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5. 》新趋势·数学文化 《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间. 某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：
【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点.
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，说明理由.
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：
【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点.
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，说明理由.
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8:00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
答案
解:【探索发现】①如图,描点如下:
②观察上述各点的分布规律,可得它们在同一条直线上.设这条直线所对应的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$,将(0,6),(2,18)分别代入$y = kx + b$,得$\begin{cases} b = 6, \\ 2k + b = 18, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 6, \\ b = 6, \end{cases}$所以$y = 6x + 6$.
经验证$y = 6x + 6$符合题意.
【结论应用】
①当x = 12时,$y = 6×12 + 6 = 78$.
所以供水时间达到12小时时,箭尺的读数为78厘米.
②当y = 90时,$6x + 6 = 90$,解得x = 14,因为供水时间为14小时,本次实验记录的开始时间是上午8:00,所以当箭尺读数为90厘米时是22:00.
解析
【分析】
解题时首先处理探索发现部分：第一步，根据实验数据对应坐标在坐标系中完成描点；第二步，观察描出的点的分布特征，发现点均匀排列在同一直线上，符合一次函数的图像特征，因此采用待定系数法求解函数解析式，选取两个点代入一次函数通式$y=kx+b(k≠0)$，解二元一次方程组得到$k$和$b$的值，再验证其余点均满足解析式即可确认表达式正确。接下来处理结论应用：①求12小时的箭尺读数，只需将$x=12$代入已求出的解析式，计算得到对应$y$值即可；②求箭尺读数为90厘米的时刻，先将$y=90$代入解析式求出供水时长$x$，再在实验开始时间上午8:00的基础上累加$x$小时，就能得到对应时刻。
【解析】
【探索发现】
①描点如下：
②观察上述各点的分布规律，可得它们在同一条直线上。设这条直线所对应的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$，将$(0,6)$，$(2,18)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases} b = 6, \\ 2k + b = 18, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 6, \\ b = 6, \end{cases}$所以$y = 6x + 6$。经验证$y = 6x + 6$符合题意。
【结论应用】
①当$x = 12$时，$y = 6×12 + 6 = 78$。
所以供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米。
②当$y = 90$时，$6x + 6 = 90$，解得$x = 14$，因为供水时间为14小时，本次实验记录的开始时间是上午8:00，所以当箭尺读数为90厘米时是22:00。
【答案】
【探索发现】①如图,描点如下:
②观察上述各点的分布规律,可得它们在同一条直线上.设这条直线所对应的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$,将(0,6),(2,18)分别代入$y = kx + b$,得$\begin{cases} b = 6, \\ 2k + b = 18, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 6, \\ b = 6, \end{cases}$所以$y = 6x + 6$.
经验证$y = 6x + 6$符合题意.
【结论应用】
①当x = 12时,$y = 6×12 + 6 = 78$.
所以供水时间达到12小时时,箭尺的读数为78厘米.
②当y = 90时,$6x + 6 = 90$,解得x = 14,因为供水时间为14小时,本次实验记录的开始时间是上午8:00,所以当箭尺读数为90厘米时是22:00.
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
【点评】
本题结合我国古代浮箭漏的数学文化背景，考查一次函数在实际计时问题中的应用，解题核心是熟练运用待定系数法求出函数解析式，再通过代入求值解决对应的实际问题，能有效锻炼数学建模与知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先处理探索发现部分：第一步，根据实验数据对应坐标在坐标系中完成描点；第二步，观察描出的点的分布特征，发现点均匀排列在同一直线上，符合一次函数的图像特征，因此采用待定系数法求解函数解析式，选取两个点代入一次函数通式$y=kx+b(k≠0)$，解二元一次方程组得到$k$和$b$的值，再验证其余点均满足解析式即可确认表达式正确。接下来处理结论应用：①求12小时的箭尺读数，只需将$x=12$代入已求出的解析式，计算得到对应$y$值即可；②求箭尺读数为90厘米的时刻，先将$y=90$代入解析式求出供水时长$x$，再在实验开始时间上午8:00的基础上累加$x$小时，就能得到对应时刻。
【解析】
【探索发现】
①描点如下：
②观察上述各点的分布规律，可得它们在同一条直线上。设这条直线所对应的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$，将$(0,6)$，$(2,18)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases} b = 6, \\ 2k + b = 18, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 6, \\ b = 6, \end{cases}$所以$y = 6x + 6$。经验证$y = 6x + 6$符合题意。
【结论应用】
①当$x = 12$时，$y = 6×12 + 6 = 78$。
所以供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米。
②当$y = 90$时，$6x + 6 = 90$，解得$x = 14$，因为供水时间为14小时，本次实验记录的开始时间是上午8:00，所以当箭尺读数为90厘米时是22:00。
【答案】
【探索发现】①如图,描点如下:
②观察上述各点的分布规律,可得它们在同一条直线上.设这条直线所对应的函数表达式为$y = kx + b(k≠0)$,将(0,6),(2,18)分别代入$y = kx + b$,得$\begin{cases} b = 6, \\ 2k + b = 18, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 6, \\ b = 6, \end{cases}$所以$y = 6x + 6$.
经验证$y = 6x + 6$符合题意.
【结论应用】
①当x = 12时,$y = 6×12 + 6 = 78$.
所以供水时间达到12小时时,箭尺的读数为78厘米.
②当y = 90时,$6x + 6 = 90$,解得x = 14,因为供水时间为14小时,本次实验记录的开始时间是上午8:00,所以当箭尺读数为90厘米时是22:00.
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
【点评】
本题结合我国古代浮箭漏的数学文化背景，考查一次函数在实际计时问题中的应用，解题核心是熟练运用待定系数法求出函数解析式，再通过代入求值解决对应的实际问题，能有效锻炼数学建模与知识应用能力。
【难度系数】
0.7
6. [2025天津中考]已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上,书店离家0.6 km,公园离家1.8 km. 小华从家出发,先匀速步行了6 min到书店,在书店停留了12 min,之后匀速步行了12 min到公园,在公园停留25 min后,再用15 min匀速跑步返回家,下面图中x表示时间,y表示离家的距离. 图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
②填空:小华从公园返回家的速度为
③当$0≤ x≤ 30$时,请直接写出小华离家的距离$y$关于时间$x$的函数解析式.
(2)若小华的妈妈与小华同时从家出发,小华的妈妈以$0.05\ \mathrm{km/min}$的速度散步直接到公园. 在从家到公园的过程中,对于同一个$x$的值,小华离家的距离为$y_1$,小华的妈妈离家的距离为$y_2$,当$y_1 ＜ y_2$时,求$x$的取值范围(直接写出结果即可).
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
②填空:小华从公园返回家的速度为
0.12
km/min.③当$0≤ x≤ 30$时,请直接写出小华离家的距离$y$关于时间$x$的函数解析式.
(2)若小华的妈妈与小华同时从家出发,小华的妈妈以$0.05\ \mathrm{km/min}$的速度散步直接到公园. 在从家到公园的过程中,对于同一个$x$的值,小华离家的距离为$y_1$,小华的妈妈离家的距离为$y_2$,当$y_1 ＜ y_2$时,求$x$的取值范围(直接写出结果即可).
答案
解:(1)①0.1 0.6 1.8 ②0.12
③$y=\begin{cases} 0.1x(0≤ x≤ 6), \\ 0.6(6 ＜ x≤ 18), \\ 0.1x - 1.2(18 ＜ x≤ 30). \end{cases}$
(2)$12 ＜ x ＜ 24$.
解法提示:易得$y_2 = 0.05x(0≤ x≤ 36)$.
令$y_2 = 0.6$,则$0.05x = 0.6$,解得x = 12;
令$y_2 = 0.1x - 1.2$,则$0.05x = 0.1x - 1.2$,解得x = 24,结合函数图象(略)可知,当$y_1 ＜ y_2$时,$12 ＜ x ＜ 24$.
③$y=\begin{cases} 0.1x(0≤ x≤ 6), \\ 0.6(6 ＜ x≤ 18), \\ 0.1x - 1.2(18 ＜ x≤ 30). \end{cases}$
(2)$12 ＜ x ＜ 24$.
解法提示:易得$y_2 = 0.05x(0≤ x≤ 36)$.
令$y_2 = 0.6$,则$0.05x = 0.6$,解得x = 12;
令$y_2 = 0.1x - 1.2$,则$0.05x = 0.1x - 1.2$,解得x = 24,结合函数图象(略)可知,当$y_1 ＜ y_2$时,$12 ＜ x ＜ 24$.
解析
【分析】
本题是结合行程场景的分段一次函数应用问题，解题思路如下：①先梳理小华的运动阶段：0~6min步行去书店，6~18min在书店停留，18~30min步行去公园，30~55min在公园停留，55~70min跑步回家，先算出各阶段的运动速度；②第一问填表根据x所属的运动阶段直接计算对应距离即可，返回速度用公园到家的路程除以返回时间；③写0≤x≤30的函数解析式时，分三个阶段分别求解：匀速阶段用“路程=速度×时间”列解析式，停留阶段距离为定值；④第二问先写出妈妈的离家距离函数，再分阶段比较y₁和y₂的大小，解不等式后合并符合条件的x范围即可。
【解析】
(1)①小华从家到书店的步行速度为：$0.6÷6=0.1\ \mathrm{km/min}$
当$x=1$时，属于0~6min的步行阶段，$y=0.1×1=0.1\ \mathrm{km}$；
当$x=10$时，属于6~18min的书店停留阶段，离家距离不变，$y=0.6\ \mathrm{km}$；
当$x=30$时，刚好到达公园，离家距离为$1.8\ \mathrm{km}$。
②公园到家的距离为$1.8\ \mathrm{km}$，返回用时$15\ \mathrm{min}$，则返回速度为：$1.8÷15=0.12\ \mathrm{km/min}$。
③当$0≤ x≤6$时，小华匀速步行去书店，速度为$0.1\ \mathrm{km/min}$，则$y=0.1x$；
当$6＜x≤18$时，小华在书店停留，离家距离不变，$y=0.6$；
当$18＜x≤30$时，小华从书店步行去公园，速度为$(1.8-0.6)÷12=0.1\ \mathrm{km/min}$，则$y=0.6+0.1(x-18)=0.1x-1.2$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$\begin{cases} 0.1x(0≤ x≤ 6)\\ 0.6(6 ＜ x≤ 18)\\ 0.1x - 1.2(18 ＜ x≤ 30) \end{cases}$。
(2)小华妈妈的速度为$0.05\ \mathrm{km/min}$，则妈妈的离家距离函数为$y_2=0.05x$（$0≤ x≤36$，妈妈到公园总用时$1.8÷0.05=36\ \mathrm{min}$）。
分阶段比较$y_1＜y_2$：
当$0≤ x≤6$时，$y_1=0.1x＞0.05x=y_2$，不符合要求；
当$6＜x≤18$时，令$0.6＜0.05x$，解得$x＞12$，即此时$12＜x≤18$符合要求；
当$18＜x≤30$时，令$0.1x-1.2＜0.05x$，移项得$0.05x＜1.2$，解得$x＜24$，即此时$18＜x＜24$符合要求；
当$x＞30$时，小华在公园停留，$y_1=1.8$，$y_2≤1.8$，均满足$y_1≥ y_2$，不符合要求。
合并可得$x$的取值范围为$12＜x＜24$。
【答案】
(1)①$\boxed{0.1}$；$\boxed{0.6}$；$\boxed{1.8}$ ②$\boxed{0.12}$ ③$\boldsymbol{y=\begin{cases} 0.1x(0≤ x≤ 6)\\ 0.6(6 ＜ x≤ 18)\\ 0.1x - 1.2(18 ＜ x≤ 30) \end{cases}}$
(2)$\boldsymbol{12 ＜ x ＜ 24}$
【知识点】
分段函数应用；一次函数解析式；一次函数与不等式
【点评】
本题结合日常行程场景考查分段一次函数的相关知识，需要准确划分运动阶段，掌握分段函数解析式的求解方法，同时能结合不等式比较两个函数值的大小，对分类讨论思想有一定要求。
【难度系数】
0.65
本题是结合行程场景的分段一次函数应用问题，解题思路如下：①先梳理小华的运动阶段：0~6min步行去书店，6~18min在书店停留，18~30min步行去公园，30~55min在公园停留，55~70min跑步回家，先算出各阶段的运动速度；②第一问填表根据x所属的运动阶段直接计算对应距离即可，返回速度用公园到家的路程除以返回时间；③写0≤x≤30的函数解析式时，分三个阶段分别求解：匀速阶段用“路程=速度×时间”列解析式，停留阶段距离为定值；④第二问先写出妈妈的离家距离函数，再分阶段比较y₁和y₂的大小，解不等式后合并符合条件的x范围即可。
【解析】
(1)①小华从家到书店的步行速度为：$0.6÷6=0.1\ \mathrm{km/min}$
当$x=1$时，属于0~6min的步行阶段，$y=0.1×1=0.1\ \mathrm{km}$；
当$x=10$时，属于6~18min的书店停留阶段，离家距离不变，$y=0.6\ \mathrm{km}$；
当$x=30$时，刚好到达公园，离家距离为$1.8\ \mathrm{km}$。
②公园到家的距离为$1.8\ \mathrm{km}$，返回用时$15\ \mathrm{min}$，则返回速度为：$1.8÷15=0.12\ \mathrm{km/min}$。
③当$0≤ x≤6$时，小华匀速步行去书店，速度为$0.1\ \mathrm{km/min}$，则$y=0.1x$；
当$6＜x≤18$时，小华在书店停留，离家距离不变，$y=0.6$；
当$18＜x≤30$时，小华从书店步行去公园，速度为$(1.8-0.6)÷12=0.1\ \mathrm{km/min}$，则$y=0.6+0.1(x-18)=0.1x-1.2$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$\begin{cases} 0.1x(0≤ x≤ 6)\\ 0.6(6 ＜ x≤ 18)\\ 0.1x - 1.2(18 ＜ x≤ 30) \end{cases}$。
(2)小华妈妈的速度为$0.05\ \mathrm{km/min}$，则妈妈的离家距离函数为$y_2=0.05x$（$0≤ x≤36$，妈妈到公园总用时$1.8÷0.05=36\ \mathrm{min}$）。
分阶段比较$y_1＜y_2$：
当$0≤ x≤6$时，$y_1=0.1x＞0.05x=y_2$，不符合要求；
当$6＜x≤18$时，令$0.6＜0.05x$，解得$x＞12$，即此时$12＜x≤18$符合要求；
当$18＜x≤30$时，令$0.1x-1.2＜0.05x$，移项得$0.05x＜1.2$，解得$x＜24$，即此时$18＜x＜24$符合要求；
当$x＞30$时，小华在公园停留，$y_1=1.8$，$y_2≤1.8$，均满足$y_1≥ y_2$，不符合要求。
合并可得$x$的取值范围为$12＜x＜24$。
【答案】
(1)①$\boxed{0.1}$；$\boxed{0.6}$；$\boxed{1.8}$ ②$\boxed{0.12}$ ③$\boldsymbol{y=\begin{cases} 0.1x(0≤ x≤ 6)\\ 0.6(6 ＜ x≤ 18)\\ 0.1x - 1.2(18 ＜ x≤ 30) \end{cases}}$
(2)$\boldsymbol{12 ＜ x ＜ 24}$
【知识点】
分段函数应用；一次函数解析式；一次函数与不等式
【点评】
本题结合日常行程场景考查分段一次函数的相关知识，需要准确划分运动阶段，掌握分段函数解析式的求解方法，同时能结合不等式比较两个函数值的大小，对分类讨论思想有一定要求。
【难度系数】
0.65
