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1.「2026广东东莞月考」下列各式中，一定是二次根式的是（
A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{a+1}$
C
）A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{a+1}$
答案
A 选项中, $\sqrt{-2}$ 的被开方数为 $-2,-2＜0$,故 $\sqrt{-2}$不是二次根式;B 选项中, $\sqrt[3]{3}$ 的根指数是 3,故 $\sqrt[3]{3}$ 不是二次根式;C 选项中, $\sqrt{5}$ 符合二次根式的定义,是二次根式;D 选项中, 当 $a = -2$ 时, $a+1 = -2+1 = -1＜0$,故$\sqrt{a+1}$不一定是二次根式.故选 C.
2.下列四个数中,二次根式$\sqrt{x-1}$中$x$不可取的数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
A
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
由题意知,二次根式 $\sqrt{x-1}$ 中 $x-1≥0$, 当 $x=0$ 时,$x-1=0-1=-1＜0$,故选项 A 符合题意; 当 $x=1$ 时,$x-1=1-1=0$,故选项 B 不符合题意; 当 $x=2$ 时,$x-1=2-1=1＞0$,故选项 C 不符合题意; 当 $x=3$ 时,$x-1=3-1=2＞0$,故选项 D 不符合题意.故选 A.
3.「2025广东中考」计算$\sqrt{12} × \sqrt{3}$的结果是（
A.3
B.6
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{6}$
B
）A.3
B.6
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
原式 $=\sqrt{36}=6$.故选 B.
4.「2026湖南岳阳期中」下列各式中，与$\sqrt{2}$相乘的积为有理数的是（
A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
C
）A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
A.$\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$,是无理数,不符合题意. B.$\sqrt{2}×3=3\sqrt{2}$,是无理数,不符合题意. C.$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$,是有理数,符合题意. D.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$,是无理数,不符合题意.故选 C.
5.「2026湖南常德期中」如图，若计算$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{20}$的结果为$a$，则表示数$a$的点落在数轴上的
④
段.答案
由题意可知 $a=\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{20}=\sqrt{\frac{1}{2}×20}=\sqrt{10}$,因为 $9＜10＜16$,所以 $3＜\sqrt{10}＜4$,即 $3＜a＜4$,所以表示数 $a$ 的点落在数轴上的④段.故答案为④.
6.计算:
(1) $6\sqrt{27} × (-2\sqrt{3})$.
(2) $(2\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$.
(3) $(\sqrt{5} - \sqrt{14}) × (\sqrt{5} + \sqrt{14})$.
(4) $(\sqrt{24} - \sqrt{6}) × \sqrt{\frac{1}{6}}$.
(1) $6\sqrt{27} × (-2\sqrt{3})$.
(2) $(2\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$.
(3) $(\sqrt{5} - \sqrt{14}) × (\sqrt{5} + \sqrt{14})$.
(4) $(\sqrt{24} - \sqrt{6}) × \sqrt{\frac{1}{6}}$.
答案
(1) $6\sqrt{27} × (-2\sqrt{3}) = 6×(-2) × \sqrt{27×3} = -12×\sqrt{81} = -12×9 = -108$.
(2) $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2×2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 =8-4\sqrt{6}+3=11-4\sqrt{6}$.
(3) $(\sqrt{5}-\sqrt{14})×(\sqrt{5}+\sqrt{14}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{14})^2 =5-14=-9$.
(4) $(\sqrt{24}-\sqrt{6}) × \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{24}×\sqrt{\frac{1}{6}} - \sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{6}} =\sqrt{4}-1=2-1=1$.
(2) $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2×2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 =8-4\sqrt{6}+3=11-4\sqrt{6}$.
(3) $(\sqrt{5}-\sqrt{14})×(\sqrt{5}+\sqrt{14}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{14})^2 =5-14=-9$.
(4) $(\sqrt{24}-\sqrt{6}) × \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{24}×\sqrt{\frac{1}{6}} - \sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{6}} =\sqrt{4}-1=2-1=1$.
7.对于二次根式的除法运算，一般地，有$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
该运算法则成立的条件是 （
A.$a≥0,b≥0$
B.$a≤0,b≤0$
C.$a≥0,b＞0$
D.$a≤0,b＜0$
该运算法则成立的条件是 （
C
）A.$a≥0,b≥0$
B.$a≤0,b≤0$
C.$a≥0,b＞0$
D.$a≤0,b＜0$
答案
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ 成立的条件是每个二次根式的被开方数是非负数且分母不为 0,即 $a≥0,b＞0$.故选 C.
8.「2026 陕西渭南期末」计算$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2}$的结果是（
A.2
B.3
C.4
D.$\sqrt{2}$
A
）A.2
B.3
C.4
D.$\sqrt{2}$
答案
$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2$.故选 A.
9.计算$\frac{\sqrt{10} × \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$的结果是
5
.答案
原式 $=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5$.
10.已知一个三角形的面积为$\sqrt{12}$，一边长为$\sqrt{3}$，则这条边上的高为
4
。答案
$\sqrt{12} ×2 ÷ \sqrt{3} = 2×\sqrt{\frac{12}{3}}=4$.
11.计算:
(1)$\sqrt{27} × \sqrt{50} ÷ \sqrt{6}$.
(2)$\sqrt{1\dfrac{2}{3}} ÷ $
$ × \sqrt{1\dfrac{2}{5}}$.
(3)$2\sqrt{12} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ 5\sqrt{6}$.
(1)$\sqrt{27} × \sqrt{50} ÷ \sqrt{6}$.
(2)$\sqrt{1\dfrac{2}{3}} ÷ $
$ × \sqrt{1\dfrac{2}{5}}$.(3)$2\sqrt{12} × \dfrac{\sqrt{3}}{4} ÷ 5\sqrt{6}$.
答案
(1) 原式 $=\sqrt{27×50÷6}=\sqrt{225}=15$.
(2) 原式 $=\sqrt{\frac{5}{3} ÷ \frac{7}{3} × \frac{7}{5}} = \sqrt{\frac{5}{3} × \frac{3}{7} × \frac{7}{5}}=1$.
(3) 原式 $=\frac{2\sqrt{12}×\sqrt{3}}{4×5\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{10}$.
(2) 原式 $=\sqrt{\frac{5}{3} ÷ \frac{7}{3} × \frac{7}{5}} = \sqrt{\frac{5}{3} × \frac{3}{7} × \frac{7}{5}}=1$.
(3) 原式 $=\frac{2\sqrt{12}×\sqrt{3}}{4×5\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{10}$.
12.「★☆」下列运算正确的是 (
A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$9\sqrt{27} × \sqrt{\frac{1}{3}} = 81$
C.$\sqrt{75} ÷ \sqrt{3} = 5$
D.$-\sqrt{1\frac{2}{3}} ÷ \sqrt{\frac{5}{18}} = \sqrt{6}$
C
)A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$9\sqrt{27} × \sqrt{\frac{1}{3}} = 81$
C.$\sqrt{75} ÷ \sqrt{3} = 5$
D.$-\sqrt{1\frac{2}{3}} ÷ \sqrt{\frac{5}{18}} = \sqrt{6}$
答案
$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$,原计算错误, $9\sqrt{27} × \sqrt{\frac{1}{3}} = 9×\sqrt{27×\frac{1}{3}} =9×\sqrt{9}=9×3=27$,原计算错误, $\sqrt{75} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{75÷3} = \sqrt{25}=5$,原计算正确, $-\sqrt{1\frac{2}{3}} ÷ \sqrt{\frac{5}{18}} = -\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{18}{5}}=-\sqrt{6}$,原计算错误.故选 C.
