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1 $\sqrt{8}-\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)$的结果是(
A.$-2$
B.$\sqrt{2}-2$
C.$2$
D.$4\sqrt{2}-2$
A
)。A.$-2$
B.$\sqrt{2}-2$
C.$2$
D.$4\sqrt{2}-2$
答案
A
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先将非最简二次根式$\sqrt{8}$化为最简二次根式；第二步利用乘法分配律计算括号外的$\sqrt{2}$与括号内各项的乘积；第三步去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&\sqrt{8}-\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)\\=&2\sqrt{2} - (\sqrt{2}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×2)\\=&2\sqrt{2} - (2 + 2\sqrt{2})\\=&2\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2}\\=&-2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、去括号法则
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算顺序和运算法则，运算时需注意去括号的符号变化，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先将非最简二次根式$\sqrt{8}$化为最简二次根式；第二步利用乘法分配律计算括号外的$\sqrt{2}$与括号内各项的乘积；第三步去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&\sqrt{8}-\sqrt{2}(\sqrt{2}+2)\\=&2\sqrt{2} - (\sqrt{2}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×2)\\=&2\sqrt{2} - (2 + 2\sqrt{2})\\=&2\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2}\\=&-2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、去括号法则
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算顺序和运算法则，运算时需注意去括号的符号变化，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8
② 若$2\sqrt{3}+\sqrt{n}$可以合并为一项，则$n$可以是（
A.9
B.18
C.27
D.54
C
）。A.9
B.18
C.27
D.54
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确：只有同类二次根式才能合并为一项。同类二次根式的定义是：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同。因此解题思路是：先确定已知的$2\sqrt{3}$是最简二次根式，被开方数为3，再把每个选项对应的$\sqrt{n}$化为最简二次根式，判断其被开方数是否为3即可。
【解析】
首先，$2\sqrt{3}$已经是最简二次根式，被开方数是3，若$2\sqrt{3}+\sqrt{n}$可以合并，则$\sqrt{n}$化简后被开方数必须为3，我们逐个分析选项：
选项A：当$n=9$时，$\sqrt{9}=3$，是整数，与$2\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并；
选项B：当$n=18$时，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数是2，与$2\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并；
选项C：当$n=27$时，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，化简后被开方数是3，与$2\sqrt{3}$是同类二次根式，可以合并为$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；
选项D：当$n=54$时，$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，化简后被开方数是6，与$2\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简，同类二次根式
【点评】
本题核心考查同类二次根式的判定，解题的关键是牢记可合并的二次根式必须是化简后被开方数相同的最简二次根式，掌握二次根式的化简方法是解答的基础。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确：只有同类二次根式才能合并为一项。同类二次根式的定义是：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同。因此解题思路是：先确定已知的$2\sqrt{3}$是最简二次根式，被开方数为3，再把每个选项对应的$\sqrt{n}$化为最简二次根式，判断其被开方数是否为3即可。
【解析】
首先，$2\sqrt{3}$已经是最简二次根式，被开方数是3，若$2\sqrt{3}+\sqrt{n}$可以合并，则$\sqrt{n}$化简后被开方数必须为3，我们逐个分析选项：
选项A：当$n=9$时，$\sqrt{9}=3$，是整数，与$2\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并；
选项B：当$n=18$时，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数是2，与$2\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并；
选项C：当$n=27$时，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，化简后被开方数是3，与$2\sqrt{3}$是同类二次根式，可以合并为$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；
选项D：当$n=54$时，$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，化简后被开方数是6，与$2\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简，同类二次根式
【点评】
本题核心考查同类二次根式的判定，解题的关键是牢记可合并的二次根式必须是化简后被开方数相同的最简二次根式，掌握二次根式的化简方法是解答的基础。
【难度系数】
0.8
3 如图，数轴上的点可近似表示$(3\sqrt{6}+\sqrt{30})÷\sqrt{6}$的值的是（
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
C
）。A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
C
解析
【分析】
解题时首先处理二次根式的混合运算式，利用二次根式的除法法则将原式拆分化简，得到整数与无理数相加的形式，再通过平方法估算无理数的大小，得到原式的取值范围，最后对照数轴上各点的位置匹配对应点即可。
【解析】
第一步：化简原式
根据二次根式的除法运算规则，将除法分配到括号内的两项：
$(3\sqrt{6}+\sqrt{30})÷\sqrt{6}=3\sqrt{6}÷\sqrt{6}+\sqrt{30}÷\sqrt{6}$
分别计算两项：
$3\sqrt{6}÷\sqrt{6}=3$，$\sqrt{30}÷\sqrt{6}=\sqrt{\frac{30}{6}}=\sqrt{5}$
因此原式化简为：$3+\sqrt{5}$
第二步：估算$\sqrt{5}$的大小
因为$2^2=4$，$2.3^2=5.29$，所以$2＜\sqrt{5}＜2.3$
由此可得$3+2＜3+\sqrt{5}＜3+2.3$，即$5＜3+\sqrt{5}＜5.3$
第三步：对照数轴匹配点
观察数轴可知，每小格代表0.5：
点A在3.5~4之间，点B在4.5~5之间，点C在5~5.5之间，点D在6.5~7之间，符合$5＜原式＜5.3$的是点C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式除法运算，无理数大小估算，数轴的应用
【点评】
本题将二次根式运算与无理数估算、数轴知识结合考查，核心是先准确化简二次根式运算式，再通过平方比较法估算无理数的取值范围，是二次根式模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先处理二次根式的混合运算式，利用二次根式的除法法则将原式拆分化简，得到整数与无理数相加的形式，再通过平方法估算无理数的大小，得到原式的取值范围，最后对照数轴上各点的位置匹配对应点即可。
【解析】
第一步：化简原式
根据二次根式的除法运算规则，将除法分配到括号内的两项：
$(3\sqrt{6}+\sqrt{30})÷\sqrt{6}=3\sqrt{6}÷\sqrt{6}+\sqrt{30}÷\sqrt{6}$
分别计算两项：
$3\sqrt{6}÷\sqrt{6}=3$，$\sqrt{30}÷\sqrt{6}=\sqrt{\frac{30}{6}}=\sqrt{5}$
因此原式化简为：$3+\sqrt{5}$
第二步：估算$\sqrt{5}$的大小
因为$2^2=4$，$2.3^2=5.29$，所以$2＜\sqrt{5}＜2.3$
由此可得$3+2＜3+\sqrt{5}＜3+2.3$，即$5＜3+\sqrt{5}＜5.3$
第三步：对照数轴匹配点
观察数轴可知，每小格代表0.5：
点A在3.5~4之间，点B在4.5~5之间，点C在5~5.5之间，点D在6.5~7之间，符合$5＜原式＜5.3$的是点C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式除法运算，无理数大小估算，数轴的应用
【点评】
本题将二次根式运算与无理数估算、数轴知识结合考查，核心是先准确化简二次根式运算式，再通过平方比较法估算无理数的取值范围，是二次根式模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
④ 计算：(1)$(\sqrt{27}+\sqrt{18})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=$
3
；(2)$(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)=$2√2
。答案
(1) 3 (2) $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
第(1)题可先将二次根式化为最简二次根式，观察算式结构提取公因式后利用平方差公式简化计算，避免逐项相乘的繁琐；第(2)题可通过添括号将算式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式计算，再展开完全平方进行后续运算，降低出错概率。
【解析】
(1) 先化简二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
则原式$=(3\sqrt{3}+3\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
提取公因式3得：
$=3(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
$=3×[(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2]$
$=3×(3-2)$
$=3×1=3$
(2) 对原式变形，添括号凑平方差公式：
原式$=[\sqrt{3}+(\sqrt{2}-1)][\sqrt{3}-(\sqrt{2}-1)]$
利用平方差公式得：
$=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2}-1)^2$
利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开后项：
$=3-(2-2\sqrt{2}+1)$
去括号计算：
$=3-3+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
【答案】
(1) $3$；(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，合理运用乘法公式能大幅简化运算过程，解题时注意观察算式结构，选择简便方法，同时要注意去括号时的符号变化。
【难度系数】
0.7
第(1)题可先将二次根式化为最简二次根式，观察算式结构提取公因式后利用平方差公式简化计算，避免逐项相乘的繁琐；第(2)题可通过添括号将算式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式计算，再展开完全平方进行后续运算，降低出错概率。
【解析】
(1) 先化简二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，
则原式$=(3\sqrt{3}+3\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
提取公因式3得：
$=3(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
$=3×[(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2]$
$=3×(3-2)$
$=3×1=3$
(2) 对原式变形，添括号凑平方差公式：
原式$=[\sqrt{3}+(\sqrt{2}-1)][\sqrt{3}-(\sqrt{2}-1)]$
利用平方差公式得：
$=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2}-1)^2$
利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开后项：
$=3-(2-2\sqrt{2}+1)$
去括号计算：
$=3-3+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
【答案】
(1) $3$；(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，合理运用乘法公式能大幅简化运算过程，解题时注意观察算式结构，选择简便方法，同时要注意去括号时的符号变化。
【难度系数】
0.7
5 计算：(1) $\sqrt{2}(\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}})=$
3
；(2) $(\sqrt{48}-\dfrac{1}{4}\sqrt{6})÷\sqrt{27}=$ $\dfrac{4}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{12}$
。答案
(1) 3 (2) $\dfrac{4}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{12}$
解析
【分析】
(1) 本题是二次根式的乘法与加法混合运算，观察式子结构可直接用乘法分配律展开，将$\sqrt{2}$分别乘括号内的两项，再按照二次根式乘法法则计算，最后求和即可得出结果。
(2) 本题是二次根式的除法与减法混合运算，第一步先把所有非最简二次根式化为最简二次根式，再类比多项式除以单项式的法则，将括号内的两项分别除以除式，最后化简合并得到结果。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\&=2+1\\&=3\end{aligned}$
(2) 先化简二次根式，再分步计算除法：
先化简得$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
$\begin{aligned}原式&=(4\sqrt{3}-\dfrac{1}{4}\sqrt{6})÷ 3\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}÷ 3\sqrt{3}-\dfrac{1}{4}\sqrt{6}÷ 3\sqrt{3}\\&=\dfrac{4}{3}-\dfrac{\sqrt{6}}{12\sqrt{3}}\\&=\dfrac{4}{3}-\dfrac{\sqrt{6÷3}}{12}\\&=\dfrac{4}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{12}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{\dfrac{4}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{12}}$
【知识点】
二次根式混合运算，二次根式化简，乘法分配律
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，解题时可根据式子结构灵活选用运算律简化计算，计算过程中要注意先把二次根式化为最简，最终结果也要保证是最简形式，同时要注意运算符号不要出错。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是二次根式的乘法与加法混合运算，观察式子结构可直接用乘法分配律展开，将$\sqrt{2}$分别乘括号内的两项，再按照二次根式乘法法则计算，最后求和即可得出结果。
(2) 本题是二次根式的除法与减法混合运算，第一步先把所有非最简二次根式化为最简二次根式，再类比多项式除以单项式的法则，将括号内的两项分别除以除式，最后化简合并得到结果。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{2}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\&=2+1\\&=3\end{aligned}$
(2) 先化简二次根式，再分步计算除法：
先化简得$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
$\begin{aligned}原式&=(4\sqrt{3}-\dfrac{1}{4}\sqrt{6})÷ 3\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}÷ 3\sqrt{3}-\dfrac{1}{4}\sqrt{6}÷ 3\sqrt{3}\\&=\dfrac{4}{3}-\dfrac{\sqrt{6}}{12\sqrt{3}}\\&=\dfrac{4}{3}-\dfrac{\sqrt{6÷3}}{12}\\&=\dfrac{4}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{12}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{\dfrac{4}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{12}}$
【知识点】
二次根式混合运算，二次根式化简，乘法分配律
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，解题时可根据式子结构灵活选用运算律简化计算，计算过程中要注意先把二次根式化为最简，最终结果也要保证是最简形式，同时要注意运算符号不要出错。
【难度系数】
0.8
6 已知 $ a = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} $，$ b = \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} $，则 $ ab^3 + a^3b $ 的值为
$\dfrac{5}{8}$
。答案
$\dfrac{5}{8}$
解析
【分析】
观察所求代数式$ab^3+a^3b$的结构，直接代入$a$、$b$计算高次幂运算繁琐，可先通过因式分解将式子变形为含$a+b$、$ab$的形式，再整体代入计算。解题思路：1. 对所求式子先提公因式，再结合完全平方公式变形；2. 利用二次根式的加减、乘法法则分别计算$a+b$、$ab$的值，借助平方差公式计算$ab$可简化运算；3. 将$a+b$、$ab$的结果整体代入变形后的式子求出最终值。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解变形：
$ab^3 + a^3b = ab(a^2 + b^2) = ab[(a+b)^2 - 2ab]$
1. 计算$a+b$的值：
$a+b = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
2. 计算$ab$的值：
$ab = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2} × \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2} = \dfrac{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}{4} = \dfrac{3-2}{4} = \dfrac{1}{4}$
3. 整体代入计算：
原式$= \dfrac{1}{4} × [(\sqrt{3})^2 - 2 × \dfrac{1}{4}] = \dfrac{1}{4} × (3 - \dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{4} × \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{8}$
【答案】
$\dfrac{5}{8}$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是通过因式分解将高次式转化为含$a+b$、$ab$的低次式，运用整体代入思想简化运算，是二次根式混合运算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
观察所求代数式$ab^3+a^3b$的结构，直接代入$a$、$b$计算高次幂运算繁琐，可先通过因式分解将式子变形为含$a+b$、$ab$的形式，再整体代入计算。解题思路：1. 对所求式子先提公因式，再结合完全平方公式变形；2. 利用二次根式的加减、乘法法则分别计算$a+b$、$ab$的值，借助平方差公式计算$ab$可简化运算；3. 将$a+b$、$ab$的结果整体代入变形后的式子求出最终值。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解变形：
$ab^3 + a^3b = ab(a^2 + b^2) = ab[(a+b)^2 - 2ab]$
1. 计算$a+b$的值：
$a+b = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
2. 计算$ab$的值：
$ab = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2} × \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2} = \dfrac{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}{4} = \dfrac{3-2}{4} = \dfrac{1}{4}$
3. 整体代入计算：
原式$= \dfrac{1}{4} × [(\sqrt{3})^2 - 2 × \dfrac{1}{4}] = \dfrac{1}{4} × (3 - \dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{4} × \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{8}$
【答案】
$\dfrac{5}{8}$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是通过因式分解将高次式转化为含$a+b$、$ab$的低次式，运用整体代入思想简化运算，是二次根式混合运算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
7 对于任意实数a、b，定义一种运算“⊗”如下：$a \otimes b = a(a - b) + b(a + b)$，如$3 \otimes 2 = 3 × (3 - 2) + 2 × (3 + 2) = 13$，那么$\sqrt{3} \otimes \sqrt{2} =$
5
。答案
5
解析
【分析】
这是一道新定义运算结合二次根式运算的题目，解题思路如下：首先读懂新运算“⊗”的规则：$a \otimes b = a(a - b) + b(a + b)$，即运算结果等于第一个数乘它与第二个数的差，加上第二个数乘它与第一个数的和；接下来将$a=\sqrt{3}$、$b=\sqrt{2}$代入运算公式，再按照二次根式的乘法、加减运算法则逐步计算，注意计算时先展开括号，再合并同类项，互为相反数的项可以直接抵消。
【解析】
根据新运算的定义，将$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$代入公式得：
$\begin{aligned}\sqrt{3} \otimes \sqrt{2}&=\sqrt{3} × (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \sqrt{2} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=(\sqrt{3} × \sqrt{3} - \sqrt{3} × \sqrt{2}) + (\sqrt{2} × \sqrt{3} + \sqrt{2} × \sqrt{2})\\&=(3 - \sqrt{6}) + (\sqrt{6} + 2)\\&=3 - \sqrt{6} + \sqrt{6} + 2\\&=3+2\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
新定义运算、二次根式的混合运算
【点评】
本题属于基础题，核心是理解新运算的规则，再结合二次根式的运算法则计算即可，运算过程中注意符号和同类项的合并，难度较低。
【难度系数】
0.9
这是一道新定义运算结合二次根式运算的题目，解题思路如下：首先读懂新运算“⊗”的规则：$a \otimes b = a(a - b) + b(a + b)$，即运算结果等于第一个数乘它与第二个数的差，加上第二个数乘它与第一个数的和；接下来将$a=\sqrt{3}$、$b=\sqrt{2}$代入运算公式，再按照二次根式的乘法、加减运算法则逐步计算，注意计算时先展开括号，再合并同类项，互为相反数的项可以直接抵消。
【解析】
根据新运算的定义，将$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$代入公式得：
$\begin{aligned}\sqrt{3} \otimes \sqrt{2}&=\sqrt{3} × (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \sqrt{2} × (\sqrt{3}+\sqrt{2})\\&=(\sqrt{3} × \sqrt{3} - \sqrt{3} × \sqrt{2}) + (\sqrt{2} × \sqrt{3} + \sqrt{2} × \sqrt{2})\\&=(3 - \sqrt{6}) + (\sqrt{6} + 2)\\&=3 - \sqrt{6} + \sqrt{6} + 2\\&=3+2\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
新定义运算、二次根式的混合运算
【点评】
本题属于基础题，核心是理解新运算的规则，再结合二次根式的运算法则计算即可，运算过程中注意符号和同类项的合并，难度较低。
【难度系数】
0.9
8 按如图所示的运算程序计算，若输入“3”，则输出的结果是
3
。答案
3
解析
【分析】
解题时首先按照运算程序的顺序逐步计算：第一步将输入的3除以√3，第二步将所得结果减去√2，接着判断该结果与1的大小关系，根据判断结果选择对应的乘法算式，最后化简计算即可。计算过程中可以先化简二次根式，再观察式子特点利用平方差公式简化运算，提高准确率。
【解析】
当输入值为3时：
1. 第一步运算：$ 3÷\sqrt{3}=\sqrt{3} $
2. 第二步运算：$ \sqrt{3}-\sqrt{2} $
3. 判断大小：$ \sqrt{3}\approx1.732 $，$ \sqrt{2}\approx1.414 $，因此$ \sqrt{3}-\sqrt{2}\approx0.318＜1 $，选择乘$ (\sqrt{27}+\sqrt{18}) $
4. 化简计算：
先化简二次根式：$ \sqrt{27}=3\sqrt{3} $，$ \sqrt{18}=3\sqrt{2} $，则$ \sqrt{27}+\sqrt{18}=3\sqrt{3}+3\sqrt{2}=3(\sqrt{3}+\sqrt{2}) $
代入算式得：
$ (\sqrt{3}-\sqrt{2})×3(\sqrt{3}+\sqrt{2}) $
利用平方差公式$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $计算：
$ =3×[(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2] $
$ =3×(3-2) $
$ =3×1=3 $
【答案】
3
【知识点】
二次根式的运算，平方差公式，实数的大小比较
【点评】
本题结合程序框图考查二次根式的混合运算，解题的核心是读懂运算流程，准确化简二次根式，合理运用乘法公式简化计算，避免复杂的根式运算出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先按照运算程序的顺序逐步计算：第一步将输入的3除以√3，第二步将所得结果减去√2，接着判断该结果与1的大小关系，根据判断结果选择对应的乘法算式，最后化简计算即可。计算过程中可以先化简二次根式，再观察式子特点利用平方差公式简化运算，提高准确率。
【解析】
当输入值为3时：
1. 第一步运算：$ 3÷\sqrt{3}=\sqrt{3} $
2. 第二步运算：$ \sqrt{3}-\sqrt{2} $
3. 判断大小：$ \sqrt{3}\approx1.732 $，$ \sqrt{2}\approx1.414 $，因此$ \sqrt{3}-\sqrt{2}\approx0.318＜1 $，选择乘$ (\sqrt{27}+\sqrt{18}) $
4. 化简计算：
先化简二次根式：$ \sqrt{27}=3\sqrt{3} $，$ \sqrt{18}=3\sqrt{2} $，则$ \sqrt{27}+\sqrt{18}=3\sqrt{3}+3\sqrt{2}=3(\sqrt{3}+\sqrt{2}) $
代入算式得：
$ (\sqrt{3}-\sqrt{2})×3(\sqrt{3}+\sqrt{2}) $
利用平方差公式$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $计算：
$ =3×[(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2] $
$ =3×(3-2) $
$ =3×1=3 $
【答案】
3
【知识点】
二次根式的运算，平方差公式，实数的大小比较
【点评】
本题结合程序框图考查二次根式的混合运算，解题的核心是读懂运算流程，准确化简二次根式，合理运用乘法公式简化计算，避免复杂的根式运算出错。
【难度系数】
0.7
9 已知$a - b = \sqrt{2}$，$a - c = 2$，则代数式$(b - c)^2 + (b - c) + 4 =$
$12-5\sqrt{2}$
。答案
$12-5\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先观察已知的两个等式均含有字母a，我们可以通过两个等式作差消去a，求出b - c的取值，再将b - c整体代入待求的代数式中，按照二次根式的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
已知$a - b = \sqrt{2}$ ①，$a - c = 2$ ②，
用②式减去①式可得：
$(a - c) - (a - b) = 2 - \sqrt{2}$
左边去括号化简得：$a - c - a + b = b - c$，
因此$b - c = 2 - \sqrt{2}$。
将$b - c = 2 - \sqrt{2}$代入代数式$(b - c)^2 + (b - c) + 4$中：
先计算$(b - c)^2 = (2 - \sqrt{2})^2 = 2^2 - 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2}$，
再代入原式得：
$\begin{aligned}&(6 - 4\sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) + 4\\=&6 - 4\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 4\\=&(6 + 2 + 4) + (-4\sqrt{2} - \sqrt{2})\\=&12 - 5\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$12-5\sqrt{2}$
【知识点】
代数式求值；二次根式混合运算；整体代入思想
【点评】
本题解题核心是利用两个已知等式作差求出$b-c$的值，体现了整体代入的数学思想，计算时要注意完全平方公式的正确展开，合并同类二次根式时不要出现符号或系数计算错误。
【难度系数】
0.7
首先观察已知的两个等式均含有字母a，我们可以通过两个等式作差消去a，求出b - c的取值，再将b - c整体代入待求的代数式中，按照二次根式的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
已知$a - b = \sqrt{2}$ ①，$a - c = 2$ ②，
用②式减去①式可得：
$(a - c) - (a - b) = 2 - \sqrt{2}$
左边去括号化简得：$a - c - a + b = b - c$，
因此$b - c = 2 - \sqrt{2}$。
将$b - c = 2 - \sqrt{2}$代入代数式$(b - c)^2 + (b - c) + 4$中：
先计算$(b - c)^2 = (2 - \sqrt{2})^2 = 2^2 - 2×2×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2}$，
再代入原式得：
$\begin{aligned}&(6 - 4\sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) + 4\\=&6 - 4\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + 4\\=&(6 + 2 + 4) + (-4\sqrt{2} - \sqrt{2})\\=&12 - 5\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$12-5\sqrt{2}$
【知识点】
代数式求值；二次根式混合运算；整体代入思想
【点评】
本题解题核心是利用两个已知等式作差求出$b-c$的值，体现了整体代入的数学思想，计算时要注意完全平方公式的正确展开，合并同类二次根式时不要出现符号或系数计算错误。
【难度系数】
0.7
10 已知$xy=3$，那么$x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}}$的值是
$\pm2\sqrt{3}$
。答案
$\pm2\sqrt{3}$ ［提示:因为$xy=3$,所以$x$、$y$同号。① 当$x$、$y$同为正数时,$x\sqrt{\dfrac{y}{x}}+y\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}=2\sqrt{xy}=2\sqrt{3}$;② 当$x$、$y$同为负数时,$x\sqrt{\dfrac{y}{x}}+y\sqrt{\dfrac{x}{y}}=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}=-2\sqrt{xy}=-2\sqrt{3}$。所以原式$=\pm2\sqrt{3}$。］
解析
【分析】
要解决本题，首先需根据二次根式有意义的条件及已知$xy=3$判断$x$、$y$的符号关系：二次根式的被开方数必须非负，因此$\dfrac{y}{x}≥0$、$\dfrac{x}{y}≥0$，结合$xy=3＞0$，可得出$x$、$y$同号（均为正或均为负）。接下来利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$对原式进行化简，分$x$、$y$同正、同负两种情况分别计算，最后汇总结果即可。
【解析】
$\because xy=3＞0$，$\therefore x$、$y$同号，且$x≠0$，$y≠0$，原式中二次根式有意义，分两种情况讨论：
① 当$x＞0$，$y＞0$时：
$x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} = \sqrt{x^2·\dfrac{y}{x}} + \sqrt{y^2·\dfrac{x}{y}} = \sqrt{xy} + \sqrt{xy} = 2\sqrt{xy}$
将$xy=3$代入得：$2\sqrt{3}$；
② 当$x＜0$，$y＜0$时：
$x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} = -\sqrt{x^2·\dfrac{y}{x}} - \sqrt{y^2·\dfrac{x}{y}} = -\sqrt{xy} - \sqrt{xy} = -2\sqrt{xy}$
将$xy=3$代入得：$-2\sqrt{3}$；
综上，原式的值为$\pm2\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm2\sqrt{3}$
【知识点】
1.二次根式的性质
2.二次根式化简运算
3.分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略$x$、$y$同为负数的情况，只计算出正的结果导致漏解。解题时需先根据已知条件确定未知数的符号范围，再结合二次根式的性质分类讨论计算，注意开根号后结果的非负性与原式系数符号的匹配。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需根据二次根式有意义的条件及已知$xy=3$判断$x$、$y$的符号关系：二次根式的被开方数必须非负，因此$\dfrac{y}{x}≥0$、$\dfrac{x}{y}≥0$，结合$xy=3＞0$，可得出$x$、$y$同号（均为正或均为负）。接下来利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$对原式进行化简，分$x$、$y$同正、同负两种情况分别计算，最后汇总结果即可。
【解析】
$\because xy=3＞0$，$\therefore x$、$y$同号，且$x≠0$，$y≠0$，原式中二次根式有意义，分两种情况讨论：
① 当$x＞0$，$y＞0$时：
$x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} = \sqrt{x^2·\dfrac{y}{x}} + \sqrt{y^2·\dfrac{x}{y}} = \sqrt{xy} + \sqrt{xy} = 2\sqrt{xy}$
将$xy=3$代入得：$2\sqrt{3}$；
② 当$x＜0$，$y＜0$时：
$x\sqrt{\dfrac{y}{x}} + y\sqrt{\dfrac{x}{y}} = -\sqrt{x^2·\dfrac{y}{x}} - \sqrt{y^2·\dfrac{x}{y}} = -\sqrt{xy} - \sqrt{xy} = -2\sqrt{xy}$
将$xy=3$代入得：$-2\sqrt{3}$；
综上，原式的值为$\pm2\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm2\sqrt{3}$
【知识点】
1.二次根式的性质
2.二次根式化简运算
3.分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略$x$、$y$同为负数的情况，只计算出正的结果导致漏解。解题时需先根据已知条件确定未知数的符号范围，再结合二次根式的性质分类讨论计算，注意开根号后结果的非负性与原式系数符号的匹配。
【难度系数】
0.6
11 计算：
(1) $\sqrt{30} × \frac{3}{2}\sqrt{2\frac{2}{3}} ÷ 2\sqrt{2\frac{1}{2}}$；
(2) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6})$；
(3) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$。
(1) $\sqrt{30} × \frac{3}{2}\sqrt{2\frac{2}{3}} ÷ 2\sqrt{2\frac{1}{2}}$；
(2) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6})$；
(3) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$。
答案
(1) $3\sqrt{2}$ (2) $-12\sqrt{2}$ (3) $4\sqrt{ab}$
解析
【分析】
这三道题均属于二次根式的混合运算，解题思路如下：
1. 第(1)题是二次根式的乘除混合运算，先把式子中的带分数化为假分数，再将系数和二次根式部分分别计算，最后化简结果即可；
2. 第(2)题是二次根式的多项式乘法，观察式子特征，将相同项$2\sqrt{3}-\sqrt{6}$看作整体、相反项$\pm3\sqrt{2}$分开，可直接套用平方差公式简化计算，再展开完全平方即可，无需逐项相乘；
3. 第(3)题是两个完全平方式的差，既可直接展开两个完全平方再合并同类项，也可直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化计算，后者计算量更小。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：
原式$=\sqrt{30} × \frac{3}{2}\sqrt{\frac{8}{3}} ÷ 2\sqrt{\frac{5}{2}}$
将系数、二次根式分别运算：
$=(1 × \frac{3}{2} ÷ 2) × \sqrt{30 × \frac{8}{3} ÷ \frac{5}{2}}$
计算系数和被开方数：
$=\frac{3}{4} × \sqrt{30 × \frac{8}{3} × \frac{2}{5}}$
$=\frac{3}{4} × \sqrt{32}$
化简$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，代入得：
$=\frac{3}{4} ×4\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
(2) 观察式子结构，分组构造平方差公式：
原式$=[(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) - 3\sqrt{2}][(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) + 3\sqrt{2}]$
套用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$：
$=(2\sqrt{3} - \sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2$
展开完全平方、计算乘方：
$=(2\sqrt{3})^2 - 2×2\sqrt{3}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 - 18$
$=12 -4\sqrt{18} +6 -18$
化简$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，合并同类项：
$= -4×3\sqrt{2} = -12\sqrt{2}$
(3) 选用平方差公式计算：
原式$=[(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})][(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})]$
化简括号内的项：
$=2\sqrt{a} × 2\sqrt{b} =4\sqrt{ab}$
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$；(2) $-12\sqrt{2}$；(3) $4\sqrt{ab}$
【知识点】
二次根式乘除运算，乘法公式应用，二次根式化简
【点评】
这组题目是二次根式混合运算的常规题型，核心考查二次根式的运算法则以及整式乘法公式在二次根式运算中的迁移应用，解题时优先观察式子特征，合理选用公式可大幅降低计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于二次根式的混合运算，解题思路如下：
1. 第(1)题是二次根式的乘除混合运算，先把式子中的带分数化为假分数，再将系数和二次根式部分分别计算，最后化简结果即可；
2. 第(2)题是二次根式的多项式乘法，观察式子特征，将相同项$2\sqrt{3}-\sqrt{6}$看作整体、相反项$\pm3\sqrt{2}$分开，可直接套用平方差公式简化计算，再展开完全平方即可，无需逐项相乘；
3. 第(3)题是两个完全平方式的差，既可直接展开两个完全平方再合并同类项，也可直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化计算，后者计算量更小。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：
原式$=\sqrt{30} × \frac{3}{2}\sqrt{\frac{8}{3}} ÷ 2\sqrt{\frac{5}{2}}$
将系数、二次根式分别运算：
$=(1 × \frac{3}{2} ÷ 2) × \sqrt{30 × \frac{8}{3} ÷ \frac{5}{2}}$
计算系数和被开方数：
$=\frac{3}{4} × \sqrt{30 × \frac{8}{3} × \frac{2}{5}}$
$=\frac{3}{4} × \sqrt{32}$
化简$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，代入得：
$=\frac{3}{4} ×4\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
(2) 观察式子结构，分组构造平方差公式：
原式$=[(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) - 3\sqrt{2}][(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) + 3\sqrt{2}]$
套用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$：
$=(2\sqrt{3} - \sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2$
展开完全平方、计算乘方：
$=(2\sqrt{3})^2 - 2×2\sqrt{3}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 - 18$
$=12 -4\sqrt{18} +6 -18$
化简$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，合并同类项：
$= -4×3\sqrt{2} = -12\sqrt{2}$
(3) 选用平方差公式计算：
原式$=[(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})][(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})]$
化简括号内的项：
$=2\sqrt{a} × 2\sqrt{b} =4\sqrt{ab}$
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$；(2) $-12\sqrt{2}$；(3) $4\sqrt{ab}$
【知识点】
二次根式乘除运算，乘法公式应用，二次根式化简
【点评】
这组题目是二次根式混合运算的常规题型，核心考查二次根式的运算法则以及整式乘法公式在二次根式运算中的迁移应用，解题时优先观察式子特征，合理选用公式可大幅降低计算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
