登录
1. 下列条件中不能确定一个圆的是 （
A.圆心与半径
B.直径
C.三角形的三个顶点
D.平面上的三个已知点
D
）A.圆心与半径
B.直径
C.三角形的三个顶点
D.平面上的三个已知点
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查确定圆的条件，解题思路如下：首先明确确定一个圆的核心要素是圆心（定位置）和半径（定大小），再逐一分析每个选项是否能唯一确定圆心和半径，尤其要注意三个点确定圆的前提是三点不在同一条直线上，以此判断哪个选项无法确定圆。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，给出圆心和半径可以唯一确定一个圆，不符合题意；
B. 已知直径时，直径的中点即为圆心，直径长度的一半为半径，因此可以唯一确定一个圆，不符合题意；
C. 三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一的圆”（即三角形的外接圆），因此可以确定一个圆，不符合题意；
D. 若平面上的三个已知点在同一条直线上，过这三个点无法作出圆，只有三点不在同一直线上时才能确定一个圆，因此平面上的三个已知点不能确定一个圆，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；过三点的圆；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对确定圆的前提条件的掌握，易错点是容易忽略三点共线的特殊情况，误认任意三个点都能确定圆，做题时要牢记“不在同一直线上的三个点确定唯一的圆”这一结论的适用前提。
【难度系数】
0.8
本题考查确定圆的条件，解题思路如下：首先明确确定一个圆的核心要素是圆心（定位置）和半径（定大小），再逐一分析每个选项是否能唯一确定圆心和半径，尤其要注意三个点确定圆的前提是三点不在同一条直线上，以此判断哪个选项无法确定圆。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，给出圆心和半径可以唯一确定一个圆，不符合题意；
B. 已知直径时，直径的中点即为圆心，直径长度的一半为半径，因此可以唯一确定一个圆，不符合题意；
C. 三角形的三个顶点一定不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一的圆”（即三角形的外接圆），因此可以确定一个圆，不符合题意；
D. 若平面上的三个已知点在同一条直线上，过这三个点无法作出圆，只有三点不在同一直线上时才能确定一个圆，因此平面上的三个已知点不能确定一个圆，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；过三点的圆；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对确定圆的前提条件的掌握，易错点是容易忽略三点共线的特殊情况，误认任意三个点都能确定圆，做题时要牢记“不在同一直线上的三个点确定唯一的圆”这一结论的适用前提。
【难度系数】
0.8
2. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（
A.①
B.②
C.③
D.均不可能
A
）A.①
B.②
C.③
D.均不可能
答案
2.A
解析
【分析】
要配到与原来一样大小的圆形镜子，本质是要确定原圆形镜子的圆心与半径。我们学过“不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆”，因此只要碎片上保留有原圆的一段完整圆弧，就可以在圆弧上选取三个不共线的点，通过这三个点确定原圆。观察三块碎片：碎片①保留了较长的一段原圆周的完整圆弧，满足确定原圆的条件；碎片②和③均没有保留足够的原圆周圆弧，无法找到三个原圆周上的不共线的点，不能确定原圆。因此选碎片①即可。
【解析】
根据圆的确定原理：不在同一直线上的三个点可以确定唯一的一个圆。
1. 观察碎片①：它保留了原圆形镜子的一段完整的圆弧，我们可以在这段圆弧上任取三个不共线的点，分别作任意两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为原圆的圆心，圆心到任意一个点的距离就是原圆的半径，由此即可作出和原来大小完全相同的圆。
2. 观察碎片②、③：二者均没有保留足够长度的原圆周的完整圆弧，无法获取三个原圆周上的不共线的点，不能确定原圆的圆心和半径，无法还原原圆。
因此最有可能配到相同大小镜子的是碎片①。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；垂直平分线的应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是掌握“不在同一直线上三点确定一个圆”的原理，能结合碎片特征判断是否满足确定圆的条件，是一类贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.7
要配到与原来一样大小的圆形镜子，本质是要确定原圆形镜子的圆心与半径。我们学过“不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆”，因此只要碎片上保留有原圆的一段完整圆弧，就可以在圆弧上选取三个不共线的点，通过这三个点确定原圆。观察三块碎片：碎片①保留了较长的一段原圆周的完整圆弧，满足确定原圆的条件；碎片②和③均没有保留足够的原圆周圆弧，无法找到三个原圆周上的不共线的点，不能确定原圆。因此选碎片①即可。
【解析】
根据圆的确定原理：不在同一直线上的三个点可以确定唯一的一个圆。
1. 观察碎片①：它保留了原圆形镜子的一段完整的圆弧，我们可以在这段圆弧上任取三个不共线的点，分别作任意两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为原圆的圆心，圆心到任意一个点的距离就是原圆的半径，由此即可作出和原来大小完全相同的圆。
2. 观察碎片②、③：二者均没有保留足够长度的原圆周的完整圆弧，无法获取三个原圆周上的不共线的点，不能确定原圆的圆心和半径，无法还原原圆。
因此最有可能配到相同大小镜子的是碎片①。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；垂直平分线的应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是掌握“不在同一直线上三点确定一个圆”的原理，能结合碎片特征判断是否满足确定圆的条件，是一类贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.7
3.经过平面直角坐标系内的三个点A(1，－3)，B(0，－3)，C(2，－3)，
不能
（填“能”或“不能”）确定一个圆.答案
3.不能
解析
【分析】
要判断三个点能否确定一个圆，首先回忆确定圆的条件：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆。因此解题的第一步是先判断A、B、C三个点是否共线：观察三个点的坐标，纵坐标均为-3，说明三个点都在平行于x轴的直线y=-3上，属于共线的三点，因此不符合确定圆的条件。
【解析】
解：根据圆的确定条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
观察三个点的坐标：A(1，－3)，B(0，－3)，C(2，－3)的纵坐标完全相同，因此这三个点都在直线$y=-3$上，即三点共线。
共线的三个点无法确定一个圆，因此经过这三个点不能确定一个圆。
【答案】
不能
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是牢记“不在同一直线上的三点才能确定一个圆”的结论，通过坐标特征判断三点是否共线即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断三个点能否确定一个圆，首先回忆确定圆的条件：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆。因此解题的第一步是先判断A、B、C三个点是否共线：观察三个点的坐标，纵坐标均为-3，说明三个点都在平行于x轴的直线y=-3上，属于共线的三点，因此不符合确定圆的条件。
【解析】
解：根据圆的确定条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
观察三个点的坐标：A(1，－3)，B(0，－3)，C(2，－3)的纵坐标完全相同，因此这三个点都在直线$y=-3$上，即三点共线。
共线的三个点无法确定一个圆，因此经过这三个点不能确定一个圆。
【答案】
不能
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是牢记“不在同一直线上的三点才能确定一个圆”的结论，通过坐标特征判断三点是否共线即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
4. 下列说法正确的是 （
A.三角形的外心到三角形三边的距离相等
B.三点确定一个圆
C.三角形有且只有一个内接三角形
D.三角形有且只有一个外接圆
D
）A.三角形的外心到三角形三边的距离相等
B.三点确定一个圆
C.三角形有且只有一个内接三角形
D.三角形有且只有一个外接圆
答案
4.D
解析
【分析】
这是一道圆相关的概念辨析题，解题时需要逐一对应每个选项涉及的知识点，结合学过的定义、定理判断正误，最终选出正确选项。首先回忆三角形外心的性质、确定圆的条件、内接/外接三角形的相关概念，再逐个排查错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等；到三角形三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），因此A错误。
B选项：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，选项未说明“三点不共线”的前提，因此B错误。
C选项：一个三角形可以画出无数个内接三角形，同时一个圆也有无数个内接三角形，该说法不符合概念，因此C错误。
D选项：三角形的三个顶点不在同一直线上，根据“不在同一直线上的三点确定唯一的圆”，可知三角形有且只有一个外接圆，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；确定圆的条件；三角形外接圆的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生准确掌握圆相关的基础概念，注意概念成立的前提条件，避免混淆外心与内心的性质、忽略确定圆的三点需不共线的限制，牢记基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道圆相关的概念辨析题，解题时需要逐一对应每个选项涉及的知识点，结合学过的定义、定理判断正误，最终选出正确选项。首先回忆三角形外心的性质、确定圆的条件、内接/外接三角形的相关概念，再逐个排查错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等；到三角形三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），因此A错误。
B选项：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，选项未说明“三点不共线”的前提，因此B错误。
C选项：一个三角形可以画出无数个内接三角形，同时一个圆也有无数个内接三角形，该说法不符合概念，因此C错误。
D选项：三角形的三个顶点不在同一直线上，根据“不在同一直线上的三点确定唯一的圆”，可知三角形有且只有一个外接圆，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；确定圆的条件；三角形外接圆的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生准确掌握圆相关的基础概念，注意概念成立的前提条件，避免混淆外心与内心的性质、忽略确定圆的三点需不共线的限制，牢记基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆的半径为 （
A.4
B.2.4
C.5
D.2.5
D
）A.4
B.2.4
C.5
D.2.5
答案
5.D
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先明确直角三角形外接圆的核心性质，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此直角三角形的外接圆直径等于斜边长度；其次先通过勾股定理求出斜边长度，再除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ACB=90°$，
由勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
因为直角三角形的外接圆直径与斜边长度相等，
所以外接圆半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2.5$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，直角三角形外接圆性质，圆周角定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考点是直角三角形外接圆的特殊性质，结合勾股定理即可快速求出结果，解题时注意区分外接圆半径和内切圆半径的计算逻辑，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先明确直角三角形外接圆的核心性质，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此直角三角形的外接圆直径等于斜边长度；其次先通过勾股定理求出斜边长度，再除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ACB=90°$，
由勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，
因为直角三角形的外接圆直径与斜边长度相等，
所以外接圆半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2.5$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，直角三角形外接圆性质，圆周角定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考点是直角三角形外接圆的特殊性质，结合勾股定理即可快速求出结果，解题时注意区分外接圆半径和内切圆半径的计算逻辑，避免混淆。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点O是△ABC的外心,则∠BOC= (
A.110°
B.117.5°
C.140°
D.125°
C
)A.110°
B.117.5°
C.140°
D.125°
答案
6.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用三角形内角和为180°，求出△ABC中∠BAC的度数；其次明确外心是三角形外接圆的圆心，三角形的三个顶点都在该外接圆上；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 50° - 60° = 70°$
∵点O是△ABC的外心
∴A、B、C三点都在以O为圆心的外接圆上，$∠ BOC$是弧$BC$所对的圆心角，$∠ BAC$是弧$BC$所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴$∠ BOC = 2∠ BAC = 2×70° = 140°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，外心的定义，圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形外心的性质与圆周角定理的应用，解题的核心是先求出$∠ BAC$的度数，再利用圆心角和圆周角的数量关系计算结果，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用三角形内角和为180°，求出△ABC中∠BAC的度数；其次明确外心是三角形外接圆的圆心，三角形的三个顶点都在该外接圆上；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 50° - 60° = 70°$
∵点O是△ABC的外心
∴A、B、C三点都在以O为圆心的外接圆上，$∠ BOC$是弧$BC$所对的圆心角，$∠ BAC$是弧$BC$所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍
∴$∠ BOC = 2∠ BAC = 2×70° = 140°$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，外心的定义，圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形外心的性质与圆周角定理的应用，解题的核心是先求出$∠ BAC$的度数，再利用圆心角和圆周角的数量关系计算结果，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
7.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(0,3)$,点$B$的坐标为$(2,1)$,点$C$的坐标为$(2,-3)$,则$△ ABC$的外心坐标是
(-2,-1)
.答案
7.(-2,-1)
解析
【分析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。解题时可先根据点B、C的坐标特征求出BC边的垂直平分线，再求出AB边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为△ABC的外心，联立两个垂直平分线的方程即可求解外心坐标。
【解析】
解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此求解：
1. 求BC边的垂直平分线：
已知$B(2,1)$，$C(2,-3)$，两点横坐标相同，故BC为垂直于x轴的直线$x=2$，BC的中点坐标为$(2,\frac{1+(-3)}{2})=(2,-1)$，因此BC的垂直平分线为平行于x轴的直线$y=-1$。
2. 求AB边的垂直平分线：
已知$A(0,3)$，$B(2,1)$，AB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{3+1}{2})=(1,2)$。
AB所在直线的斜率$k_{AB}=\frac{1-3}{2-0}=-1$，互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$，因此AB的垂直平分线的斜率为$1$。
由点斜式得AB的垂直平分线方程：$y-2=1×(x-1)$，整理得$y=x+1$。
3. 求两条垂直平分线的交点：
联立$\begin{cases}y=-1\\y=x+1\end{cases}$，将$y=-1$代入$y=x+1$，得$-1=x+1$，解得$x=-2$。
经检验，点$(-2,-1)$到A、B、C三点的距离相等，即为△ABC的外心。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
三角形外心定义；垂直平分线的性质；一次函数的应用
【点评】
本题围绕三角形外心的核心性质出题，结合平面直角坐标系中直线的特征求解垂直平分线方程，再通过联立方程求交点，解题关键是牢记外心是三角形三边垂直平分线的交点，解题过程中可灵活选择两条边计算垂直平分线，简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。解题时可先根据点B、C的坐标特征求出BC边的垂直平分线，再求出AB边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为△ABC的外心，联立两个垂直平分线的方程即可求解外心坐标。
【解析】
解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此求解：
1. 求BC边的垂直平分线：
已知$B(2,1)$，$C(2,-3)$，两点横坐标相同，故BC为垂直于x轴的直线$x=2$，BC的中点坐标为$(2,\frac{1+(-3)}{2})=(2,-1)$，因此BC的垂直平分线为平行于x轴的直线$y=-1$。
2. 求AB边的垂直平分线：
已知$A(0,3)$，$B(2,1)$，AB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{3+1}{2})=(1,2)$。
AB所在直线的斜率$k_{AB}=\frac{1-3}{2-0}=-1$，互相垂直的两条直线斜率乘积为$-1$，因此AB的垂直平分线的斜率为$1$。
由点斜式得AB的垂直平分线方程：$y-2=1×(x-1)$，整理得$y=x+1$。
3. 求两条垂直平分线的交点：
联立$\begin{cases}y=-1\\y=x+1\end{cases}$，将$y=-1$代入$y=x+1$，得$-1=x+1$，解得$x=-2$。
经检验，点$(-2,-1)$到A、B、C三点的距离相等，即为△ABC的外心。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
三角形外心定义；垂直平分线的性质；一次函数的应用
【点评】
本题围绕三角形外心的核心性质出题，结合平面直角坐标系中直线的特征求解垂直平分线方程，再通过联立方程求交点，解题关键是牢记外心是三角形三边垂直平分线的交点，解题过程中可灵活选择两条边计算垂直平分线，简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
8.如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（
A.经过点A，B，C，只能作一个圆
B.经过点A，B，D，只能作一个圆
C.经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆
D.经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆
第8题图 第9题图
B
）A.经过点A，B，C，只能作一个圆
B.经过点A，B，D，只能作一个圆
C.经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆
D.经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆
第8题图 第9题图
答案
8.B
解析
【分析】
解题时先明确确定圆的核心规则：①圆心和半径两个要素确定唯一的圆；②不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆，共线的三点无法作圆。接下来逐个分析选项：首先判断三个点是否共线分析A、B选项，再根据过一点、两点作圆的圆心取值范围分析C、D选项即可得到答案。
【解析】
我们结合确定圆的相关定理逐个判断选项：
1. 分析选项A：点A、B、C都在直线AB上，三点共线，共线的三个点无法作圆，因此A错误；
2. 分析选项B：点D不在直线AB上，因此A、B、D三点不在同一直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一的圆”，可知经过这三点只能作一个圆，因此B正确；
3. 分析选项C：经过点A、以AD长为半径作圆时，圆心只需满足到点A的距离等于AD长即可，满足条件的圆心有无数个，因此可以作出无数个圆，C错误；
4. 分析选项D：经过A、B两点、以AD长为半径作圆时，圆心需要同时满足：①在AB的垂直平分线上；②到点A的距离等于AD长，符合要求的圆心有2个，因此可以作出2个圆，D错误。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件，三点共线的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考查对确定圆的条件的掌握，需要区分共线三点与不共线三点作圆的差异，同时要明确过一点、两点作定半径圆的数量判断方法，易错点是容易忽略共线三点无法作圆，或误认为过两点定半径只能作1个圆。
【难度系数】
0.7
解题时先明确确定圆的核心规则：①圆心和半径两个要素确定唯一的圆；②不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆，共线的三点无法作圆。接下来逐个分析选项：首先判断三个点是否共线分析A、B选项，再根据过一点、两点作圆的圆心取值范围分析C、D选项即可得到答案。
【解析】
我们结合确定圆的相关定理逐个判断选项：
1. 分析选项A：点A、B、C都在直线AB上，三点共线，共线的三个点无法作圆，因此A错误；
2. 分析选项B：点D不在直线AB上，因此A、B、D三点不在同一直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一的圆”，可知经过这三点只能作一个圆，因此B正确；
3. 分析选项C：经过点A、以AD长为半径作圆时，圆心只需满足到点A的距离等于AD长即可，满足条件的圆心有无数个，因此可以作出无数个圆，C错误；
4. 分析选项D：经过A、B两点、以AD长为半径作圆时，圆心需要同时满足：①在AB的垂直平分线上；②到点A的距离等于AD长，符合要求的圆心有2个，因此可以作出2个圆，D错误。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件，三点共线的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考查对确定圆的条件的掌握，需要区分共线三点与不共线三点作圆的差异，同时要明确过一点、两点作定半径圆的数量判断方法，易错点是容易忽略共线三点无法作圆，或误认为过两点定半径只能作1个圆。
【难度系数】
0.7
9.如图,点A,B,C在同一条直线上,点D在直线AB外,过这四个点中的任意3个,能画的圆有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9.C
解析
【分析】
解题的核心依据是“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，共线的三个点无法确定圆。我们可以先枚举从四个点中任选三个点的所有组合，再排除共线的三点组合，剩余的组合对应的圆的数量就是最终结果。四个点取三个的组合共有4种：A、B、C；A、B、D；A、C、D；B、C、D，其中A、B、C共线无法确定圆，剩余3组都为不共线三点，各可确定1个圆。
【解析】
根据圆的确定定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
1. 选取点A、B、C：三点在同一直线上，不能确定圆；
2. 选取点A、B、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
3. 选取点A、C、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
4. 选取点B、C、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆。
综上，一共可以画出3个圆。
【答案】
C
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 分类枚举计数
【点评】
本题考查对确定圆的条件的应用，解题关键是牢记共线三点无法确定圆，枚举时做到不重不漏即可，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，共线的三个点无法确定圆。我们可以先枚举从四个点中任选三个点的所有组合，再排除共线的三点组合，剩余的组合对应的圆的数量就是最终结果。四个点取三个的组合共有4种：A、B、C；A、B、D；A、C、D；B、C、D，其中A、B、C共线无法确定圆，剩余3组都为不共线三点，各可确定1个圆。
【解析】
根据圆的确定定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
1. 选取点A、B、C：三点在同一直线上，不能确定圆；
2. 选取点A、B、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
3. 选取点A、C、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆；
4. 选取点B、C、D：三点不在同一直线上，可确定1个圆。
综上，一共可以画出3个圆。
【答案】
C
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 分类枚举计数
【点评】
本题考查对确定圆的条件的应用，解题关键是牢记共线三点无法确定圆，枚举时做到不重不漏即可，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
10.【易错题】如果点O为$△ ABC$的外心，$∠ BOC=70°$，那么$∠ BAC$的度数为
35°或145°
.答案
10. 35°或145°
解析
【分析】
首先明确三角形外心是其外接圆的圆心，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角。解题时需分类讨论点A的位置：①点A在优弧BC上；②点A在劣弧BC上，再结合圆周角定理分别计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
∵点O为△ABC的外心，
∴O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，分两种情况讨论：
1. 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×70°=35°$；
2. 当点A在劣弧BC上时，弧BC对应的优弧的圆心角为$360°-70°=290°$，同理可得
$∠ BAC=\frac{1}{2}×290°=145°$。
综上，∠BAC的度数为35°或145°。
【答案】
35°或145°
【知识点】
三角形外心的定义；圆周角定理
【点评】
本题为易错题，解题的关键是不要默认三角形为锐角三角形、外心在三角形内部，需全面考虑点A在外接圆上的两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确三角形外心是其外接圆的圆心，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠BAC是弧BC对应的圆周角。解题时需分类讨论点A的位置：①点A在优弧BC上；②点A在劣弧BC上，再结合圆周角定理分别计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
∵点O为△ABC的外心，
∴O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，分两种情况讨论：
1. 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×70°=35°$；
2. 当点A在劣弧BC上时，弧BC对应的优弧的圆心角为$360°-70°=290°$，同理可得
$∠ BAC=\frac{1}{2}×290°=145°$。
综上，∠BAC的度数为35°或145°。
【答案】
35°或145°
【知识点】
三角形外心的定义；圆周角定理
【点评】
本题为易错题，解题的关键是不要默认三角形为锐角三角形、外心在三角形内部，需全面考虑点A在外接圆上的两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11. 在平面直角坐标系中,已知点$A(0,4),B(4,4)$和$C(6,2)$.
(1)点A,B,C能确定一个圆吗? 请说明理由;
(2)如果能,用尺规作图的方法,作出过这三点的圆的轨迹;
(3)写出圆心P的坐标,并求出$\odot P$的半径.
(1)点A,B,C能确定一个圆吗? 请说明理由;
(2)如果能,用尺规作图的方法,作出过这三点的圆的轨迹;
(3)写出圆心P的坐标,并求出$\odot P$的半径.
答案
11.解:(1)点A,B,C能确定一个圆,理由是:点A,B,C不在同一条直线上.
(2)
(3)圆心P的坐标是(2,0),半径的长为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 要判断三点能否确定圆，依据是“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，因此只需判断A、B、C三点是否共线即可；
(2) 尺规作过三点的圆，核心是找圆心：圆心到三个点的距离相等，因此是任意两条弦的垂直平分线的交点，再以交点为圆心、到任意一点的距离为半径作圆即可；
(3) 求圆心坐标：先根据弦AB的坐标特征得出其垂直平分线为x=2，设圆心坐标为(2,y)，利用圆心到A、C两点距离相等（即半径相等）列方程求解y，再用勾股定理计算半径即可。
【解析】
(1) 点A、B、C能确定一个圆，理由如下：
已知A(0,4)、B(4,4)，两点纵坐标相同，因此直线AB平行于x轴；点C(6,2)纵坐标为2≠4，因此点C不在直线AB上，即A、B、C三点不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知这三个点能确定一个圆。
(2) 作图步骤：①分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P；②以P为圆心，PA的长为半径作圆，所得的圆即为过A、B、C三点的圆。
(3) 求圆心坐标和半径：
弦AB的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{4+4}{2})=(2,4)$，因为AB平行于x轴，所以AB的垂直平分线为垂直于x轴的直线$x=2$，因此圆心P在直线$x=2$上，设$P(2,y)$。
因为PA、PC都是圆的半径，所以$PA=PC$，即$PA^2=PC^2$，代入坐标得：
$(2-0)^2+(y-4)^2=(2-6)^2+(y-2)^2$
展开得：$4 + y^2 - 8y + 16 = 16 + y^2 - 4y + 4$
化简得：$-8y + 20 = -4y + 20$
解得：$y=0$，即圆心P的坐标为$(2,0)$。
半径$PA=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 能确定一个圆，理由是点A,B,C不在同一条直线上；
(2)
(3) 圆心P的坐标是$(2,0)$，$\odot P$的半径为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
确定圆的条件；垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查过三点的圆的相关知识，既需要掌握圆的确定条件、尺规作图方法，也需要灵活运用坐标系性质、方程思想和勾股定理计算圆心坐标与半径，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断三点能否确定圆，依据是“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，因此只需判断A、B、C三点是否共线即可；
(2) 尺规作过三点的圆，核心是找圆心：圆心到三个点的距离相等，因此是任意两条弦的垂直平分线的交点，再以交点为圆心、到任意一点的距离为半径作圆即可；
(3) 求圆心坐标：先根据弦AB的坐标特征得出其垂直平分线为x=2，设圆心坐标为(2,y)，利用圆心到A、C两点距离相等（即半径相等）列方程求解y，再用勾股定理计算半径即可。
【解析】
(1) 点A、B、C能确定一个圆，理由如下：
已知A(0,4)、B(4,4)，两点纵坐标相同，因此直线AB平行于x轴；点C(6,2)纵坐标为2≠4，因此点C不在直线AB上，即A、B、C三点不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知这三个点能确定一个圆。
(2) 作图步骤：①分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P；②以P为圆心，PA的长为半径作圆，所得的圆即为过A、B、C三点的圆。
(3) 求圆心坐标和半径：
弦AB的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{4+4}{2})=(2,4)$，因为AB平行于x轴，所以AB的垂直平分线为垂直于x轴的直线$x=2$，因此圆心P在直线$x=2$上，设$P(2,y)$。
因为PA、PC都是圆的半径，所以$PA=PC$，即$PA^2=PC^2$，代入坐标得：
$(2-0)^2+(y-4)^2=(2-6)^2+(y-2)^2$
展开得：$4 + y^2 - 8y + 16 = 16 + y^2 - 4y + 4$
化简得：$-8y + 20 = -4y + 20$
解得：$y=0$，即圆心P的坐标为$(2,0)$。
半径$PA=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 能确定一个圆，理由是点A,B,C不在同一条直线上；
(2)
(3) 圆心P的坐标是$(2,0)$，$\odot P$的半径为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
确定圆的条件；垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查过三点的圆的相关知识，既需要掌握圆的确定条件、尺规作图方法，也需要灵活运用坐标系性质、方程思想和勾股定理计算圆心坐标与半径，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
