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8 如图，AD为△ABC的角平分线，且AB:AC=4:3，BC=21，则CD的长为
9 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为10和4。△EDF的面积为
9
。9 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为10和4。△EDF的面积为
3
。答案
8.9
9.3
9.3
解析
【分析】
第8题：已知AD是角平分线，AB与AC的比及BC的长，要求CD的长，我们可以利用角平分线的性质结合面积法求解：首先角平分线上的点到角两边距离相等，可得△ABD与△ACD的面积比等于AB:AC；又因为这两个三角形以BD、CD为底时高相同，所以面积比也等于BD:CD，由此得到BD:CD=AB:AC，再按比例分配即可求出CD。
第9题：已知AD是角平分线，DF⊥AB，DE=DG及两个三角形的面积，要求△EDF的面积，首先过D作AC的垂线DH，由角平分线性质得DF=DH，先证Rt△EDF≌Rt△GDH得两者面积相等，再证Rt△ADF≌Rt△ADH得两者面积相等，最后结合已知的面积关系建立等式即可求出△EDF的面积。
【解析】
8. 解：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过点A作AH⊥BC于H。
∵AD为△ABC的角平分线，
∴DM=DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DM$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DN$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$。
又
∵$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AH$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· AH$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}=\frac{4}{3}$。
设BD=4k，CD=3k，
∵BC=BD+CD=21，
∴4k+3k=21，解得k=3，
∴CD=3×3=9。
9. 解：过点D作DH⊥AC于点H。
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△EDF和Rt△GDH中：
$\begin{cases} DE=DG \\ DF=DH \end{cases}$
∴Rt△EDF≌Rt△GDH（HL），故$S_{△ EDF}=S_{△ GDH}$。
同理可证Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），故$S_{△ ADF}=S_{△ ADH}$。
由题意得：
$S_{△ ADG}=S_{△ ADH}+S_{△ GDH}=S_{△ ADF}+S_{△ EDF}=10$ ①
$S_{△ AED}=S_{△ ADF}-S_{△ EDF}=4$ ②
用①-②得：$2S_{△ EDF}=10-4=6$，解得$S_{△ EDF}=3$。
【答案】8. 9；9. 3
【知识点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】这两道题围绕角平分线的性质设计，解题时可以通过构造垂线得到等线段，再结合面积关系或全等三角形转化条件，能有效降低解题难度，重点考查对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】0.6
第8题：已知AD是角平分线，AB与AC的比及BC的长，要求CD的长，我们可以利用角平分线的性质结合面积法求解：首先角平分线上的点到角两边距离相等，可得△ABD与△ACD的面积比等于AB:AC；又因为这两个三角形以BD、CD为底时高相同，所以面积比也等于BD:CD，由此得到BD:CD=AB:AC，再按比例分配即可求出CD。
第9题：已知AD是角平分线，DF⊥AB，DE=DG及两个三角形的面积，要求△EDF的面积，首先过D作AC的垂线DH，由角平分线性质得DF=DH，先证Rt△EDF≌Rt△GDH得两者面积相等，再证Rt△ADF≌Rt△ADH得两者面积相等，最后结合已知的面积关系建立等式即可求出△EDF的面积。
【解析】
8. 解：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过点A作AH⊥BC于H。
∵AD为△ABC的角平分线，
∴DM=DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DM$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DN$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$。
又
∵$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AH$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· AH$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}=\frac{4}{3}$。
设BD=4k，CD=3k，
∵BC=BD+CD=21，
∴4k+3k=21，解得k=3，
∴CD=3×3=9。
9. 解：过点D作DH⊥AC于点H。
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△EDF和Rt△GDH中：
$\begin{cases} DE=DG \\ DF=DH \end{cases}$
∴Rt△EDF≌Rt△GDH（HL），故$S_{△ EDF}=S_{△ GDH}$。
同理可证Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），故$S_{△ ADF}=S_{△ ADH}$。
由题意得：
$S_{△ ADG}=S_{△ ADH}+S_{△ GDH}=S_{△ ADF}+S_{△ EDF}=10$ ①
$S_{△ AED}=S_{△ ADF}-S_{△ EDF}=4$ ②
用①-②得：$2S_{△ EDF}=10-4=6$，解得$S_{△ EDF}=3$。
【答案】8. 9；9. 3
【知识点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】这两道题围绕角平分线的性质设计，解题时可以通过构造垂线得到等线段，再结合面积关系或全等三角形转化条件，能有效降低解题难度，重点考查对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】0.6
⑩ 如图，已知$∠ AOP = ∠ BOP = 15°$，$PC // OA$，$PD ⊥ OA$。若$OC = 4$，则$PD$的长为________。
答案
10.2 [提示:过点P作$PH ⊥ OB$于点H。因为$PC // OA$,所以$∠POA = ∠CPO$。因为$∠POA = ∠BOP = 15°$,所以$∠CPO = ∠BOP = 15°$,所以$∠BCP = ∠COP + ∠CPO = 30°$,$OC=CP=4$。因为$∠PHC=90°$,所以$∠HPC=90°-∠HCP=60°$。取$CP$的中点M,连接HM。因为$∠PHC=90°$,M是$CP$的中点,所以$HM=MP=\frac{1}{2}CP$。又因为$∠HPC=60°$,所以$△HMP$是等边三角形,所以$PH=HM=\frac{1}{2}CP=2$。因为$PH ⊥ OB$,$PD ⊥ OA$,$OP$平分$∠AOB$,所以$PD=PH=2$。]
解析
【分析】
本题可结合角平分线性质转化所求线段，步骤如下：①看到角平分线和PD⊥OA，考虑作PH⊥OB，将求PD转化为求PH；②利用PC//OA的平行线性质，结合已知角的度数，推导出PC=OC以及∠BCP=30°；③在直角三角形PHC中利用30°角的特殊性质求出PH，即可得到PD的长度。
【解析】
解：过点P作$PH ⊥ OB$于点H。
1. 已知$∠AOP = ∠BOP = 15°$，即OP平分$∠AOB$，又$PD ⊥ OA$，$PH ⊥ OB$，根据角平分线的性质，得$PD = PH$。
2. 因为$PC // OA$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠CPO = ∠AOP = 15°$。
3. 因为$∠CPO = ∠BOP = 15°$，根据“等角对等边”，得$CP = OC = 4$。
4. $∠BCP$是$△ COP$的外角，根据外角性质，得$∠BCP = ∠BOP + ∠CPO = 15° + 15° = 30°$。
5. 在$Rt△ PHC$中，$∠HCP = 30°$，斜边$CP=4$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得$PH = \frac{1}{2}CP = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
6. 结合$PD=PH$，可得$PD=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过作角平分线的第二条垂线完成所求线段的转化，再结合平行线、特殊直角三角形的性质逐步推导即可求解，熟练掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题可结合角平分线性质转化所求线段，步骤如下：①看到角平分线和PD⊥OA，考虑作PH⊥OB，将求PD转化为求PH；②利用PC//OA的平行线性质，结合已知角的度数，推导出PC=OC以及∠BCP=30°；③在直角三角形PHC中利用30°角的特殊性质求出PH，即可得到PD的长度。
【解析】
解：过点P作$PH ⊥ OB$于点H。
1. 已知$∠AOP = ∠BOP = 15°$，即OP平分$∠AOB$，又$PD ⊥ OA$，$PH ⊥ OB$，根据角平分线的性质，得$PD = PH$。
2. 因为$PC // OA$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠CPO = ∠AOP = 15°$。
3. 因为$∠CPO = ∠BOP = 15°$，根据“等角对等边”，得$CP = OC = 4$。
4. $∠BCP$是$△ COP$的外角，根据外角性质，得$∠BCP = ∠BOP + ∠CPO = 15° + 15° = 30°$。
5. 在$Rt△ PHC$中，$∠HCP = 30°$，斜边$CP=4$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得$PH = \frac{1}{2}CP = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
6. 结合$PD=PH$，可得$PD=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过作角平分线的第二条垂线完成所求线段的转化，再结合平行线、特殊直角三角形的性质逐步推导即可求解，熟练掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
11 如图，高速公路AB和AC在我市交于点A，在∠BAC外部有两个城镇D、E。若要在∠BAC内部修一个大型农贸市场F，使F到高速公路AB、AC的距离相等，且F到两个城镇D、E的距离也相等，请作出市场F的位置。（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
答案
11 作线段DE的垂直平分线交$∠BAC$的平分线于点F,点F即为所求。(画图略)
解析
【分析】
要确定点F的位置，可拆分题目给出的两个条件分别推导：①F到高速公路AB、AC的距离相等，根据角平分线的判定，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此F一定在∠BAC的角平分线上；②F到城镇D、E的距离相等，根据线段垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此F一定在线段DE的垂直平分线上。两条线的交点能同时满足两个条件，即为所求的F点。
【解析】
首先利用尺规作图作出∠BAC的角平分线，再用尺规作图作出线段DE的垂直平分线，两条线的交点就是满足所有要求的农贸市场F的位置，作图时保留所有作图痕迹即可。
【答案】
作线段DE的垂直平分线交∠BAC的平分线于点F,点F即为所求。(画图略)
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的判定；尺规作图
【点评】
本题属于轨迹交点类作图题，核心是将题目中的距离要求转化为对应的几何轨迹，解题关键是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的判定定理，是对基础几何性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要确定点F的位置，可拆分题目给出的两个条件分别推导：①F到高速公路AB、AC的距离相等，根据角平分线的判定，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此F一定在∠BAC的角平分线上；②F到城镇D、E的距离相等，根据线段垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此F一定在线段DE的垂直平分线上。两条线的交点能同时满足两个条件，即为所求的F点。
【解析】
首先利用尺规作图作出∠BAC的角平分线，再用尺规作图作出线段DE的垂直平分线，两条线的交点就是满足所有要求的农贸市场F的位置，作图时保留所有作图痕迹即可。
【答案】
作线段DE的垂直平分线交∠BAC的平分线于点F,点F即为所求。(画图略)
【知识点】
角平分线的判定；线段垂直平分线的判定；尺规作图
【点评】
本题属于轨迹交点类作图题，核心是将题目中的距离要求转化为对应的几何轨迹，解题关键是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的判定定理，是对基础几何性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
12 如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,BC＞CD,CA 平分∠BCD,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为点 E。
(1) 求证: $CE=CD+BE$;
(2) 如果 $CE=3BE$,求 $S_{△ ABC}:S_{△ ACD}$ 的值。
13 (1) 如图①,∠MAN=120°,AP 平分∠MAN,点 C 是射线 AP 上一点,∠BCD=60°,且与 AM、AN 分别交于点 D、B,求证:$CD=CB$。
(2) 如图②,其他条件不变,将图①中的∠BCD 绕点 C 逆时针旋转使点 D 落在 AM 的反向延长线上。请探究线段 AB、AC 和 AD 之间的数量关系,写出结论并证明。
第13题图①
第13题图②
(1) 求证: $CE=CD+BE$;
(2) 如果 $CE=3BE$,求 $S_{△ ABC}:S_{△ ACD}$ 的值。
13 (1) 如图①,∠MAN=120°,AP 平分∠MAN,点 C 是射线 AP 上一点,∠BCD=60°,且与 AM、AN 分别交于点 D、B,求证:$CD=CB$。
(2) 如图②,其他条件不变,将图①中的∠BCD 绕点 C 逆时针旋转使点 D 落在 AM 的反向延长线上。请探究线段 AB、AC 和 AD 之间的数量关系,写出结论并证明。
第13题图①
第13题图②
答案
12 (1) 过点 A 作$AF ⊥ CD$,交 CD 的延长线于点 F。因为 CA 平分$∠BCD$,$AF ⊥ CD$,$AE ⊥ BC$,所以$AE=AF$,$∠ACE=∠ACF$,$∠AEC=∠AFC=90°$。在$△ACE$和$△ACF$中,因为$\begin{cases}∠AEC=∠AFC,\\∠ACE=∠ACF,\\AC=AC,\end{cases}$所以$△ACE ≌ △ACF$,所以$CF=CE$。因为$AE ⊥ BC$,$AF ⊥ CD$,所以$∠AEB=∠AFD=90°$。在$Rt△AEB$和$Rt△AFD$中,因为$\begin{cases}AB=AD,\\AE=AF,\end{cases}$所以$Rt△AEB ≌ Rt△AFD$,所以$DF=BE$。因为$CE=CF=CD+DF$,所以$CE=CD+BE$。
(2) 因为$CE=3BE$,所以$BC=BE+CE=4BE$,$CF=CD+DF=CD+BE=3BE$,所以$CD=2BE$,所以$\frac{BC}{CD}=\frac{4BE}{2BE}=2$。所以$\frac{S_{△ABC}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}·BC·AE}{\frac{1}{2}·CD·AF}=\frac{BC}{CD}=2$。
13 (1) 证明:如图①,过点 C 作$CE ⊥ AN$交于点 E,$CF ⊥ AM$交于点 F,所以$∠CFD=∠CEB=90°$。因为 AC 是$∠MAN$的平分线,所以$CE=CF$。因为$∠MAN=120°$,所以$∠ECF=360°-∠AFC-∠AEC-∠MAN=360°-90°-90°-120°=60°$。因为$∠BCD=60°$,所以$∠BCD=∠ECF$。所以$∠BCD-∠BCF=∠ECF-∠BCF$,即$∠DCF=∠BCE$。
在$△CFD$和$△CEB$中,因为$\begin{cases}∠DCF=∠BCE,\\CF=CE,\\∠CFD=∠CEB,\end{cases}$所以$△CFD ≌ △CEB(ASA)$,所以$CD=CB$。
(2) $AB=AC+AD$,理由如下:如图②,在线段 AB 上取点 G,使$AG=AC$,连接 CG。因为$∠PAB=\frac{1}{2}∠MAN=60°$,$AG=AC$,所以$△ACG$是等边三角形,所以$AC=CG=AG$,$∠ACG=60°$。因为$∠ACG=∠BCD=60°$,所以$∠ACG-∠DCG=∠BCD-∠DCG$,即$∠ACD=∠GCB$。因为$∠CAM=∠CGA=60°$,所以$∠CAD=∠CGB=180°-60°=120°$。
在$△CAD$和$△CGB$中,因为$\begin{cases}∠ACD=∠GCB,\\AC=GC,\\∠CAD=∠CGB,\end{cases}$所以$△CAD ≌ △CGB(ASA)$,所以$AD=GB$。所以$AB=AG+GB=AC+AD$。
解析
【分析】
12题解题思路
(1) 要证明一条线段等于另外两条线段的和，常用截长补短法。本题已知CA平分∠BCD，且有AE⊥BC，结合角平分线的性质，过A作AF⊥CD延长线，可得AE=AF，先证△ACE≌△ACF得到CE=CF，再证Rt△AEB≌Rt△AFD得到BE=DF，结合CF=CD+DF等量代换即可得证。
(2) 求两个三角形的面积比时，△ABC和△ACD的高分别为AE和AF，由角平分线性质可知AE=AF，因此面积比等于对应底BC与CD的比，结合CE=3BE的条件，用BE分别表示BC和CD的长度，即可求出比值。
13题解题思路
(1) 要证明CD=CB，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知AP平分∠MAN，过C作CE⊥AN、CF⊥AM，由角平分线性质得CE=CF，结合∠MAN=120°可算出∠ECF=60°，和已知∠BCD=60°相等，进而推出∠DCF=∠BCE，证△CFD≌△CEB即可得CD=CB。
(2) 探究AB、AC、AD的数量关系时，图中有60°角，可构造等边三角形转化线段：在AB上截取AG=AC，得到等边△ACG，进而得AC=CG、∠ACG=60°，结合∠BCD=60°推出∠ACD=∠GCB，再证△CAD≌△CGB得AD=GB，结合AB=AG+GB即可推出三者的数量关系。
【解析】
12题
(1) 过点A作$AF ⊥ CD$，交CD的延长线于点F。
因为CA平分$∠BCD$，$AF ⊥ CD$，$AE ⊥ BC$，所以$AE=AF$，$∠ACE=∠ACF$，$∠AEC=∠AFC=90°$。
在$△ACE$和$△ACF$中，$\begin{cases}∠AEC=∠AFC,\\∠ACE=∠ACF,\\AC=AC,\end{cases}$
所以$△ACE ≌ △ACF$，所以$CF=CE$。
因为$AE ⊥ BC$，$AF ⊥ CD$，所以$∠AEB=∠AFD=90°$。
在$Rt△AEB$和$Rt△AFD$中，$\begin{cases}AB=AD,\\AE=AF,\end{cases}$
所以$Rt△AEB ≌ Rt△AFD$，所以$DF=BE$。
因为$CE=CF=CD+DF$，所以$CE=CD+BE$。
(2) 因为$CE=3BE$，所以$BC=BE+CE=4BE$，$CF=CD+DF=CD+BE=3BE$，所以$CD=2BE$，所以$\frac{BC}{CD}=\frac{4BE}{2BE}=2$。
所以$\frac{S_{△ABC}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}·BC·AE}{\frac{1}{2}·CD·AF}=\frac{BC}{CD}=2$。
13题
(1) 如图①，过点C作$CE ⊥ AN$交于点E，$CF ⊥ AM$交于点F，所以$∠CFD=∠CEB=90°$。
因为AC是$∠MAN$的平分线，所以$CE=CF$。
因为$∠MAN=120°$，所以$∠ECF=360°-∠AFC-∠AEC-∠MAN=360°-90°-90°-120°=60°$。
因为$∠BCD=60°$，所以$∠BCD=∠ECF$。
所以$∠BCD-∠BCF=∠ECF-∠BCF$，即$∠DCF=∠BCE$。
在$△CFD$和$△CEB$中，$\begin{cases}∠DCF=∠BCE,\\CF=CE,\\∠CFD=∠CEB,\end{cases}$
所以$△CFD ≌ △CEB(ASA)$，所以$CD=CB$。
(2) 线段关系为$AB=AC+AD$，证明如下：
如图②，在线段AB上取点G，使$AG=AC$，连接CG。
因为$∠PAB=\frac{1}{2}∠MAN=60°$，$AG=AC$，所以$△ACG$是等边三角形，所以$AC=CG=AG$，$∠ACG=60°$。
因为$∠ACG=∠BCD=60°$，所以$∠ACG-∠DCG=∠BCD-∠DCG$，即$∠ACD=∠GCB$。
因为$∠CAM=∠CGA=60°$，所以$∠CAD=∠CGB=180°-60°=120°$。
在$△CAD$和$△CGB$中，$\begin{cases}∠ACD=∠GCB,\\AC=GC,\\∠CAD=∠CGB,\end{cases}$
所以$△CAD ≌ △CGB(ASA)$，所以$AD=GB$。
所以$AB=AG+GB=AC+AD$。
【答案】
12题
(1) 证明成立，$CE=CD+BE$；
(2) $S_{△ ABC}:S_{△ ACD}=2$
13题
(1) 证明成立，$CD=CB$；
(2) $AB=AC+AD$，证明成立。
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本组题核心考查角平分线性质的应用，解题时需结合已知条件构造合适的辅助线：线段和差类证明常使用截长补短法，涉及60°特殊角时可通过构造等边三角形转化线段关系，全等三角形是证明线段相等的常用工具。
【难度系数】
0.6
12题解题思路
(1) 要证明一条线段等于另外两条线段的和，常用截长补短法。本题已知CA平分∠BCD，且有AE⊥BC，结合角平分线的性质，过A作AF⊥CD延长线，可得AE=AF，先证△ACE≌△ACF得到CE=CF，再证Rt△AEB≌Rt△AFD得到BE=DF，结合CF=CD+DF等量代换即可得证。
(2) 求两个三角形的面积比时，△ABC和△ACD的高分别为AE和AF，由角平分线性质可知AE=AF，因此面积比等于对应底BC与CD的比，结合CE=3BE的条件，用BE分别表示BC和CD的长度，即可求出比值。
13题解题思路
(1) 要证明CD=CB，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知AP平分∠MAN，过C作CE⊥AN、CF⊥AM，由角平分线性质得CE=CF，结合∠MAN=120°可算出∠ECF=60°，和已知∠BCD=60°相等，进而推出∠DCF=∠BCE，证△CFD≌△CEB即可得CD=CB。
(2) 探究AB、AC、AD的数量关系时，图中有60°角，可构造等边三角形转化线段：在AB上截取AG=AC，得到等边△ACG，进而得AC=CG、∠ACG=60°，结合∠BCD=60°推出∠ACD=∠GCB，再证△CAD≌△CGB得AD=GB，结合AB=AG+GB即可推出三者的数量关系。
【解析】
12题
(1) 过点A作$AF ⊥ CD$，交CD的延长线于点F。
因为CA平分$∠BCD$，$AF ⊥ CD$，$AE ⊥ BC$，所以$AE=AF$，$∠ACE=∠ACF$，$∠AEC=∠AFC=90°$。
在$△ACE$和$△ACF$中，$\begin{cases}∠AEC=∠AFC,\\∠ACE=∠ACF,\\AC=AC,\end{cases}$
所以$△ACE ≌ △ACF$，所以$CF=CE$。
因为$AE ⊥ BC$，$AF ⊥ CD$，所以$∠AEB=∠AFD=90°$。
在$Rt△AEB$和$Rt△AFD$中，$\begin{cases}AB=AD,\\AE=AF,\end{cases}$
所以$Rt△AEB ≌ Rt△AFD$，所以$DF=BE$。
因为$CE=CF=CD+DF$，所以$CE=CD+BE$。
(2) 因为$CE=3BE$，所以$BC=BE+CE=4BE$，$CF=CD+DF=CD+BE=3BE$，所以$CD=2BE$，所以$\frac{BC}{CD}=\frac{4BE}{2BE}=2$。
所以$\frac{S_{△ABC}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}·BC·AE}{\frac{1}{2}·CD·AF}=\frac{BC}{CD}=2$。
13题
(1) 如图①，过点C作$CE ⊥ AN$交于点E，$CF ⊥ AM$交于点F，所以$∠CFD=∠CEB=90°$。
因为AC是$∠MAN$的平分线，所以$CE=CF$。
因为$∠MAN=120°$，所以$∠ECF=360°-∠AFC-∠AEC-∠MAN=360°-90°-90°-120°=60°$。
因为$∠BCD=60°$，所以$∠BCD=∠ECF$。
所以$∠BCD-∠BCF=∠ECF-∠BCF$，即$∠DCF=∠BCE$。
在$△CFD$和$△CEB$中，$\begin{cases}∠DCF=∠BCE,\\CF=CE,\\∠CFD=∠CEB,\end{cases}$
所以$△CFD ≌ △CEB(ASA)$，所以$CD=CB$。
(2) 线段关系为$AB=AC+AD$，证明如下：
如图②，在线段AB上取点G，使$AG=AC$，连接CG。
因为$∠PAB=\frac{1}{2}∠MAN=60°$，$AG=AC$，所以$△ACG$是等边三角形，所以$AC=CG=AG$，$∠ACG=60°$。
因为$∠ACG=∠BCD=60°$，所以$∠ACG-∠DCG=∠BCD-∠DCG$，即$∠ACD=∠GCB$。
因为$∠CAM=∠CGA=60°$，所以$∠CAD=∠CGB=180°-60°=120°$。
在$△CAD$和$△CGB$中，$\begin{cases}∠ACD=∠GCB,\\AC=GC,\\∠CAD=∠CGB,\end{cases}$
所以$△CAD ≌ △CGB(ASA)$，所以$AD=GB$。
所以$AB=AG+GB=AC+AD$。
【答案】
12题
(1) 证明成立，$CE=CD+BE$；
(2) $S_{△ ABC}:S_{△ ACD}=2$
13题
(1) 证明成立，$CD=CB$；
(2) $AB=AC+AD$，证明成立。
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本组题核心考查角平分线性质的应用，解题时需结合已知条件构造合适的辅助线：线段和差类证明常使用截长补短法，涉及60°特殊角时可通过构造等边三角形转化线段关系，全等三角形是证明线段相等的常用工具。
【难度系数】
0.6
