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9.若关于$x$的方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根是2，则$a$的值为（
A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
D
）A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
答案
9.D
解析
【分析】
解题的核心思路是利用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。首先将已知根x=2代入原方程，得到只含有未知数a的方程，再用本节课所学的直接开平方法解关于a的方程，注意开平方时结果有正负两种情况，不要漏解，最终求出a的所有可能值对应选项即可。
【解析】
∵x=2是方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$(2a - 1)^2 - 16 = 0$
移项得：$(2a - 1)^2 = 16$
直接开平方得：$2a - 1 = ±4$
分两种情况计算：
①当$2a - 1 = 4$时，
$2a = 5$，解得$a = \frac{5}{2}$
②当$2a - 1 = -4$时，
$2a = -3$，解得$a = -\frac{3}{2}$
综上，a的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
方程根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题，将根代入方程转化为新的方程求解是核心，解题时需注意开平方运算的结果有正负两个，避免漏解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心思路是利用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。首先将已知根x=2代入原方程，得到只含有未知数a的方程，再用本节课所学的直接开平方法解关于a的方程，注意开平方时结果有正负两种情况，不要漏解，最终求出a的所有可能值对应选项即可。
【解析】
∵x=2是方程$(ax-1)^2 -16=0$的一个根
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$(2a - 1)^2 - 16 = 0$
移项得：$(2a - 1)^2 = 16$
直接开平方得：$2a - 1 = ±4$
分两种情况计算：
①当$2a - 1 = 4$时，
$2a = 5$，解得$a = \frac{5}{2}$
②当$2a - 1 = -4$时，
$2a = -3$，解得$a = -\frac{3}{2}$
综上，a的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
方程根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题，将根代入方程转化为新的方程求解是核心，解题时需注意开平方运算的结果有正负两个，避免漏解即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
10. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$m-1$和$2m+4$，则$\frac{b}{a}$的值为（
A.4
B.3
C.2
D.1
A
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
10.A
解析
【分析】
首先回忆直接开平方法解一元二次方程的特点：对于方程$ax^2 = b(ab＞0)$，变形可得$x^2=\frac{b}{a}$，开平方后两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以先利用两根互为相反数的性质列方程求出参数$m$的值，再将$m$代入任意一个根，根的平方就是$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
1. 对方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形，得$x^2=\frac{b}{a}$。
因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}＞0$，用直接开平方法可得方程的两个根为$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，因此两个根互为相反数，和为0。
2. 已知方程的两个根为$m-1$和$2m+4$，根据两根之和为0列方程：
$(m-1)+(2m+4)=0$
合并同类项得$3m+3=0$，解得$m=-1$。
3. 将$m=-1$代入根$m-1$，得其中一个根为$-1-1=-2$。
因为$x^2=\frac{b}{a}$，所以$\frac{b}{a}=(-2)^2=4$。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型应用，解题的核心是掌握直接开平方法所得两根互为相反数的特点，先求参数再计算目标值，解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆直接开平方法解一元二次方程的特点：对于方程$ax^2 = b(ab＞0)$，变形可得$x^2=\frac{b}{a}$，开平方后两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以先利用两根互为相反数的性质列方程求出参数$m$的值，再将$m$代入任意一个根，根的平方就是$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
1. 对方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形，得$x^2=\frac{b}{a}$。
因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}＞0$，用直接开平方法可得方程的两个根为$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$，因此两个根互为相反数，和为0。
2. 已知方程的两个根为$m-1$和$2m+4$，根据两根之和为0列方程：
$(m-1)+(2m+4)=0$
合并同类项得$3m+3=0$，解得$m=-1$。
3. 将$m=-1$代入根$m-1$，得其中一个根为$-1-1=-2$。
因为$x^2=\frac{b}{a}$，所以$\frac{b}{a}=(-2)^2=4$。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型应用，解题的核心是掌握直接开平方法所得两根互为相反数的特点，先求参数再计算目标值，解题思路清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
11.【易错题】若$(a^2 + b^2 - 2)^2 = 25$，则$a^2 + b^2$的值为（
A.7
B.7或$-$3
C.$-$3
D.27
A
）A.7
B.7或$-$3
C.$-$3
D.27
答案
11.A
解析
【分析】
本题可先将$a^2 + b^2$看作一个整体，利用直接开平方法解方程得到两个可能的结果，再结合平方的非负性筛选出符合要求的解即可。具体思考步骤：第一步，观察方程形式是含未知数的式子的平方等于常数，符合直接开平方法的适用条件；第二步，开平方后得到两个一元一次方程，分别求解得到$a^2 + b^2$的两个候选值；第三步，根据平方数的非负性，$a^2$和$b^2$都是非负数，它们的和也必然是非负数，据此舍去负数解，得到最终结果。
【解析】
解：对等式$(a^2 + b^2 - 2)^2 = 25$两边直接开平方，得：
$a^2 + b^2 - 2 = \pm5$
分两种情况计算：
① 当$a^2 + b^2 - 2 = 5$时，移项得$a^2 + b^2 = 5 + 2 = 7$；
② 当$a^2 + b^2 - 2 = -5$时，移项得$a^2 + b^2 = -5 + 2 = -3$。
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，$b^2≥0$，
∴ $a^2 + b^2≥0$，故$a^2 + b^2 = -3$不符合题意，舍去。
综上，$a^2 + b^2 = 7$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法、平方的非负性、整体思想
【点评】
本题是易错题，易错点是容易忽略$a^2 + b^2$的非负性，误选两个解，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对求出的结果进行检验，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
本题可先将$a^2 + b^2$看作一个整体，利用直接开平方法解方程得到两个可能的结果，再结合平方的非负性筛选出符合要求的解即可。具体思考步骤：第一步，观察方程形式是含未知数的式子的平方等于常数，符合直接开平方法的适用条件；第二步，开平方后得到两个一元一次方程，分别求解得到$a^2 + b^2$的两个候选值；第三步，根据平方数的非负性，$a^2$和$b^2$都是非负数，它们的和也必然是非负数，据此舍去负数解，得到最终结果。
【解析】
解：对等式$(a^2 + b^2 - 2)^2 = 25$两边直接开平方，得：
$a^2 + b^2 - 2 = \pm5$
分两种情况计算：
① 当$a^2 + b^2 - 2 = 5$时，移项得$a^2 + b^2 = 5 + 2 = 7$；
② 当$a^2 + b^2 - 2 = -5$时，移项得$a^2 + b^2 = -5 + 2 = -3$。
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，$b^2≥0$，
∴ $a^2 + b^2≥0$，故$a^2 + b^2 = -3$不符合题意，舍去。
综上，$a^2 + b^2 = 7$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法、平方的非负性、整体思想
【点评】
本题是易错题，易错点是容易忽略$a^2 + b^2$的非负性，误选两个解，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对求出的结果进行检验，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
12.已知一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个根恰好分别是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长，则此$△ ABC$的周长为
10
。答案
12.10
解析
【分析】
解题时首先使用直接开平方法求出一元二次方程的两个根，再结合等腰三角形底和腰的属性分两种情况讨论，最后根据三角形三边关系判断两种情况是否成立，排除不符合的情况后计算对应周长即可。第一步先解方程：对$(x-3)^2=1$直接开平方得到两个解；第二步分类讨论：分别令其中一个解为底边长、另一个为腰长，列出三边长度；第三步验证三边关系：只有满足任意两边之和大于第三边的情况才有效；第四步计算符合条件的三角形周长。
【解析】
1. 解一元二次方程：
对$(x-3)^2=1$直接开平方，得$x-3=\pm1$，
即$x-3=1$或$x-3=-1$，
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
2. 分情况讨论等腰三角形的边长：
① 若底边长为2，腰长为4，此时三角形三边长为2、4、4，
验证三边关系：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形构成条件，
周长为$2+4+4=10$；
② 若底边长为4，腰长为2，此时三角形三边长为2、2、4，
验证三边关系：$2+2=4$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况。
【答案】
10
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何的综合题，需要注意分类讨论思想的应用，求出边长后一定要验证是否满足三角形的三边关系，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先使用直接开平方法求出一元二次方程的两个根，再结合等腰三角形底和腰的属性分两种情况讨论，最后根据三角形三边关系判断两种情况是否成立，排除不符合的情况后计算对应周长即可。第一步先解方程：对$(x-3)^2=1$直接开平方得到两个解；第二步分类讨论：分别令其中一个解为底边长、另一个为腰长，列出三边长度；第三步验证三边关系：只有满足任意两边之和大于第三边的情况才有效；第四步计算符合条件的三角形周长。
【解析】
1. 解一元二次方程：
对$(x-3)^2=1$直接开平方，得$x-3=\pm1$，
即$x-3=1$或$x-3=-1$，
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
2. 分情况讨论等腰三角形的边长：
① 若底边长为2，腰长为4，此时三角形三边长为2、4、4，
验证三边关系：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形构成条件，
周长为$2+4+4=10$；
② 若底边长为4，腰长为2，此时三角形三边长为2、2、4，
验证三边关系：$2+2=4$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况。
【答案】
10
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何的综合题，需要注意分类讨论思想的应用，求出边长后一定要验证是否满足三角形的三边关系，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
13. 对于实数 $ p,q $ 用符号$\min\{p,q\}$表示 $ p,q $ 两数中较小的数，例$\min\{-2,8\}=-2$，若$\min\{x^2,(x-1)^2\}=1$，则 $ x=\_\_\_\_\_\_ $。
答案
13.$-1$或$2$
解析
【分析】
首先理解新定义$\min\{p,q\}$的含义：表示$p、q$中较小的数，本题中较小的数等于1，因此需分两种情况讨论：①当$x^2$是较小的数时，满足$x^2≤(x-1)^2$且$x^2=1$；②当$(x-1)^2$是较小的数时，满足$(x-1)^2＜x^2$且$(x-1)^2=1$。分别求解两种情况的方程，再结合对应的不等式条件筛选符合要求的解即可。
【解析】
根据$\min\{x^2,(x-1)^2\}=1$，分两种情况讨论：
1. 当$x^2≤(x-1)^2$时，此时较小值为$x^2$，则：
先解不等式$x^2≤(x-1)^2$：
展开得$x^2≤ x^2-2x+1$，
消去$x^2$得$0≤-2x+1$，
移项解得$x≤\frac{1}{2}$。
再解方程$x^2=1$，直接开平方得$x=\pm1$，
结合$x≤\frac{1}{2}$的条件，舍去$x=1$，得$x=-1$。
2. 当$(x-1)^2＜x^2$时，此时较小值为$(x-1)^2$，则：
先解不等式$(x-1)^2＜x^2$：
展开得$x^2-2x+1＜x^2$，
消去$x^2$得$-2x+1＜0$，
移项解得$x＞\frac{1}{2}$。
再解方程$(x-1)^2=1$，直接开平方得$x-1=\pm1$，
解得$x=2$或$x=0$，
结合$x＞\frac{1}{2}$的条件，舍去$x=0$，得$x=2$。
综上，符合条件的$x$的值为$-1$或$2$。
【答案】
$-1$或$2$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考察一元二次方程的解法，解题关键是准确理解新定义的运算规则，合理分类讨论，求解后要注意检验解是否符合对应分类的前提条件，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.7
首先理解新定义$\min\{p,q\}$的含义：表示$p、q$中较小的数，本题中较小的数等于1，因此需分两种情况讨论：①当$x^2$是较小的数时，满足$x^2≤(x-1)^2$且$x^2=1$；②当$(x-1)^2$是较小的数时，满足$(x-1)^2＜x^2$且$(x-1)^2=1$。分别求解两种情况的方程，再结合对应的不等式条件筛选符合要求的解即可。
【解析】
根据$\min\{x^2,(x-1)^2\}=1$，分两种情况讨论：
1. 当$x^2≤(x-1)^2$时，此时较小值为$x^2$，则：
先解不等式$x^2≤(x-1)^2$：
展开得$x^2≤ x^2-2x+1$，
消去$x^2$得$0≤-2x+1$，
移项解得$x≤\frac{1}{2}$。
再解方程$x^2=1$，直接开平方得$x=\pm1$，
结合$x≤\frac{1}{2}$的条件，舍去$x=1$，得$x=-1$。
2. 当$(x-1)^2＜x^2$时，此时较小值为$(x-1)^2$，则：
先解不等式$(x-1)^2＜x^2$：
展开得$x^2-2x+1＜x^2$，
消去$x^2$得$-2x+1＜0$，
移项解得$x＞\frac{1}{2}$。
再解方程$(x-1)^2=1$，直接开平方得$x-1=\pm1$，
解得$x=2$或$x=0$，
结合$x＞\frac{1}{2}$的条件，舍去$x=0$，得$x=2$。
综上，符合条件的$x$的值为$-1$或$2$。
【答案】
$-1$或$2$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考察一元二次方程的解法，解题关键是准确理解新定义的运算规则，合理分类讨论，求解后要注意检验解是否符合对应分类的前提条件，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.7
14. 解下列方程：
(1) $(2x - 3)^2 - 144 = 0$；
(2) $x^2 + 4x + 4 = 11$；
(3) $(3x - 1)^2 = (x + 1)^2$。
(1) $(2x - 3)^2 - 144 = 0$；
(2) $x^2 + 4x + 4 = 11$；
(3) $(3x - 1)^2 = (x + 1)^2$。
答案
14. 解:(1)移项,得$(2x-3)^2=144$. 由此可得$2x-3=\pm12$,即$x_1=\frac{15}{2}$,$x_2=-\frac{9}{2}$. (2)整理,得$(x+2)^2=11$. 由此可得$x+2=\pm\sqrt{11}$,即$x+2=\sqrt{11}$,或$x+2=-\sqrt{11}$,$x_1=\sqrt{11}-2$,$x_2=-\sqrt{11}-2$. (3)由此可得$3x-1=\pm(x+1)$,即$3x-1=x+1$,或$3x-1=-(x+1)$,$x_1=1$,$x_2=0$.
解析
【分析】
这三道题均可用直接开平方法求解，解题核心是先将方程整理为“平方项=非负常数”或“两个平方项相等”的形式，再根据平方根的性质将二次方程降为一次方程求解，开平方时注意不要遗漏负的平方根。
(1) 先将常数项移到等号右侧，得到完全平方等于正数的形式，直接开平方后解两个一次方程即可；
(2) 左侧正好是完全平方式，整理后直接开平方求解；
(3) 等号两侧都是完全平方，根据“若a²=b²，则a=±b”直接开平方，分两种情况解一次方程即可。
【解析】
(1) 移项，得$(2x-3)^2=144$，
两边开平方得$2x-3=\pm12$，
即$2x-3=12$或$2x-3=-12$，
解得$x_1=\frac{15}{2}$，$x_2=-\frac{9}{2}$。
(2) 整理方程，左边因式分解得$(x+2)^2=11$，
两边开平方得$x+2=\pm\sqrt{11}$，
即$x+2=\sqrt{11}$或$x+2=-\sqrt{11}$，
解得$x_1=\sqrt{11}-2$，$x_2=-\sqrt{11}-2$。
(3) 两边开平方得$3x-1=\pm(x+1)$，
即$3x-1=x+1$或$3x-1=-(x+1)$，
当$3x-1=x+1$时，$2x=2$，解得$x_1=1$；
当$3x-1=-(x+1)$时，$4x=0$，解得$x_2=0$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{15}{2},x_2=-\frac{9}{2}$；(2)$x_1=\sqrt{11}-2,x_2=-\sqrt{11}-2$；(3)$x_1=1,x_2=0$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，掌握该方法的适用形式即可快速求解，解题时注意开平方要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
这三道题均可用直接开平方法求解，解题核心是先将方程整理为“平方项=非负常数”或“两个平方项相等”的形式，再根据平方根的性质将二次方程降为一次方程求解，开平方时注意不要遗漏负的平方根。
(1) 先将常数项移到等号右侧，得到完全平方等于正数的形式，直接开平方后解两个一次方程即可；
(2) 左侧正好是完全平方式，整理后直接开平方求解；
(3) 等号两侧都是完全平方，根据“若a²=b²，则a=±b”直接开平方，分两种情况解一次方程即可。
【解析】
(1) 移项，得$(2x-3)^2=144$，
两边开平方得$2x-3=\pm12$，
即$2x-3=12$或$2x-3=-12$，
解得$x_1=\frac{15}{2}$，$x_2=-\frac{9}{2}$。
(2) 整理方程，左边因式分解得$(x+2)^2=11$，
两边开平方得$x+2=\pm\sqrt{11}$，
即$x+2=\sqrt{11}$或$x+2=-\sqrt{11}$，
解得$x_1=\sqrt{11}-2$，$x_2=-\sqrt{11}-2$。
(3) 两边开平方得$3x-1=\pm(x+1)$，
即$3x-1=x+1$或$3x-1=-(x+1)$，
当$3x-1=x+1$时，$2x=2$，解得$x_1=1$；
当$3x-1=-(x+1)$时，$4x=0$，解得$x_2=0$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{15}{2},x_2=-\frac{9}{2}$；(2)$x_1=\sqrt{11}-2,x_2=-\sqrt{11}-2$；(3)$x_1=1,x_2=0$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，掌握该方法的适用形式即可快速求解，解题时注意开平方要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
15. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程 $ x(x+8)=4 $。
解：原方程可变形，得
$[(x+4)-4][(x+4)+4]=4$，
$(x+4)^2 - 4^2 = 4$，
$(x+4)^2 = 20$，
直接开平方，得 $ x_1=-4+2\sqrt{5}, x_2=-4-2\sqrt{5} $。
我们称这种解法为“平均数法”。
(1) 下面是小明用“平均数法”解方程 $(x+2)(x+8)=40$ 时写的解题过程：
解：原方程可变形，得
$[(x+a)-b][(x+a)+b]=40$，
$(x+a)^2 - b^2 = 40$，
$(x+a)^2 = 40 + b^2$，
直接开平方，得 $ x_1=2, x_2=-12 $。
上述解题过程中的 $ a,b $ 所表示的数分别是
(2) 请用“平均数法”解方程：$(x-2)(x+6)=4$。
如：解方程 $ x(x+8)=4 $。
解：原方程可变形，得
$[(x+4)-4][(x+4)+4]=4$，
$(x+4)^2 - 4^2 = 4$，
$(x+4)^2 = 20$，
直接开平方，得 $ x_1=-4+2\sqrt{5}, x_2=-4-2\sqrt{5} $。
我们称这种解法为“平均数法”。
(1) 下面是小明用“平均数法”解方程 $(x+2)(x+8)=40$ 时写的解题过程：
解：原方程可变形，得
$[(x+a)-b][(x+a)+b]=40$，
$(x+a)^2 - b^2 = 40$，
$(x+a)^2 = 40 + b^2$，
直接开平方，得 $ x_1=2, x_2=-12 $。
上述解题过程中的 $ a,b $ 所表示的数分别是
5
，3
；(2) 请用“平均数法”解方程：$(x-2)(x+6)=4$。
答案
15. 解:(1)5 3 (2)$(x-2)(x+6)=4$,原方程可变形,得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$,$(x+2)^2-4^2=4$,$(x+2)^2=20$,直接开平方,得$x_1=-2+2\sqrt{5}$,$x_2=-2-2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 先理解“平均数法”的核心逻辑：两个括号里的一次式，其常数项的平均数就是a，单个括号常数项与a的差的绝对值就是b。对于方程$(x+2)(x+8)=40$，两个括号的常数项是2和8，计算平均数即可得到a，再求差得到b。
(2) 解第二问时，先找$(x-2)$和$(x+6)$的常数项-2和6的平均数确定a，再计算b，将原方程变形为平方差的形式，展开后整理为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，最后直接开平方求解即可。
【解析】
(1) 对于$(x+2)(x+8)$，两个一次式的常数项为2和8：
$a=\frac{2+8}{2}=5$，$b=8-5=3$，代入验证$[(x+5)-3][(x+5)+3]=(x+2)(x+8)$，符合题意。
(2) 解方程$(x-2)(x+6)=4$：
原方程可变形为：
$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$
利用平方差公式展开得：
$(x+2)^2 - 4^2 = 4$
移项整理得：
$(x+2)^2 = 20$
直接开平方得：
$x+2=±2\sqrt{5}$
解得$x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 5，3；(2) $x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义题型，需要先读懂给定的“平均数法”的运算规则，其本质是借助平方差公式简化方程变形过程，解题时只要准确计算两个一次式常数项的平均数，熟练掌握平方差公式和开平方运算即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 先理解“平均数法”的核心逻辑：两个括号里的一次式，其常数项的平均数就是a，单个括号常数项与a的差的绝对值就是b。对于方程$(x+2)(x+8)=40$，两个括号的常数项是2和8，计算平均数即可得到a，再求差得到b。
(2) 解第二问时，先找$(x-2)$和$(x+6)$的常数项-2和6的平均数确定a，再计算b，将原方程变形为平方差的形式，展开后整理为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，最后直接开平方求解即可。
【解析】
(1) 对于$(x+2)(x+8)$，两个一次式的常数项为2和8：
$a=\frac{2+8}{2}=5$，$b=8-5=3$，代入验证$[(x+5)-3][(x+5)+3]=(x+2)(x+8)$，符合题意。
(2) 解方程$(x-2)(x+6)=4$：
原方程可变形为：
$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$
利用平方差公式展开得：
$(x+2)^2 - 4^2 = 4$
移项整理得：
$(x+2)^2 = 20$
直接开平方得：
$x+2=±2\sqrt{5}$
解得$x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 5，3；(2) $x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义题型，需要先读懂给定的“平均数法”的运算规则，其本质是借助平方差公式简化方程变形过程，解题时只要准确计算两个一次式常数项的平均数，熟练掌握平方差公式和开平方运算即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
