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1 如图,在CD上求一点P,使它到OA、OB的距离相等,则P点是(
A.线段CD的中点
B.OA与OB的中垂线的交点
C.OA与线段CD的中垂线的交点
D.直线CD与∠AOB的平分线的交点
D
)。A.线段CD的中点
B.OA与OB的中垂线的交点
C.OA与线段CD的中垂线的交点
D.直线CD与∠AOB的平分线的交点
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先明确题目的两个核心要求：一是点P在CD上，二是点P到OA、OB的距离相等。首先回忆角平分线的判定规律：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此满足到OA、OB距离相等的点都在∠AOB的平分线上，结合点P需在CD上的要求，可知P是两条线的交点，再逐一排除错误选项即可得到结果。
【解析】
根据角平分线判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
由此可知，所有到OA、OB距离相等的点都在∠AOB的角平分线上，又因为点P要在CD上，所以P点是∠AOB的平分线与直线CD的交点。
对选项逐一判断：
A. 线段CD的中点不一定在∠AOB的平分线上，无法保证到OA、OB的距离相等，错误；
B. OA、OB是射线，不存在中垂线，且中垂线上的点满足的是到线段两端点距离相等，和到角两边距离相等的要求无关，错误；
C. OA的中垂线上的点满足的是到线段OA两端点距离相等，不保证到OB的距离和到OA相等，错误；
D. 符合推导结论，正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确掌握角平分线的判定定理，注意区分角平分线和线段垂直平分线的性质差异，避免概念混淆错选。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目的两个核心要求：一是点P在CD上，二是点P到OA、OB的距离相等。首先回忆角平分线的判定规律：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，因此满足到OA、OB距离相等的点都在∠AOB的平分线上，结合点P需在CD上的要求，可知P是两条线的交点，再逐一排除错误选项即可得到结果。
【解析】
根据角平分线判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
由此可知，所有到OA、OB距离相等的点都在∠AOB的角平分线上，又因为点P要在CD上，所以P点是∠AOB的平分线与直线CD的交点。
对选项逐一判断：
A. 线段CD的中点不一定在∠AOB的平分线上，无法保证到OA、OB的距离相等，错误；
B. OA、OB是射线，不存在中垂线，且中垂线上的点满足的是到线段两端点距离相等，和到角两边距离相等的要求无关，错误；
C. OA的中垂线上的点满足的是到线段OA两端点距离相等，不保证到OB的距离和到OA相等，错误；
D. 符合推导结论，正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确掌握角平分线的判定定理，注意区分角平分线和线段垂直平分线的性质差异，避免概念混淆错选。
【难度系数】
0.8
2 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ ABC$的平分线与$AC$交于点$D$，若$∠ BDC=75°$，则$∠ A$等于（
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
C
）。A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
2.C
解析
【分析】
拿到这道题，首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，得到两底角∠ABC=∠ACB；再结合BD是∠ABC的平分线，可知∠DBC是∠ABC的一半。要求∠A的度数，可采用设未知数列方程的方法，利用三角形内角和为180°的定理，在△BDC中建立等量关系求解即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB。
设∠A的度数为$x°$，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-x°}{2}$
∵BD是∠ABC的平分线，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{180°-x°}{4}$
在△BDC中，内角和为180°，已知∠BDC=75°，代入角度得：
$\frac{180-x}{4}+\frac{180-x}{2}+75=180$
通分整理得：
$\frac{540-3x}{4}=105$
解得$x=40$，即∠A=40°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、角平分线定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，通过设未知数建立方程求解几何角度，是几何计算类题型的常用思路，熟练掌握相关性质的灵活应用即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
拿到这道题，首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，得到两底角∠ABC=∠ACB；再结合BD是∠ABC的平分线，可知∠DBC是∠ABC的一半。要求∠A的度数，可采用设未知数列方程的方法，利用三角形内角和为180°的定理，在△BDC中建立等量关系求解即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB。
设∠A的度数为$x°$，根据三角形内角和定理可得：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-x°}{2}$
∵BD是∠ABC的平分线，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{180°-x°}{4}$
在△BDC中，内角和为180°，已知∠BDC=75°，代入角度得：
$\frac{180-x}{4}+\frac{180-x}{2}+75=180$
通分整理得：
$\frac{540-3x}{4}=105$
解得$x=40$，即∠A=40°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、角平分线定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，通过设未知数建立方程求解几何角度，是几何计算类题型的常用思路，熟练掌握相关性质的灵活应用即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
3 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ CAB$，有下列说法：
① 若$CD:BD=2:3$，则$S_{△ ACD}:S_{△ ABD}=4:9$；
② 若$CD:BD=2:3$，则$AC:AB=2:3$；
③ 若$∠ C=90°$，$AC+AB=20$，$CD=3$，则$S_{△ ABC}=30$；
④ 若$∠ C=90°$，$AC:AB=5:13$，$BC=36$，则$CD=10$。
其中正确的是（
A.①②
B.②③
C.②④
D.②③④
① 若$CD:BD=2:3$，则$S_{△ ACD}:S_{△ ABD}=4:9$；
② 若$CD:BD=2:3$，则$AC:AB=2:3$；
③ 若$∠ C=90°$，$AC+AB=20$，$CD=3$，则$S_{△ ABC}=30$；
④ 若$∠ C=90°$，$AC:AB=5:13$，$BC=36$，则$CD=10$。
其中正确的是（
D
）。A.①②
B.②③
C.②④
D.②③④
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，角平分线分对边的比等于相邻两边的比，再结合三角形面积公式、勾股定理，逐个判断4个说法的正误即可。首先判断①：两个同高三角形的面积比等于底边长的比；再验证②：结合面积比推导边的比例关系；判断③时过D作AB的垂线，利用角平分线性质将两个小三角形的高转化为相等，结合已知的AC+AB求总面积；判断④时先用勾股定理求出AC的长度，再用角平分线的比例关系求CD的长度。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：
AD是∠CAB的角平分线，因此点D到AC、AB的距离相等，记为h。△ACD和△ABD的高均为h，底分别为CD、BD，因此面积比$S_{△ACD}:S_{△ABD}=CD:BD=2:3$，不是4:9，故①错误。
2. 分析说法②：
由$S_{△ACD}=\frac{1}{2} · AC · h$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2} · AB · h$，可得$S_{△ACD}:S_{△ABD}=AC:AB$，又因为$S_{△ACD}:S_{△ABD}=CD:BD=2:3$，因此$AC:AB=2:3$，故②正确。
3. 分析说法③：
过D作$DE⊥AB$于E，因为AD平分∠CAB，∠C=90°，由角平分线的性质得$CD=DE=3$。
$S_{△ABC}=S_{△ACD}+S_{△ABD}=\frac{1}{2} · AC · CD + \frac{1}{2} · AB · DE=\frac{1}{2} × 3 × (AC+AB)$，代入$AC+AB=20$，得$S_{△ABC}=\frac{1}{2} ×3 ×20=30$，故③正确。
4. 分析说法④：
设$AC=5k$，$AB=13k$，∠C=90°，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(13k)^2-(5k)^2}=12k$，已知$BC=36$，则$12k=36$，解得$k=3$，因此$AC=15$。
由角平分线分对边的比例关系得$CD:BD=AC:AB=5:13$，又$CD+BD=BC=36$，因此$CD=36 × \frac{5}{5+13}=10$，故④正确。
综上，②③④正确。
【答案】D
【知识点】角平分线的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】本题属于角平分线性质的综合应用题，需要结合多个知识点逐个验证结论，解题时要注意灵活运用角平分线上点到两边距离相等的性质，结合面积和比例关系简化计算。
【难度系数】0.6
解题时先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，角平分线分对边的比等于相邻两边的比，再结合三角形面积公式、勾股定理，逐个判断4个说法的正误即可。首先判断①：两个同高三角形的面积比等于底边长的比；再验证②：结合面积比推导边的比例关系；判断③时过D作AB的垂线，利用角平分线性质将两个小三角形的高转化为相等，结合已知的AC+AB求总面积；判断④时先用勾股定理求出AC的长度，再用角平分线的比例关系求CD的长度。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 分析说法①：
AD是∠CAB的角平分线，因此点D到AC、AB的距离相等，记为h。△ACD和△ABD的高均为h，底分别为CD、BD，因此面积比$S_{△ACD}:S_{△ABD}=CD:BD=2:3$，不是4:9，故①错误。
2. 分析说法②：
由$S_{△ACD}=\frac{1}{2} · AC · h$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2} · AB · h$，可得$S_{△ACD}:S_{△ABD}=AC:AB$，又因为$S_{△ACD}:S_{△ABD}=CD:BD=2:3$，因此$AC:AB=2:3$，故②正确。
3. 分析说法③：
过D作$DE⊥AB$于E，因为AD平分∠CAB，∠C=90°，由角平分线的性质得$CD=DE=3$。
$S_{△ABC}=S_{△ACD}+S_{△ABD}=\frac{1}{2} · AC · CD + \frac{1}{2} · AB · DE=\frac{1}{2} × 3 × (AC+AB)$，代入$AC+AB=20$，得$S_{△ABC}=\frac{1}{2} ×3 ×20=30$，故③正确。
4. 分析说法④：
设$AC=5k$，$AB=13k$，∠C=90°，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(13k)^2-(5k)^2}=12k$，已知$BC=36$，则$12k=36$，解得$k=3$，因此$AC=15$。
由角平分线分对边的比例关系得$CD:BD=AC:AB=5:13$，又$CD+BD=BC=36$，因此$CD=36 × \frac{5}{5+13}=10$，故④正确。
综上，②③④正确。
【答案】D
【知识点】角平分线的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】本题属于角平分线性质的综合应用题，需要结合多个知识点逐个验证结论，解题时要注意灵活运用角平分线上点到两边距离相等的性质，结合面积和比例关系简化计算。
【难度系数】0.6
4 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$, $AC=BC$,点$D$在$BC$上,$DE⊥ AB$于点$E$,如果$AD$平分$∠ BAC$, $CD=1$,那么$BE=$
1
。答案
4.1
解析
【分析】
解题首先利用角平分线的性质定理，由AD平分∠BAC、DC⊥AC、DE⊥AB，可得出DE与CD长度相等；再结合Rt△ABC是等腰直角三角形，推出∠B=45°，进而判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，即可求出BE的长度。
【解析】
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，因此DE=CD。
又已知CD=1，所以DE=1。
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，因此△ABC是等腰直角三角形，可得∠B=45°。
3. 因为DE⊥AB，所以∠DEB=90°，在△BDE中，∠BDE=180°-∠DEB-∠B=180°-90°-45°=45°，即∠B=∠BDE，因此△BDE是等腰直角三角形，故BE=DE=1。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质；等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是对角平分线性质和等腰直角三角形性质的综合运用，解题的关键是先通过角平分线性质得到DE的长度，再判断△BDE的形状即可得出结果，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题首先利用角平分线的性质定理，由AD平分∠BAC、DC⊥AC、DE⊥AB，可得出DE与CD长度相等；再结合Rt△ABC是等腰直角三角形，推出∠B=45°，进而判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，即可求出BE的长度。
【解析】
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，因此DE=CD。
又已知CD=1，所以DE=1。
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，因此△ABC是等腰直角三角形，可得∠B=45°。
3. 因为DE⊥AB，所以∠DEB=90°，在△BDE中，∠BDE=180°-∠DEB-∠B=180°-90°-45°=45°，即∠B=∠BDE，因此△BDE是等腰直角三角形，故BE=DE=1。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质；等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是对角平分线性质和等腰直角三角形性质的综合运用，解题的关键是先通过角平分线性质得到DE的长度，再判断△BDE的形状即可得出结果，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
5 如图，OD平分∠∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=3，F是射线OB上的任一点，则DF的长度最小是
3
。答案
5.3
解析
【分析】
要找到DF的最小长度，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当DF垂直于OB时，DF的长度最小；再结合已知条件OD是∠AOB的角平分线，DE垂直OA，可利用角平分线的性质定理推出最短时DF的长度与DE相等，即可求解。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当DF⊥OB时，DF的长度取得最小值。
∵OD平分∠AOB，DE⊥OA，DF⊥OB，
∴根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF=DE。
又
∵DE=3，
∴DF的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是几何基础应用题，核心是先判断出DF取最小值的位置，再结合角平分线的性质进行计算，能够很好地考查对基础几何性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
要找到DF的最小长度，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当DF垂直于OB时，DF的长度最小；再结合已知条件OD是∠AOB的角平分线，DE垂直OA，可利用角平分线的性质定理推出最短时DF的长度与DE相等，即可求解。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当DF⊥OB时，DF的长度取得最小值。
∵OD平分∠AOB，DE⊥OA，DF⊥OB，
∴根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF=DE。
又
∵DE=3，
∴DF的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是几何基础应用题，核心是先判断出DF取最小值的位置，再结合角平分线的性质进行计算，能够很好地考查对基础几何性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
6 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，$S_{△ ABC}=9$，$DE=2$，$AB=5$，则AC的长是
4
。答案
6.4
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB”入手，根据角平分线的性质，可得到点D到AC边的距离等于DE的长度；接下来观察△ABC的面积可拆分为△ACD和△ABD的面积之和，先利用三角形面积公式求出△ABD的面积，再结合总面积求出△ACD的面积，最后代入△ACD的面积公式即可求出AC的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
计算△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 5 × 2 = 5$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=9$，
∴$S_{△ ACD}=9 - 5 = 4$。
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$，代入已知量得：
$4=\frac{1}{2} × AC × 2$，
解得AC=4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，面积割补法
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是利用角平分线的性质得到AC边上的高，再通过面积和的关系建立等式求解，很好地考查了几何性质与面积计算的结合应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB”入手，根据角平分线的性质，可得到点D到AC边的距离等于DE的长度；接下来观察△ABC的面积可拆分为△ACD和△ABD的面积之和，先利用三角形面积公式求出△ABD的面积，再结合总面积求出△ACD的面积，最后代入△ACD的面积公式即可求出AC的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
计算△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 5 × 2 = 5$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=9$，
∴$S_{△ ACD}=9 - 5 = 4$。
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$，代入已知量得：
$4=\frac{1}{2} × AC × 2$，
解得AC=4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，面积割补法
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是利用角平分线的性质得到AC边上的高，再通过面积和的关系建立等式求解，很好地考查了几何性质与面积计算的结合应用。
【难度系数】
0.7
7 如图，$△ ABC$的三边$AB$、$AC$、$BC$的长分别为4、6、8，其三条角平分线相交于点$O$，则$S_{△ OAB}:S_{△ OAC}:S_{△ OBC}=$
2:3:4
。答案
7.2:3:4
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是△ABC三条角平分线的交点，因此O到△ABC三边AB、AC、BC的距离相等，我们可以设这个距离为h。由于三个待求面积的三角形的高都为h，根据三角形面积公式，它们的面积比就等于对应底边长的比，代入三边长度化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵点O是△ABC三条角平分线的交点
∴根据角平分线的性质，点O到AB、AC、BC三边的距离相等，设该距离为h
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×AB×h$，$S_{△OAC}=\frac{1}{2}×AC×h$，$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×BC×h$
因此$S_{△OAB}:S_{△OAC}:S_{△OBC}=AB:AC:BC$
将AB=4、AC=6、BC=8代入得：
$S_{△OAB}:S_{△OAC}:S_{△OBC}=4:6:8=2:3:4$
【答案】
$2:3:4$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等，从而将面积比转化为三角形三边长的比，属于基础应用类题目，掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是△ABC三条角平分线的交点，因此O到△ABC三边AB、AC、BC的距离相等，我们可以设这个距离为h。由于三个待求面积的三角形的高都为h，根据三角形面积公式，它们的面积比就等于对应底边长的比，代入三边长度化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵点O是△ABC三条角平分线的交点
∴根据角平分线的性质，点O到AB、AC、BC三边的距离相等，设该距离为h
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×AB×h$，$S_{△OAC}=\frac{1}{2}×AC×h$，$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×BC×h$
因此$S_{△OAB}:S_{△OAC}:S_{△OBC}=AB:AC:BC$
将AB=4、AC=6、BC=8代入得：
$S_{△OAB}:S_{△OAC}:S_{△OBC}=4:6:8=2:3:4$
【答案】
$2:3:4$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等，从而将面积比转化为三角形三边长的比，属于基础应用类题目，掌握角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
