11. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$AD// OC$且$∠ ODA=55°$，则$∠ BOC$等于（）

A.$105°$
B.$115°$
C.$125°$
D.$135°$

11. C

【分析】
解题思路如下：第一步，根据圆的半径相等，可得OA=OD，因此△OAD是等腰三角形，结合已知∠ODA=55°，可求出∠OAD的度数；第二步，根据AD//OC，利用平行线内错角相等的性质，求出∠AOC的度数；第三步，由于AB是直径，∠AOB为平角180°，用180°减去∠AOC的度数即可得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵ OA、OD均为⊙O的半径
∴ OA=OD，△OAD为等腰三角形
∴ ∠OAD=∠ODA=55°
∵ AD//OC
∴ ∠AOC=∠OAD=55°（两直线平行，内错角相等）
∵ AB是⊙O的直径，∠AOB=180°
∴ ∠BOC=180°-∠AOC=180°-55°=125°
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，综合了圆、平行线、等腰三角形的相关性质，解题的关键是理清各角之间的数量关系，熟练运用相关性质进行推导，整体计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7

12.如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点).若以点A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内,则r的取值范围为 ()

A.$2\sqrt{2}＜r＜\sqrt{17}$
B.$\sqrt{17}＜r≤3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{17}＜r＜5$
D.$5＜r＜\sqrt{29}$

12. B

【分析】
要解决本题，首先需明确点与圆的位置关系判定规则：设点到圆心的距离为d，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。我们的解题思路是：第一步用勾股定理计算所有除点A外的格点到A的距离，第二步将这些距离从小到大排序，第三步结合“恰好3个点在圆内”的条件，确定r的取值范围：r要大于第3个较小的距离，同时小于等于第4个较小的距离，保证前3个点在圆内、其余点在圆上或圆外。
【解析】
利用勾股定理计算各格点到点A的距离：
1. 有2个格点到A的距离为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
2. 有1个格点到A的距离为$\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$；
3. 有1个格点到A的距离为$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$；
4. 剩余格点到A的距离为5、$\sqrt{29}$等，均大于$3\sqrt{2}$。
将距离从小到大排序为：$2\sqrt{2}＜2\sqrt{2}＜\sqrt{17}＜3\sqrt{2}＜5＜\dots$
要恰好有3个点在圆内，需满足：前3个点的距离小于r，第4个及之后的点距离不小于r，因此$\sqrt{17}＜r\le3\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
点与圆的位置关系；勾股定理的应用
【点评】
本题结合网格场景考查点和圆的位置关系，解题关键是准确计算格点到圆心的距离，需注意边界值的取舍：当$r=3\sqrt{2}$时，对应格点在圆上，不属于圆内，因此取值范围要包含该等号，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.6

13. 如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，AB，CD的延长线交于点E，AB=2DE. 若$△ COD$为直角三角形，则$∠ E$的度数为°。

13. 22.5

【分析】
解题思路如下：1. 先结合圆的直径与半径的关系，以及已知AB=2DE，推导得到DE与半径OD相等，可得△ODE为等腰三角形，得到∠E=∠DOE；2. 由△COD是直角三角形且OC、OD均为半径，可知△COD是等腰直角三角形，求出∠ODC的度数；3. 利用三角形外角的性质，建立∠ODC与∠E的等量关系，即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，OC、OD是⊙O的半径
∴AB=2OD
又
∵AB=2DE
∴OD=DE
∴∠E=∠DOE
∵△COD是直角三角形，且OC=OD
∴△COD是等腰直角三角形，∠COD=90°
∴∠ODC = (180°-90°)÷2 = 45°
∵∠ODC是△ODE的外角
∴∠ODC = ∠E + ∠DOE = 2∠E
∴2∠E = 45°
解得∠E = 22.5°
【答案】
22.5
【知识点】
圆的有关概念，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是抓住圆的半径相等的特征，梳理出图中等腰三角形的角的关系，结合外角性质完成角度推导，难度不高，需要熟练掌握基础几何性质。
【难度系数】
0.7

14.【易错题】已知平面内一点P到圆上的点的最大距离为12 cm，最小距离为8 cm，则此圆的半径为。

14. 10 cm 或 2 cm

【分析】
本题需结合点与圆的位置关系分类讨论求解。首先明确：平面内一点到圆上所有点的最大距离和最小距离，都在过该点与圆心的连线上。由于题目未说明点P的位置，需分两种情况计算：①点P在圆内时，最大距离与最小距离的和为圆的直径；②点P在圆外时，最大距离与最小距离的差为圆的直径，再根据半径是直径的一半即可算出对应半径。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点$ P $在圆内时：
过点$ P $和圆心作直线，与圆交于两点，两点到$ P $的距离分别为最大距离12cm和最小距离8cm，此时圆的直径$ = 12 + 8 = 20\ \mathrm{cm} $，因此半径为$ 20÷2 = 10\ \mathrm{cm} $。
2. 当点$ P $在圆外时：
过点$ P $和圆心作直线，与圆交于两点，此时圆的直径$ = 12 - 8 = 4\ \mathrm{cm} $，因此半径为$ 4÷2 = 2\ \mathrm{cm} $。
综上，此圆的半径为10cm或2cm。
【答案】
10 cm 或 2 cm
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本性质
【点评】
本题属于分类讨论类易错题，解题时很容易忽略点可能在圆内、圆外两种情况，仅计算其中一种结果导致漏解，做这类题时要先梳理所有可能的位置关系，再逐一推导计算。
【难度系数】
0.6

15.如图,半圆O的直径AB=8,半径OC⊥AB,
D为弧AC上一点,DE⊥OC,DF⊥OA,垂
足分别为E,F,则EF的长为.

15. 4

【分析】
解题时先结合已知条件分析图形特征：已知OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥OA，可推出四边形DEOF有三个内角为直角，据此可判定该四边形是矩形；再根据矩形对角线相等的性质，将求EF的长度转化为求OD的长度，而OD是半圆的半径，可先由直径AB的长度求出半径，即可得到EF的长。
【解析】
解：连接OD。
∵ 半圆O的直径AB=8，
∴ 半圆的半径 $OD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
∵ $OC⊥ AB$，$DE⊥ OC$，$DF⊥ OA$，
∴ $∠ EOF=∠ DFO=∠ DEO=90°$，
∴ 四边形DEOF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），
∴ $EF=OD$（矩形的对角线相等），
∴ $EF=4$。
【答案】
4
【知识点】
矩形的判定与性质，圆的半径性质，垂直的定义
【点评】
本题是基础几何题，解题关键是通过构造辅助线OD，利用矩形对角线相等的性质，将未知线段EF转化为圆的半径求解，巧妙运用转化思想降低了解题难度。
【难度系数】
0.8

16.（教材P116练习T4变式）如图，BD,CE是$△ ABC$的高，M为BC的中点，求证：点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个圆上.

16. 证明:连接$ME,MD. \because BD,CE$分别是$△ ABC$的高,$M$为$BC$的中点,$\therefore ME=MD=MC=MB=\frac{1}{2}BC,\therefore$点$B,C,D,E$在以点$M$为圆心的同一个圆上.

【分析】
要证明点B、C、D、E在以M为圆心的同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这4个点到点M的距离相等即可。首先由M是BC中点，可直接得到MB=MC=$\frac{1}{2}$BC；再结合BD、CE是△ABC的高，可知△BDC、△BEC都是直角三角形，且BC是两个直角三角形的公共斜边，利用直角三角形斜边中线的性质，就能推出MD、ME也等于$\frac{1}{2}$BC，从而得到4个点到M的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：连接$ME,MD$。
$\because BD,CE$分别是$△ ABC$的高，
$\therefore △BDC$、$△BEC$均为直角三角形，BC是两个直角三角形的公共斜边。
又$\because M$为$BC$的中点，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ME=\frac{1}{2}BC$，$MD=\frac{1}{2}BC$，且$MB=MC=\frac{1}{2}BC$，
因此$ME=MD=MC=MB$，符合圆的定义（到定点距离等于定长的点在同一个圆上）。
【答案】
证明:连接$ME,MD. \because BD,CE$分别是$△ ABC$的高,$M$为$BC$的中点,$\therefore ME=MD=MC=MB=\frac{1}{2}BC,\therefore$点$B,C,D,E$在以点$M$为圆心的同一个圆上.
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 四点共圆的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的关键是结合已知条件构造直角三角形斜边中线，利用相关性质得到等长线段，再结合圆的定义完成共圆判定，需要熟练掌握性质定理并灵活运用。
【难度系数】
0.8

17. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$AD=4$,过点$D$作$DE⊥ AC$于点$E$.
(1)求$DE$的长;
(2)若以点$A$为圆心作圆,$B,C,D,E$四点中至少有1个点在圆内,且至少有1个点在圆外,求$\odot A$的半径$r$的取值范围.

17. 解:(1)$\because$矩形$ABCD$中,$AB=3,AD=4,\therefore AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
$\because \frac{1}{2}AC· DE=\frac{1}{2}DC· AD,\therefore DE=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$.
(2)$\because AB＜AE＜AD＜AC,\therefore$若以点$A$为圆心作圆,$B,C,D,E$四点中至少有1个点在圆内,且至少有1个点在圆外,即点$B$在圆内,点$C$在圆外,$\therefore \odot A$的半径$r$的取值范围为$3＜r＜5$.

【分析】
(1) 求DE的长时，先利用矩形的直角属性结合勾股定理算出对角线AC的长度，再观察到DE是△ACD中AC边上的高，可通过等面积法，用△ACD的两种面积表达式建立等式求解DE。
(2) 确定半径r的取值范围时，先明确点和圆的位置关系由点到圆心的距离与半径的大小关系决定，先找到B、C、D、E四点到点A的距离的最小值和最大值：半径大于最小距离时，距离最小的点在圆内；半径小于最大距离时，距离最大的点在圆外，即可满足题设要求。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90°，$DC=AB=3$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ $DE⊥AC$，
∴ $S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC·DE=\frac{1}{2}AD·DC$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×DE=\frac{1}{2}×4×3$，
解得$DE=\frac{12}{5}$。
(2) 易得各点到点A的距离：$AB=3$，$AD=4$，$AC=5$，且距离大小满足$AB＜AE＜AD＜AC$。
要满足四点中至少1个点在圆内，至少1个点在圆外，则需半径大于最短距离$AB=3$（此时点B在圆内），且半径小于最长距离$AC=5$（此时点C在圆外），
∴ $\odot A$的半径r的取值范围为$3＜r＜5$。
【答案】
(1) $DE=\frac{12}{5}$；(2) $3＜r＜5$
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系
【点评】
本题侧重基础方法的考查，第一问的等面积法是求解直角三角形斜边上高的常用技巧，第二问需要准确理解点与圆位置关系的判定逻辑，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7