8. 学科特色 分类讨论思想 「2026甘肃定西期末，★☆」如图，$∠ AOC=∠ BOD=90°$，$OB$在$∠ AOC$的内部，$OC$在$∠ BOD$的内部，$OE$是$∠ AOB$的三等分线，若$∠ BOC=30°$，则$∠ EOD$的度数为。

答案 110°或130°
解析 因为∠AOC=90°，∠BOC=30°，
所以∠AOB=∠AOC-∠BOC=60°，
因为OE是∠AOB的三等分线，
所以∠BOE=1/3∠AOB=20°或∠BOE=2/3∠AOB=40°，
所以∠EOD = ∠BOE + ∠BOD = 20° + 90° = 110°或∠EOD=∠BOE+∠BOD=40°+90°=130°.
综上，∠EOD的度数为110°或130°.

【分析】
解题时首先从已知条件∠AOC=90°、∠BOC=30°出发，先通过角的差计算出∠AOB的度数；接下来要注意角的三等分线有两种情况：分别靠近角的两条边，因此需要分类讨论求出∠BOE的两种可能度数；最后结合已知∠BOD=90°，利用角的和的关系，将∠BOE与∠BOD相加，即可得到∠EOD的结果，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-30°=60°，
∵OE是∠AOB的三等分线，分两种情况讨论：
①当∠BOE=$\frac{1}{3}$∠AOB时，∠BOE=$\frac{1}{3}$×60°=20°，
此时∠EOD=∠BOE+∠BOD=20°+90°=110°；
②当∠BOE=$\frac{2}{3}$∠AOB时，∠BOE=$\frac{2}{3}$×60°=40°，
此时∠EOD=∠BOE+∠BOD=40°+90°=130°。
综上，∠EOD的度数为110°或130°。
【答案】
110°或130°
【知识点】
角的和差运算，角的三等分线，分类讨论思想
【点评】
本题属于角的运算的基础拓展题，解题的核心是明确角的三等分线存在两种不同情况，避免因遗漏分类导致答案不全。
【难度系数】
0.7

9. 学科特色 方程思想 「2026 山东潍坊期末改编，★☆」如图，$∠ AOB=120°$,在$∠ AOB$内作射线$OC,OM,ON,OD$,且$OM$平分$∠ AOD$,$ON$平分$∠ BOC$,若$∠ AOC:∠ COD:∠ DOB=3:1:2$,则$∠ MON$的度数为。

答案 50°
解析 因为∠AOC : ∠COD : ∠DOB = 3 : 1 : 2，所以设∠AOC=3x，∠COD=x，∠DOB=2x，因为∠AOB=120°，所以∠AOC+∠COD+∠DOB=120°，即3x+x+2x=120°，解得x=20°，所以∠AOC=3×20°=60°，∠COD=20°，∠DOB=2×20°=40°，所以∠AOD=∠AOC+∠COD=80°，∠BOC=∠COD+∠DOB=60°，因为OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，所以∠AOM=1/2∠AOD=1/2×80°=40°，∠BON=1/2∠BOC=1/2×60°=30°，所以∠MON = ∠AOB - ∠AOM - ∠BON = 120°-40°-30°=50°.

【分析】
解题时首先观察题目给出的角度比例关系，优先考虑设参数表示未知角：先根据∠AOC:∠COD:∠DOB=3:1:2，设三个角分别为3x、x、2x，再结合∠AOB=120°，利用三个角之和等于大角的和差关系列方程，求出参数x的数值，得到各小角的度数；接下来结合角平分线的定义，分别求出∠AOM和∠BON的度数，最后根据∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON的和差关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知∠AOC:∠COD:∠DOB=3:1:2，设∠AOC=3x，∠COD=x，∠DOB=2x。
∵∠AOB=∠AOC+∠COD+∠DOB=120°
∴3x+x+2x=120°
解得x=20°
由此可得：
∠AOC=3×20°=60°，∠COD=20°，∠DOB=2×20°=40°
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=60°+20°=80°，∠BOC=∠COD+∠DOB=20°+40°=60°
∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×80°=40°，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×60°=30°
∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=120°-40°-30°=50°
【答案】
50°
【知识点】
角的和差计算；角平分线的定义；比例设参求角度
【点评】
本题侧重考察角度的综合计算，将比例关系和角平分线性质结合，解题的核心是通过设参数的方程思想先求出各基础角的度数，再梳理清楚所求角与已知角的和差关系即可求解，计算时注意避免角的对应关系混淆。
【难度系数】
0.7

10.「2026安徽合肥四十五中期末改编，★☆」如图，将直角三角尺的直角顶点O落在直线AB上，射线OE平分∠BOC.
(1)如果∠AOC=60°,那么∠EOD=.
(2)如果∠AOC=α,将三角尺绕点O旋转一周(旋转过程中∠AOC与∠BOC都是大于0°且小于180°的角),求∠EOD的度数.(用含α的代数式表示)

(1)由题意可知∠COD=90°，
因为∠AOC=60°，
所以∠BOC=180°-∠AOC=120°，
因为射线OE平分∠BOC，
所以∠COE=1/2∠BOC=60°，
所以∠EOD=∠COD-∠COE=30°.故答案为30°.
(2)①当OC在AB上方时，
同(1)可得∠EOD=1/2α.
②当OC在AB下方时，
因为∠AOC=α，所以∠BOC=180°-α，
因为射线OE平分∠BOC，
所以∠COE=1/2∠BOC=90°-1/2α，
所以∠EOD=∠COD+∠COE=90°+90°-1/2α=180°-1/2α.
综上，∠EOD=1/2α或180°-1/2α.

【分析】
(1) 解题时先明确已知条件：平角∠AOB为180°，直角三角尺的∠COD=90°，OE平分∠BOC。要求∠EOD，可先根据平角定义求出∠BOC的度数，再利用角平分线的性质求出∠COE的度数，最后通过∠COD与∠COE的差计算出结果。
(2) 三角尺绕点O旋转时，OC的位置有两种可能：OC在AB上方、OC在AB下方，需分类讨论。两种情况均先根据平角定义表示出∠BOC，再由角平分线性质得到∠COE，最后结合∠COD=90°，通过角的和差关系推导∠EOD的表达式即可。
【解析】
(1) 由题意可知∠COD=90°，
因为∠AOC=60°，∠AOB是平角，度数为180°，
所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
因为射线OE平分∠BOC，
所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
所以∠EOD=∠COD-∠COE=90°-60°=30°。
(2) 分两种情况讨论：
① 当OC在AB上方时，
∠BOC=180°-α，
因为OE平分∠BOC，
所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$(180°-α)=90°-$\frac{1}{2}$α，
所以∠EOD=∠COD-∠COE=90°-(90°-$\frac{1}{2}$α)=$\frac{1}{2}$α。
② 当OC在AB下方时，
∠BOC=180°-α，
因为射线OE平分∠BOC，
所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$α，
所以∠EOD=∠COD+∠COE=90°+90°-$\frac{1}{2}$α=180°-$\frac{1}{2}$α。
【答案】
(1) 30°
(2) $\frac{1}{2}α$或$180°-\frac{1}{2}α$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题重点考查角的相关计算，解题核心是掌握角平分线的性质和角的和差运算，需要注意旋转类问题存在多种位置情况，要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7

11. 核心 素养 推理能力 如图,已知∠AOB=30°,∠COD=45°(∠COD可绕点O旋转),∠BOC=α,α为锐角,射线OM,ON分别是∠AOB和∠COD的平分线.
(1) 如图1,∠AOB在∠COD外部,当α=10°时,求∠MON的度数.
(2) 如图2,当∠NOA=90°时,求α的度数.
(3) 当α为小于15°的锐角时,请直接写出∠MON的度数(用含α的式子表示,不写探究过程).

(1)因为∠AOB=30°，∠COD=45°，射线OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线，
所以∠BOM=1/2∠AOB=1/2×30°=15°，∠CON=1/2∠COD=1/2×45°=22.5°，
因为∠BOC=α=10°，
所以∠MON=∠BOM+∠BOC+∠CON=47.5°.
(2)因为∠COD=45°，ON是∠COD的平分线，
所以∠CON=1/2∠COD=22.5°，
因为∠NOA=90°，
所以∠AOC=90°-∠NOC=67.5°，
因为∠AOB=30°，
所以α=∠BOC=67.5°-30°=37.5°.
(3)37.5°+α或37.5°-α.
详解:当∠AOB在∠COD外部时，
因为∠BOM=15°，∠CON=22.5°，
所以∠MON=∠BOM+∠BOC+∠CON=37.5°+α；
当∠AOB不在∠COD外部时，
因为∠BOM=15°，∠CON=22.5°，
所以∠MON=∠BOM+∠CON-∠BOC=37.5°-α.
综上，∠MON的度数为37.5°+α或37.5°-α.

【分析】
(1) 首先根据角平分线的定义，分别求出∠BOM和∠CON的度数，观察图形可知∠MON由∠BOM、∠BOC、∠CON三部分组成，将三个角度数相加即可求解。
(2) 先利用角平分线定义求出∠CON的度数，结合∠NOA=90°，用∠NOA减去∠CON得到∠AOC的度数，再用∠AOC减去已知的∠AOB，即可求出α的数值。
(3) 需分两种情况讨论：①当∠AOB在∠COD外部时，∠MON为三个角的和；②当∠AOB与∠COD有重叠部分时，∠MON为两个半角的和减去重叠的∠BOC，分别推导即可得到含α的表达式。
【解析】
(1) 已知∠AOB=30°，∠COD=45°，射线OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线，根据角平分线的定义可得：
$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×30°=15°$，$∠ CON=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，
又已知$α=∠ BOC=10°$，
所以$∠ MON=∠ BOM+∠ BOC+∠ CON=15°+10°+22.5°=47.5°$。
(2) 因为∠COD=45°，ON是∠COD的平分线，所以：
$∠ CON=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$，
已知∠NOA=90°，所以$∠ AOC=∠ NOA-∠ CON=90°-22.5°=67.5°$，
又因为∠AOB=30°，所以$α=∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=67.5°-30°=37.5°$。
(3) 分两种情况：
①当∠AOB在∠COD外部时，∠BOM=15°，∠CON=22.5°，则$∠ MON=∠ BOM+∠ BOC+∠ CON=37.5°+α$；
②当∠AOB不在∠COD外部时，，∠BOM=15°，∠CON=22.5°，则$∠ MON=∠ BOM+∠ CON-∠ BOC=37.5°-α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{47.5°}$；
(2) $\boldsymbol{37.5°}$；
(3) $\boldsymbol{37.5°+α}$或$\boldsymbol{37.5°-α}$。
详解:当∠AOB在∠COD外部时，
因为∠BOM=15°，∠CON=22.5°，
所以∠MON=∠BOM+∠BOC+∠CON=37.5°+α；
当∠AOB不在∠COD外部时，
因为∠BOM=15°，∠CON=22.5°，
所以∠MON=∠BOM+∠CON-∠BOC=37.5°-α.
综上，∠MON的度数为37.5°+α或37.5°-α.
【知识点】
角平分线定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查角平分线的性质和角的和差运算，第三问需要结合角的位置关系分类讨论，避免漏解，能够有效锻炼几何推理能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7