1.「2026 江苏苏州期末」
(1)如图,已知点 C 在线段 AB 上,且 AC=6 cm, BC=4 cm,点 M,N 分别是 AC,BC 的中点,求线段 MN 的长度.

(2)对于(1)题,如果将“点 C 在线段 AB 上”改写成“点 C 在线段 AB 的延长线上”,其他条件不变,画出图形并求线段 MN 的长度.

解：
(1) ∵ 点M是AC的中点，AC=6 cm，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
∵ 点N是BC的中点，BC=4 cm，
∴ $NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
∴ $MN=MC+NC=3+2=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 所画图形如下，点从左到右的顺序为：$A---B---M---N---C$
∵ 点M是AC的中点，AC=6 cm，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
∵ 点N是BC的中点，BC=4 cm，
∴ $NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
∴ $MN=MC-NC=3-2=1\ \mathrm{cm}$。
答：(1) 线段MN的长度为5 cm；(2) 线段MN的长度为1 cm。

【分析】
(1) 已知点M、N分别是AC、BC的中点，根据线段中点的性质，可先求出MC和NC的长度，观察点的位置可知线段MN由MC和NC拼接而成，用MC加NC即可求得MN的长度。
(2) 当点C在线段AB的延长线上时，先按点的位置顺序画图，此时点N在M和C之间，MN的长度为MC与NC的差，同样先利用中点性质求出MC、NC，再作差计算即可。
【解析】
(1)
∵ 点M是AC的中点，AC=6 cm，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
∵ 点N是BC的中点，BC=4 cm，
∴ $NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
∴ $MN=MC+NC=3+2=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 所画图形点从左到右的顺序为：$A---B---M---N---C$
∵ 点M是AC的中点，AC=6 cm，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
∵ 点N是BC的中点，BC=4 cm，
∴ $NC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
∴ $MN=MC-NC=3-2=1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 线段MN的长度为5 cm；(2) 线段MN的长度为1 cm。
【知识点】
线段中点的性质、线段的和差计算
【点评】
本题重点考查线段中点的应用，解题时需先明确各点的位置关系，根据位置判断线段的和差形式再代入计算，有利于培养分类讨论的几何思维。
【难度系数】
0.8

2.「2025安徽合肥庐江期末」如图,已知线段$AB=a$,点$C,D$在线段$AB$上,$CD=b$,点$E$是$AC$的中点,点$F$是$BD$的中点.
(1)若$a=18\ \mathrm{cm},b=4\ \mathrm{cm}$,当$AC=6\ \mathrm{cm}$时,求线段$EF$的长度.
(2)当线段$CD$在线段$AB$上运动时,试判断线段$EF$的长度是否发生变化,如果不变,请求出线段$EF$的长度;如果变化,请说明理由.

解：
(1) 已知$AB=18\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD = AB - AC - CD = 18 - 6 - 4 = 8\ \mathrm{cm}$。
∵ 点$E$是$AC$的中点，
$\therefore EC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
∵ 点$F$是$BD$的中点，
$\therefore DF = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$。
$\therefore EF = EC + CD + DF = 3 + 4 + 4 = 11\ \mathrm{cm}$。
(2) 线段$EF$的长度不发生变化。
由线段和差关系可得：$AC + BD = AB - CD = a - b$。
∵ 点$E$是$AC$的中点，
$\therefore EC = \frac{1}{2}AC$。
∵ 点$F$是$BD$的中点，
$\therefore DF = \frac{1}{2}BD$。
$\therefore EC + DF = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{1}{2}(a - b)$。
$\therefore EF = EC + CD + DF = \frac{1}{2}(a - b) + b = \frac{a + b}{2}$。
即线段$EF$的长度为$\frac{a + b}{2}$，不随线段$CD$的运动发生变化。

【分析】
（1）求解第一问时，先观察EF的线段组成：EF由EC、CD、DF三段拼接而成，因此只需分别求出这三段的长度再求和即可。首先根据已知的AB、AC、CD长度，通过线段和差关系算出BD的长度；再利用线段中点的性质，E是AC中点则EC为AC的一半，F是BD中点则DF为BD的一半，最后将三段长度相加即可得到EF的长度。
（2）判断第二问EF长度是否变化时，采用整体思想分析：先将AC+BD看作整体，用AB-CD表示出这个整体的长度，再利用中点性质得到EC+DF等于AC+BD的一半，最后代入EF=EC+CD+DF的关系式化简，若结果仅和已知的a、b有关，说明EF长度为定值，不随CD运动变化。
【解析】
(1) 已知$AB=18\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD = AB - AC - CD = 18 - 6 - 4 = 8\ \mathrm{cm}$。
∵ 点$E$是$AC$的中点，
$\therefore EC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
∵ 点$F$是$BD$的中点，
$\therefore DF = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$。
$\therefore EF = EC + CD + DF = 3 + 4 + 4 = 11\ \mathrm{cm}$。
(2) 线段$EF$的长度不发生变化。
由线段和差关系可得：$AC + BD = AB - CD = a - b$。
∵ 点$E$是$AC$的中点，
$\therefore EC = \frac{1}{2}AC$。
∵ 点$F$是$BD$的中点，
$\therefore DF = \frac{1}{2}BD$。
$\therefore EC + DF = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{1}{2}(a - b)$。
$\therefore EF = EC + CD + DF = \frac{1}{2}(a - b) + b = \frac{a + b}{2}$。
即线段$EF$的长度为$\frac{a + b}{2}$，不随线段$CD$的运动发生变化。
【答案】
(1) $\boldsymbol{11\ \mathrm{cm}}$；
(2) 线段$EF$的长度不发生变化，长度为$\boldsymbol{\frac{a + b}{2}}$。
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、整体代入思想
【点评】
本题是线段计算的典型题型，包含静态求值和动态定值探究两类考法，核心考查对线段中点性质的应用，以及拆分、合并线段的能力，第二问运用整体思想可以避免被CD运动的变量干扰，快速得出定值结论。
【难度系数】
0.7

3.如图，OD平分∠AOC，OE平分∠COB.
(1)若∠AOB=110°,求∠DOE的度数.
(2)若∠DOB=80°,∠DOE=60°,求∠DOA的度数.

(1) 因为OD平分∠AOC,OE平分∠COB,
所以∠DOC=1/2∠AOC,∠COE=1/2∠BOC,
所以∠DOE = ∠DOC+∠COE = 1/2∠AOC+1/2∠BOC = 1/2∠AOB=1/2×110°=55°.
(2) 因为∠DOB=80°,∠DOE=60°,
所以∠BOE=∠DOB-∠DOE=80°-60°=20°,
因为OE平分∠COB,
所以∠BOC=2∠BOE=2×20°=40°,
所以∠DOC=∠DOB-∠BOC=80°-40°=40°.
因为OD平分∠AOC,所以∠DOA=∠DOC=40°.

【分析】
本题考查双角平分线模型下的角度计算：
(1) 解题时先利用角平分线的定义，得到∠DOC是∠AOC的一半、∠COE是∠BOC的一半，观察可知∠DOE=∠DOC+∠COE，合并后可发现∠DOE等于∠AOB的一半，代入∠AOB的度数即可计算出结果。
(2) 先通过已知的∠DOB和∠DOE作差求出∠BOE的度数，再根据角平分线的定义得到∠BOC=2∠BOE，算出∠BOC的度数后，用∠DOB减去∠BOC得到∠DOC的度数，最后利用OD平分∠AOC的性质，得到∠DOA=∠DOC，即可求出答案。
【解析】
(1) 因为OD平分∠AOC，OE平分∠COB，
所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$，
所以$∠ DOE = ∠ DOC+∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$，
将$∠ AOB=110°$代入得：$∠ DOE=\frac{1}{2}×110°=55°$。
(2) 因为$∠ DOB=80°$，$∠ DOE=60°$，
所以$∠ BOE=∠ DOB-∠ DOE=80°-60°=20°$，
因为OE平分$∠ COB$，
所以$∠ BOC=2∠ BOE=2×20°=40°$，
所以$∠ DOC=∠ DOB-∠ BOC=80°-40°=40°$，
因为OD平分$∠ AOC$，
所以$∠ DOA=∠ DOC=40°$。
【答案】
(1) $\boxed{55°}$；(2) $\boxed{40°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，双角平分线模型
【点评】
本题是双角平分线模型的典型应用题目，解题的关键是灵活运用角平分线的定义实现角度的倍分转换，结合角的和差关系沟通已知角与未知角的联系，掌握这类通用模型能快速解决同类型的角度计算问题。
【难度系数】
0.75

4.「2026安徽宣城期末」如图，已知OB,OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.
(1)若∠AOD=96°,∠BOC=40°,求∠MON的度数.
(2)若∠AOD=α,∠MON=β,求∠BOC的度数.
(用含α,β的式子表示)

(1) 因为OM平分∠AOB,ON平分∠COD,
所以∠AOM = ∠BOM = 1/2 ∠AOB, ∠DON = ∠CON = 1/2 ∠COD.
因为∠AOD=96°,∠BOC=40°,
所以∠AOB+∠COD=96°-40°=56°,
所以∠BOM + ∠CON = 1/2 ∠AOB + 1/2 ∠COD = 1/2 ×56°=28°,
所以∠MON=∠BOC+∠BOM+∠CON=40°+28°=68°.
(2) 因为OM平分∠AOB,ON平分∠COD,所以∠AOM=∠BOM=1/2∠AOB,∠DON=∠CON=1/2∠COD,
因为∠AOD=α,∠MON=β,
所以∠AOM+∠DON=∠AOD-∠MON=α-β,
所以∠BOC = ∠MON-(∠BOM+∠CON) = ∠MON-(∠AOM+∠DON)=β-(α-β)=2β-α.

【分析】
本题属于双角平分线模型的角度计算问题，解题时先利用角平分线的性质得到相等的角，再结合角的和差关系转化待求角与已知角的联系即可求解。
(1) 求∠MON时，观察图形可知∠MON由∠BOC、∠BOM、∠CON三部分组成，已知∠BOC的度数，只需结合角平分线性质求出∠BOM+∠CON的和即可：先算∠AOB+∠COD=∠AOD-∠BOC，再由角平分线得∠BOM+∠CON是∠AOB+∠COD的一半，最后相加得到∠MON。
(2) 求∠BOC时，先根据∠AOD和∠MON的度数求出∠AOM+∠DON的和，再结合角平分线性质得∠BOM+∠CON=∠AOM+∠DON，最后用∠MON减去∠BOM+∠CON的和就能得到∠BOC的表达式。
【解析】
(1) 因为OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
所以$∠ AOM = ∠ BOM = \frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ DON = ∠ CON = \frac{1}{2}∠ COD$。
已知$∠ AOD=96°$，$∠ BOC=40°$，
所以$∠ AOB + ∠ COD = ∠ AOD - ∠ BOC = 96° - 40° = 56°$，
则$∠ BOM + ∠ CON = \frac{1}{2}∠ AOB + \frac{1}{2}∠ COD = \frac{1}{2}×(∠ AOB + ∠ COD) = \frac{1}{2}×56° = 28°$，
因此$∠ MON = ∠ BOC + ∠ BOM + ∠ CON = 40° + 28° = 68°$。
(2) 因为OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
所以$∠ AOM = ∠ BOM = \frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ DON = ∠ CON = \frac{1}{2}∠ COD$。
已知$∠ AOD=α$，$∠ MON=β$，
所以$∠ AOM + ∠ DON = ∠ AOD - ∠ MON = α - β$，
又因为$∠ BOM + ∠ CON = ∠ AOM + ∠ DON = α - β$，
因此$∠ BOC = ∠ MON - (∠ BOM + ∠ CON) = β - (α - β) = 2β - α$。
【答案】
(1) $\boxed{68°}$
(2) $\boxed{2β-α}$
【知识点】
角平分线定义，角的和差计算，整体思想求值
【点评】
本题是双角平分线模型的典型考题，核心是利用角平分线的倍分关系，结合角的和差对未知角进行转化，解题过程中运用整体思想计算可简化步骤，能有效锻炼几何角度的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7