的等量关系，把S中的m替换为含n的式子，将S转化为关于n的一次函数；最后根据一次函数的增减性和n的取值范围，即可求出S的最值情况。
【解析】
解：
∵直线$y=mx+n(m≠0)$不经过第四象限，
∴$m＞0$，$n≥0$。
∵点$(6,3)$在直线$y=mx+n$上，
∴将$x=6$，$y=3$代入解析式得：$6m + n = 3$，
变形得：$m = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2}$。
将$m = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2}$代入$S=m+2n$得：
$S = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2} + 2n = \frac{11}{6}n + \frac{1}{2}$。
∵$\frac{11}{6}＞0$，
∴S随n的增大而增大，
∴当n取最小值0时，S取得最小值，最小值为$\frac{11}{6}×0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，即S有最小值$\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数的最值，点与函数解析式的关系
【点评】
本题将一次函数的图象性质与参数最值求解结合，解题的核心是先确定参数的取值范围，再通过消元将双变量问题转化为单变量的一次函数问题，利用增减性求最值，侧重对基础性质的灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时先从题干给出的直线不经过第四象限的条件入手，结合一次函数的图像性质，确定参数m、n的取值范围；再利用直线过点(6,3)，将点代入直线解析式得到m和n的等量关系，把S中的m替换为含n的式子，将S转化为关于n的一次函数；最后根据一次函数的增减性和n的取值范围，即可求出S的最值情况。
【解析】
解：
∵直线$y=mx+n(m≠0)$不经过第四象限，
∴$m＞0$，$n≥0$。
∵点$(6,3)$在直线$y=mx+n$上，
∴将$x=6$，$y=3$代入解析式得：$6m + n = 3$，
变形得：$m = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2}$。
将$m = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2}$代入$S=m+2n$得：
$S = -\frac{1}{6}n + \frac{1}{2} + 2n = \frac{11}{6}n + \frac{1}{2}$。
∵$\frac{11}{6}＞0$，
∴S随n的增大而增大，
∴当n取最小值0时，S取得最小值，最小值为$\frac{11}{6}×0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，即S有最小值$\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数的最值，点与函数解析式的关系
【点评】
本题将一次函数的图象性质与参数最值求解结合，解题的核心是先确定参数的取值范围，再通过消元将双变量问题转化为单变量的一次函数问题，利用增减性求最值，侧重对基础性质的灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
7. [2026合肥瑶海区期中]对每个x的值，y是函数$y_1=2x,y_2=x+2,y_3=-x$中的最大值，则当x变化时，函数y的最小值为（
A.1
B.4
C.8
D.$\frac{48}{7}$
A
）A.1
B.4
C.8
D.$\frac{48}{7}$
答案
函数 $ y_1 = 2x,y_2 = x + 2,y_3 = -x $ 的图象如图所示。因为对每个 $ x $ 的值，$ y $ 是函数 $ y_1 = 2x,y_2 = x + 2,y_3 = -x $ 中的最大值，所以结合图象可知，图中加粗部分即 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系图象，可知此函数图象的最低点为直线 $ y_2 = x + 2 $ 与 $ y_3 = -x $ 的交点 $ (-1,1) $，故函数 $ y $ 的最小值为 1。
解析
【分析】
要解这道题，首先明确题意：对每个x，y是三个函数的最大值，其几何意义是同一x取值下，取三个函数图象中位置最高的点对应的函数值。解题按以下步骤展开：第一步先求三个一次函数两两的交点，交点是函数值大小关系发生变化的分界点；第二步以交点为界划分x的取值区间，判断每个区间内哪个函数值最大，得到y对应的函数关系；第三步结合一次函数增减性分析各段的最小值，最终得到整个函数y的最小值。
【解析】
首先求解三个一次函数两两的交点：
1. 联立$y_2=x+2$与$y_3=-x$，得方程$x+2=-x$，解得$x=-1$，代入得$y=1$，即交点为$(-1,1)$；
2. 联立$y_1=2x$与$y_2=x+2$，得方程$2x=x+2$，解得$x=2$，代入得$y=4$，即交点为$(2,4)$。
结合题意和图象分区间分析y的取值：
当$x＜-1$时，三个函数中$y_3=-x$的值最大，此时$y=-x$，y随x的减小而增大，故$y＞1$；
当$-1≤ x≤2$时，三个函数中$y_2=x+2$的值最大，此时$y=x+2$，y随x的增大而增大，最小值在$x=-1$处取得，为$1$；
当$x＞2$时，三个函数中$y_1=2x$的值最大，此时$y=2x$，y随x的增大而增大，故$y＞4$。
综上可得函数y的最小值为1。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数交点求解；函数最值分析
【点评】
本题结合数形结合思想考查一次函数的综合应用，解题核心是将“取三个函数最大值”的条件转化为取图象上最高段的函数，通过求交点划分区间分析即可快速得到结果，是一次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
要解这道题，首先明确题意：对每个x，y是三个函数的最大值，其几何意义是同一x取值下，取三个函数图象中位置最高的点对应的函数值。解题按以下步骤展开：第一步先求三个一次函数两两的交点，交点是函数值大小关系发生变化的分界点；第二步以交点为界划分x的取值区间，判断每个区间内哪个函数值最大，得到y对应的函数关系；第三步结合一次函数增减性分析各段的最小值，最终得到整个函数y的最小值。
【解析】
首先求解三个一次函数两两的交点：
1. 联立$y_2=x+2$与$y_3=-x$，得方程$x+2=-x$，解得$x=-1$，代入得$y=1$，即交点为$(-1,1)$；
2. 联立$y_1=2x$与$y_2=x+2$，得方程$2x=x+2$，解得$x=2$，代入得$y=4$，即交点为$(2,4)$。
结合题意和图象分区间分析y的取值：
当$x＜-1$时，三个函数中$y_3=-x$的值最大，此时$y=-x$，y随x的减小而增大，故$y＞1$；
当$-1≤ x≤2$时，三个函数中$y_2=x+2$的值最大，此时$y=x+2$，y随x的增大而增大，最小值在$x=-1$处取得，为$1$；
当$x＞2$时，三个函数中$y_1=2x$的值最大，此时$y=2x$，y随x的增大而增大，故$y＞4$。
综上可得函数y的最小值为1。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数交点求解；函数最值分析
【点评】
本题结合数形结合思想考查一次函数的综合应用，解题核心是将“取三个函数最大值”的条件转化为取图象上最高段的函数，通过求交点划分区间分析即可快速得到结果，是一次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
8. [2025合肥庐阳区期末]新定义:对于两个实数$a$,$b$,我们用$\max\{a,b\}$表示这两个数中较大的数,即$\max\{a,b\} = \begin{cases} a(a≥ b), \\ b(a＜b). \end{cases}$对于函数$y = \max\{2x -1, -x +2\}$,解答下列问题.
(1)当$x=1$时,$y=$
(2)若过定点的直线$y=kx+3k-1$与函数$y = \max\{2x -1, -x +2\}$的图象有两个交点,则$k$的取值范围是
(1)当$x=1$时,$y=$
1
.(2)若过定点的直线$y=kx+3k-1$与函数$y = \max\{2x -1, -x +2\}$的图象有两个交点,则$k$的取值范围是
$\frac{1}{2}＜k＜2$
.答案
(1)1；(2)$\frac{1}{2}＜k＜2$
(2)由题意可知，当 $ x ＜ 1 $ 时，$ y = \max\{2x - 1, -x + 2\} = -x + 2 $，当 $ x ≥ 1 $ 时，$ y = \max\{2x - 1, -x + 2\} = 2x - 1 $，其图象如图所示。直线 $ y = kx + 3k - 1 = k(x + 3) - 1 $，经过定点 $ (-3,-1) $。当直线 $ y = kx + 3k - 1 $ 经过点 $ (1,1) $ 时，可得 $ k = \frac{1}{2} $；当 $ y = kx + 3k - 1 $ 与直线 $ y = 2x - 1 $ 平行时，可得 $ k = 2 $。结合图象可知，当 $ \frac{1}{2} ＜ k ＜ 2 $ 时，直线 $ y = kx + 3k - 1 $ 与函数 $ y = \max\{2x - 1, -x + 2\} $ 的图象有两个交点。
解析
【分析】
(1) 先求解一次函数$y=2x-1$和$y=-x+2$的交点，确定$\max$函数的分段规则，将$x=1$代入两个函数求值，取较大值即可得到结果；
(2) 先将直线$y=kx+3k-1$整理为点斜式，确定其经过的定点，再找到两个临界情况：①直线经过分段函数的拐点$(1,1)$时的$k$值；②直线与分段函数中$y=2x-1$段平行时的$k$值，结合图象分析两个临界之间的$k$范围即为所求。
【解析】
首先求两个一次函数的交点：令$2x-1=-x+2$，解得$x=1$，代入得$y=1$，因此分段函数$y=\max\{2x-1,-x+2\}$的解析式为：
当$x＜1$时，$-x+2＞2x-1$，故$y=-x+2$；
当$x≥1$时，$2x-1≥ -x+2$，故$y=2x-1$。
(1) 当$x=1$时，$2x-1=2×1-1=1$，$-x+2=-1+2=1$，所以$\max\{1,1\}=1$，即$y=1$。
(2) 将直线$y=kx+3k-1$变形为$y=k(x+3)-1$，可知当$x=-3$时，$y=-1$恒成立，因此直线过定点$(-3,-1)$。
① 当直线经过分段函数的拐点$(1,1)$时，将$(1,1)$代入直线方程得：$1=k×1+3k-1$，解得$4k=2$，$k=\frac{1}{2}$，此时直线与分段函数仅交于$(1,1)$一个交点；
② 当直线与$y=2x-1$平行时，两直线斜率相等，故$k=2$，此时直线与$y=2x-1$无交点，仅与$y=-x+2$有一个交点。
结合图象可知，当$\frac{1}{2}＜k＜2$时，直线与$y=-x+2$（$x＜1$段）、$y=2x-1$（$x≥1$段）各有一个交点，共两个交点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}＜k＜2}$
【知识点】
新定义运算，一次函数的性质，一次函数交点问题
【点评】
本题结合新定义考查一次函数的综合应用，解题的核心是先明确分段函数的分段区间与解析式，再抓住动直线过定点的特征，通过分析临界情况结合图象确定参数范围，有效考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 先求解一次函数$y=2x-1$和$y=-x+2$的交点，确定$\max$函数的分段规则，将$x=1$代入两个函数求值，取较大值即可得到结果；
(2) 先将直线$y=kx+3k-1$整理为点斜式，确定其经过的定点，再找到两个临界情况：①直线经过分段函数的拐点$(1,1)$时的$k$值；②直线与分段函数中$y=2x-1$段平行时的$k$值，结合图象分析两个临界之间的$k$范围即为所求。
【解析】
首先求两个一次函数的交点：令$2x-1=-x+2$，解得$x=1$，代入得$y=1$，因此分段函数$y=\max\{2x-1,-x+2\}$的解析式为：
当$x＜1$时，$-x+2＞2x-1$，故$y=-x+2$；
当$x≥1$时，$2x-1≥ -x+2$，故$y=2x-1$。
(1) 当$x=1$时，$2x-1=2×1-1=1$，$-x+2=-1+2=1$，所以$\max\{1,1\}=1$，即$y=1$。
(2) 将直线$y=kx+3k-1$变形为$y=k(x+3)-1$，可知当$x=-3$时，$y=-1$恒成立，因此直线过定点$(-3,-1)$。
① 当直线经过分段函数的拐点$(1,1)$时，将$(1,1)$代入直线方程得：$1=k×1+3k-1$，解得$4k=2$，$k=\frac{1}{2}$，此时直线与分段函数仅交于$(1,1)$一个交点；
② 当直线与$y=2x-1$平行时，两直线斜率相等，故$k=2$，此时直线与$y=2x-1$无交点，仅与$y=-x+2$有一个交点。
结合图象可知，当$\frac{1}{2}＜k＜2$时，直线与$y=-x+2$（$x＜1$段）、$y=2x-1$（$x≥1$段）各有一个交点，共两个交点。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}＜k＜2}$
【知识点】
新定义运算，一次函数的性质，一次函数交点问题
【点评】
本题结合新定义考查一次函数的综合应用，解题的核心是先明确分段函数的分段区间与解析式，再抓住动直线过定点的特征，通过分析临界情况结合图象确定参数范围，有效考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
