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10 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$.以点$C$为圆心、$CA$长为半径的圆与$AB$交于点$D$,则$AD$的长为 (
A.$\dfrac{9}{5}$
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$\dfrac{18}{5}$
D.$\dfrac{5}{2}$
C
)A.$\dfrac{9}{5}$
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$\dfrac{18}{5}$
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
10. C
解析
【分析】
要求圆中弦AD的长度，可结合垂径定理求解：首先过圆心C作CE垂直AB于点E，根据垂径定理可知E是AD的中点，即AD=2AE，因此只需要求出AE的长度即可。首先在Rt△ABC中用勾股定理算出斜边AB的长，再利用三角形面积相等的方法求出斜边上的高CE的长度，最后在Rt△ACE中用勾股定理求出AE，即可得到AD的长度。
【解析】
解：过点C作$CE⊥ AB$于点E，
∵AD是$\odot C$的弦，$CE⊥ AD$，
∴由垂径定理得$AE=ED$，即$AD=2AE$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CE$，
∴$3×4=5CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$，
∴$AD=2AE=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，解题的核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合勾股定理和等面积法计算线段长度，能很好地考查对垂径定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求圆中弦AD的长度，可结合垂径定理求解：首先过圆心C作CE垂直AB于点E，根据垂径定理可知E是AD的中点，即AD=2AE，因此只需要求出AE的长度即可。首先在Rt△ABC中用勾股定理算出斜边AB的长，再利用三角形面积相等的方法求出斜边上的高CE的长度，最后在Rt△ACE中用勾股定理求出AE，即可得到AD的长度。
【解析】
解：过点C作$CE⊥ AB$于点E，
∵AD是$\odot C$的弦，$CE⊥ AD$，
∴由垂径定理得$AE=ED$，即$AD=2AE$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CE$，
∴$3×4=5CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$，
∴$AD=2AE=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，解题的核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合勾股定理和等面积法计算线段长度，能很好地考查对垂径定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
11 如图,在半径为$\sqrt{13}$的$\odot O$中,弦AB与CD交于点E.若$∠ DEB=75°$,AB=6,AE=1,则CD的长是(
A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{11}$
D.$4\sqrt{3}$
C
)A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{11}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
11. C
解析
【分析】
遇到圆中弦长计算问题，优先考虑垂径定理，我们可以过圆心分别作两条弦的垂线，结合勾股定理、角度关系求出弦心距，进而求出CD的长度。第一步先作辅助线：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB、OC；第二步利用垂径定理求出AM、BM的长度，计算出EM和OM的长，得到△OME的形状，求出∠OEM的度数；第三步结合已知∠DEB的度数，求出∠OEN的度数，在Rt△ONE中计算出ON的长度；第四步再用垂径定理和勾股定理求出CD的一半，进而得到CD总长。
【解析】
解：过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB、OC。
根据垂径定理可得：$AM=MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
已知$AE=1$，$\therefore EM=AM-AE=3-1=2$。
在$Rt△ OBM$中，$OB=\sqrt{13}$，$MB=3$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OB^2-MB^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
$\therefore OM=EM=2$，$\therefore △ OME$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ OEM=45°$。
已知$∠ DEB=75°$，$\therefore ∠ OEN=∠ DEB-∠ OEM=75°-45°=30°$。
在$Rt△ OME$中，$OE=\sqrt{OM^2+EM^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
在$Rt△ ONE$中，$∠ OEN=30°$，$\therefore ON=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
在$Rt△ OCN$中，$OC=\sqrt{13}$，$ON=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$CN=\sqrt{OC^2-ON^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{13-2}=\sqrt{11}$。
根据垂径定理，$CD=2CN=2\sqrt{11}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
作弦心距是解决圆中弦长问题的常用辅助线做法，本题结合垂径定理、勾股定理和特殊角度的直角三角形性质即可求解，解题关键是正确作出辅助线，理清角度和线段之间的关系。
【难度系数】
0.6
遇到圆中弦长计算问题，优先考虑垂径定理，我们可以过圆心分别作两条弦的垂线，结合勾股定理、角度关系求出弦心距，进而求出CD的长度。第一步先作辅助线：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB、OC；第二步利用垂径定理求出AM、BM的长度，计算出EM和OM的长，得到△OME的形状，求出∠OEM的度数；第三步结合已知∠DEB的度数，求出∠OEN的度数，在Rt△ONE中计算出ON的长度；第四步再用垂径定理和勾股定理求出CD的一半，进而得到CD总长。
【解析】
解：过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB、OC。
根据垂径定理可得：$AM=MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
已知$AE=1$，$\therefore EM=AM-AE=3-1=2$。
在$Rt△ OBM$中，$OB=\sqrt{13}$，$MB=3$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OB^2-MB^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
$\therefore OM=EM=2$，$\therefore △ OME$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ OEM=45°$。
已知$∠ DEB=75°$，$\therefore ∠ OEN=∠ DEB-∠ OEM=75°-45°=30°$。
在$Rt△ OME$中，$OE=\sqrt{OM^2+EM^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
在$Rt△ ONE$中，$∠ OEN=30°$，$\therefore ON=\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
在$Rt△ OCN$中，$OC=\sqrt{13}$，$ON=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$CN=\sqrt{OC^2-ON^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{13-2}=\sqrt{11}$。
根据垂径定理，$CD=2CN=2\sqrt{11}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
作弦心距是解决圆中弦长问题的常用辅助线做法，本题结合垂径定理、勾股定理和特殊角度的直角三角形性质即可求解，解题关键是正确作出辅助线，理清角度和线段之间的关系。
【难度系数】
0.6
12 如图,在以点O为圆心的两个圆中,大圆的半径是小圆半径的2倍,大圆的弦AB和小圆交于C,D两点.若$AC=CD=4$,则小圆的半径是
$\frac{4}{3}\sqrt{6}$
.答案
12. $\frac{4}{3}\sqrt{6}$
解析
【分析】
遇到圆中弦长相关问题，优先用垂径定理求解：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形结合勾股定理计算。首先设小圆半径为$r$，则大圆半径为$2r$，过$O$作$OE⊥ AB$于$E$，根据垂径定理可求出$AE$、$CE$的长度，再分别在两个直角三角形中用勾股定理列方程，联立消去公共的高$OE$即可求出$r$。
【解析】
解：过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，设小圆半径为$r$，则大圆半径为$2r$。
根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$，
由对称性可知$AC=DB=4$，因此$AB=AC+CD+DB=4+4+4=12$，则$AE=\frac{1}{2}AB=6$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$2^2+OE^2=r^2$ ①
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$6^2+OE^2=(2r)^2$ ②
用②$-$①消去$OE^2$，得：
$36-4=4r^2-r^2$
$3r^2=32$
解得$r=\sqrt{\frac{32}{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$（半径为正，舍去负根）。
【答案】
$\frac{4}{3}\sqrt{6}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，同心圆性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题，作垂直于弦的垂线是常用辅助线，利用两个直角三角形共高的特点作差消元，可简化计算过程，需要熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合应用。
【难度系数】
0.65
遇到圆中弦长相关问题，优先用垂径定理求解：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形结合勾股定理计算。首先设小圆半径为$r$，则大圆半径为$2r$，过$O$作$OE⊥ AB$于$E$，根据垂径定理可求出$AE$、$CE$的长度，再分别在两个直角三角形中用勾股定理列方程，联立消去公共的高$OE$即可求出$r$。
【解析】
解：过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，设小圆半径为$r$，则大圆半径为$2r$。
根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$，
由对称性可知$AC=DB=4$，因此$AB=AC+CD+DB=4+4+4=12$，则$AE=\frac{1}{2}AB=6$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$2^2+OE^2=r^2$ ①
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$6^2+OE^2=(2r)^2$ ②
用②$-$①消去$OE^2$，得：
$36-4=4r^2-r^2$
$3r^2=32$
解得$r=\sqrt{\frac{32}{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$（半径为正，舍去负根）。
【答案】
$\frac{4}{3}\sqrt{6}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，同心圆性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题，作垂直于弦的垂线是常用辅助线，利用两个直角三角形共高的特点作差消元，可简化计算过程，需要熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合应用。
【难度系数】
0.65
13 如图,在$\odot O$中,弦$AB=9$,点$C$在$AB$上移动,连接$OC$.过点$C$作$CD⊥OC$交$\odot O$于点$D$,则$CD$长的最大值为
$\frac{9}{2}$
.答案
13. $\frac{9}{2}$
解析
【分析】
首先观察图形，已知CD⊥OC，可将CD放在Rt△OCD中分析，结合勾股定理得到CD与半径OD、线段OC的数量关系：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}$。由于OD是⊙O的半径为定值，因此要使CD最大，需使OC的长度最小。OC是圆心O到弦AB上点C的线段，根据垂线段最短，当OC⊥AB时OC最短，此时结合垂径定理即可求出CD的最大值。
【解析】
连接OD，
∵ $CD⊥OC$，
∴ $∠OCD=90°$，即$△ OCD$为直角三角形，
根据勾股定理可得：$CD=\sqrt{OD^2 - OC^2}$。
∵ OD是$\odot O$的半径，为定值，
∴ 要使CD的长度最大，需使OC的长度最小。
根据“垂线段最短”，当$OC⊥AB$时，OC的长度最小。
此时由垂径定理可得，C为AB的中点，即$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{9}{2}$。
在$Rt△ OAC$中，根据勾股定理得：$OA^2 = OC^2 + AC^2$，
又
∵ $OA=OD$，
∴ $OD^2 = OC^2 + AC^2$，代入CD的表达式得：
$CD=\sqrt{(OC^2 + AC^2) - OC^2}=\sqrt{AC^2}=AC=\frac{9}{2}$，
即CD的最大值为$\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题将最值问题与圆的性质相结合，解题的核心是通过勾股定理将CD的最值转化为OC的最值，考查了转化思想及对圆相关性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，已知CD⊥OC，可将CD放在Rt△OCD中分析，结合勾股定理得到CD与半径OD、线段OC的数量关系：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}$。由于OD是⊙O的半径为定值，因此要使CD最大，需使OC的长度最小。OC是圆心O到弦AB上点C的线段，根据垂线段最短，当OC⊥AB时OC最短，此时结合垂径定理即可求出CD的最大值。
【解析】
连接OD，
∵ $CD⊥OC$，
∴ $∠OCD=90°$，即$△ OCD$为直角三角形，
根据勾股定理可得：$CD=\sqrt{OD^2 - OC^2}$。
∵ OD是$\odot O$的半径，为定值，
∴ 要使CD的长度最大，需使OC的长度最小。
根据“垂线段最短”，当$OC⊥AB$时，OC的长度最小。
此时由垂径定理可得，C为AB的中点，即$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{9}{2}$。
在$Rt△ OAC$中，根据勾股定理得：$OA^2 = OC^2 + AC^2$，
又
∵ $OA=OD$，
∴ $OD^2 = OC^2 + AC^2$，代入CD的表达式得：
$CD=\sqrt{(OC^2 + AC^2) - OC^2}=\sqrt{AC^2}=AC=\frac{9}{2}$，
即CD的最大值为$\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题将最值问题与圆的性质相结合，解题的核心是通过勾股定理将CD的最值转化为OC的最值，考查了转化思想及对圆相关性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
14 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，垂足为E，$AE=2$，$CD=8$。
（1）求$\odot O$的半径；
（2）一题多解 连接BC，过点O作$OF⊥ BC$于点F，求OF的长。
（第14题）
（1）求$\odot O$的半径；
（2）一题多解 连接BC，过点O作$OF⊥ BC$于点F，求OF的长。
（第14题）答案
14. （1）连接OD. 设$\odot O$的半径为r. $\because AB⊥CD,\therefore ∠OED=90°,DE=CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$. 在$\mathrm{Rt}△ODE$中,$\because OE=r-2,OD=r,DE=4,\therefore (r-2)^2+4^2=r^2$,解得$r=5$,即$\odot O$的半径为5
（2）解法一: 在$\mathrm{Rt}△BCE$中,$\because CE=4,BE=AB-AE=8$,
$\therefore BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$. $\because OF⊥BC$,
$\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5},∠OFB=90°$. 在$\mathrm{Rt}△OBF$中,
$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$
解法二(面积法):连接OC. 根据题意,得 $S_{△OBC}=\frac{1}{2}BC·OF=\frac{1}{2}OB·CE=\frac{1}{2}×5×4=10$,即$BC·OF=20$. 在$\mathrm{Rt}△BCE$中,由勾股定理,得 $BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+(10-2)^2}=4\sqrt{5}$.
$\therefore 4\sqrt{5}×OF=20. \therefore OF=\sqrt{5}$
（2）解法一: 在$\mathrm{Rt}△BCE$中,$\because CE=4,BE=AB-AE=8$,
$\therefore BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$. $\because OF⊥BC$,
$\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5},∠OFB=90°$. 在$\mathrm{Rt}△OBF$中,
$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$
解法二(面积法):连接OC. 根据题意,得 $S_{△OBC}=\frac{1}{2}BC·OF=\frac{1}{2}OB·CE=\frac{1}{2}×5×4=10$,即$BC·OF=20$. 在$\mathrm{Rt}△BCE$中,由勾股定理,得 $BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+(10-2)^2}=4\sqrt{5}$.
$\therefore 4\sqrt{5}×OF=20. \therefore OF=\sqrt{5}$
解析
【分析】
（1）求⊙O的半径可结合垂径定理分析：AB垂直弦CD，可先得到CD被AB平分，求出DE的长度；再设半径为r，用r表示出OE的长度，最后在Rt△ODE中利用勾股定理列方程求解即可。
（2）求OF的长有两种常见思路：思路一：先在Rt△BCE中用勾股定理求出BC的长度，再结合垂径定理得到BF的长度，最后在Rt△OBF中用勾股定理计算OF；思路二：用面积法，△OBC的面积可分别以OB为底、CE为高和以BC为底、OF为高两种方式表示，建立等式即可求出OF。
【解析】
（1）连接OD，设$\odot O$的半径为r。
$\because AB⊥ CD$，AB是$\odot O$的直径，由垂径定理得：$∠ OED=90°$，$DE=CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
又$\because OE=OA-AE=r-2$，$OD=r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得$OE^2+DE^2=OD^2$，即$(r-2)^2+4^2=r^2$，
展开化简得$-4r+20=0$，解得$r=5$，即$\odot O$的半径为5。
（2）解法一：
由（1）得$AB=2r=10$，$\therefore BE=AB-AE=10-2=8$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$CE=4$，$BE=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
$\because OF⊥ BC$，由垂径定理得：$BF=CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$，$∠ OFB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，$OB=5$，$BF=2\sqrt{5}$，
$\therefore OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$。
解法二（面积法）：
连接OC，先计算BC的长度：由（1）得$BE=10-2=8$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
$△ OBC$的面积可表示为：$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OB× CE=\frac{1}{2}×5×4=10$，
同时$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× BC× OF$，
$\therefore \frac{1}{2}×4\sqrt{5}× OF=10$，化简得$2\sqrt{5}· OF=10$，解得$OF=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$\odot O$的半径为$\boxed{5}$；
（2）OF的长为$\boxed{\sqrt{5}}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是将垂径定理与勾股定理结合使用，求圆半径时利用方程思想列等式是常用技巧，第二问的多解思路可帮助学生灵活选择解题方法，提升几何问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）求⊙O的半径可结合垂径定理分析：AB垂直弦CD，可先得到CD被AB平分，求出DE的长度；再设半径为r，用r表示出OE的长度，最后在Rt△ODE中利用勾股定理列方程求解即可。
（2）求OF的长有两种常见思路：思路一：先在Rt△BCE中用勾股定理求出BC的长度，再结合垂径定理得到BF的长度，最后在Rt△OBF中用勾股定理计算OF；思路二：用面积法，△OBC的面积可分别以OB为底、CE为高和以BC为底、OF为高两种方式表示，建立等式即可求出OF。
【解析】
（1）连接OD，设$\odot O$的半径为r。
$\because AB⊥ CD$，AB是$\odot O$的直径，由垂径定理得：$∠ OED=90°$，$DE=CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
又$\because OE=OA-AE=r-2$，$OD=r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得$OE^2+DE^2=OD^2$，即$(r-2)^2+4^2=r^2$，
展开化简得$-4r+20=0$，解得$r=5$，即$\odot O$的半径为5。
（2）解法一：
由（1）得$AB=2r=10$，$\therefore BE=AB-AE=10-2=8$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$CE=4$，$BE=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
$\because OF⊥ BC$，由垂径定理得：$BF=CF=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{5}$，$∠ OFB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，$OB=5$，$BF=2\sqrt{5}$，
$\therefore OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$。
解法二（面积法）：
连接OC，先计算BC的长度：由（1）得$BE=10-2=8$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
$△ OBC$的面积可表示为：$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× OB× CE=\frac{1}{2}×5×4=10$，
同时$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× BC× OF$，
$\therefore \frac{1}{2}×4\sqrt{5}× OF=10$，化简得$2\sqrt{5}· OF=10$，解得$OF=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$\odot O$的半径为$\boxed{5}$；
（2）OF的长为$\boxed{\sqrt{5}}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心是将垂径定理与勾股定理结合使用，求圆半径时利用方程思想列等式是常用技巧，第二问的多解思路可帮助学生灵活选择解题方法，提升几何问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
15 如图,有一座拱桥的截面是圆弧形,圆心为点O,它的跨度$AB=60\ \mathrm{m}$,拱高$PD=18\ \mathrm{m}$($OP⊥ AB$).
（1）求圆弧所在圆的半径.
（2）当洪水泛滥到跨度只有$30\ \mathrm{m}$(即图中$A'B'$的位置)时,要采取紧急措施.当拱顶离水面只有$4\ \mathrm{m}$,即$PE=4\ \mathrm{m}$时,是否要采取紧急措施?
（1）求圆弧所在圆的半径.
（2）当洪水泛滥到跨度只有$30\ \mathrm{m}$(即图中$A'B'$的位置)时,要采取紧急措施.当拱顶离水面只有$4\ \mathrm{m}$,即$PE=4\ \mathrm{m}$时,是否要采取紧急措施?
答案
15. （1）连接OA. 设圆弧所在圆的半径为r m. 由题意,得 $AD=\frac{1}{2}AB=30\ \mathrm{m},OD=OP-PD=(r-18)\mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ADO$中,由勾股定理,得 $r^2=30^2+(r-18)^2$,解得$r=34$. $\therefore$ 圆弧所在圆的半径为34 m
（2）连接$OA'$. 由题意,得 $OE=OP-PE=34-4=30(\mathrm{m}),A'B'=2A'E$. 在$\mathrm{Rt}△A'EO$中,由勾股定理,得 $A'E=\sqrt{A'O^2-OE^2}=\sqrt{34^2-30^2}=16\ (\mathrm{m})$. $\therefore A'B'=2A'E=32\ \mathrm{m}. \because 32＞30,\therefore$ 不要采取紧急措施
（2）连接$OA'$. 由题意,得 $OE=OP-PE=34-4=30(\mathrm{m}),A'B'=2A'E$. 在$\mathrm{Rt}△A'EO$中,由勾股定理,得 $A'E=\sqrt{A'O^2-OE^2}=\sqrt{34^2-30^2}=16\ (\mathrm{m})$. $\therefore A'B'=2A'E=32\ \mathrm{m}. \because 32＞30,\therefore$ 不要采取紧急措施
解析
【分析】
（1）求圆弧半径时，首先利用垂径定理，垂直于弦AB的半径OP平分AB，可得到AD的长度；设圆的半径为r，即可用含r的式子表示出OD的长度，在Rt△ADO中，三边满足勾股定理，据此列方程即可求解半径。
（2）判断是否需要采取紧急措施，只需计算出此时跨度A'B'的长度，再和30m比较即可：先根据PE的长度求出OE的长度，连接OA'后，在Rt△A'EO中利用勾股定理求出A'E的长度，再根据垂径定理可得A'B'=2A'E，得到A'B'的长度后与30m比较，若A'B'＞30m则不需要采取措施，反之需要。
【解析】
（1）连接OA，设圆弧所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$。
$\because OP⊥ AB$，由垂径定理得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{m}$，
$OD=OP-PD=(r-18)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ADO$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$r^2=30^2+(r-18)^2$，
解得$r=34$。
（2）连接$OA'$，
由题意得$OE=OP-PE=34-4=30\ \mathrm{m}$，
$\because OP⊥ A'B'$，由垂径定理得$A'B'=2A'E$。
在$\mathrm{Rt}△A'EO$中，由勾股定理得：
$A'E=\sqrt{A'O^2-OE^2}=\sqrt{34^2-30^2}=16\ \mathrm{m}$，
$\therefore A'B'=2×16=32\ \mathrm{m}$。
$\because 32＞30$，$\therefore$不需要采取紧急措施。
【答案】
（1）圆弧所在圆的半径为$34\ \mathrm{m}$；
（2）不需要采取紧急措施。
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质在实际问题中的应用，解题核心是通过辅助线构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，能够考察学生将实际问题转化为几何计算的能力，以及方程思想、数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.7
（1）求圆弧半径时，首先利用垂径定理，垂直于弦AB的半径OP平分AB，可得到AD的长度；设圆的半径为r，即可用含r的式子表示出OD的长度，在Rt△ADO中，三边满足勾股定理，据此列方程即可求解半径。
（2）判断是否需要采取紧急措施，只需计算出此时跨度A'B'的长度，再和30m比较即可：先根据PE的长度求出OE的长度，连接OA'后，在Rt△A'EO中利用勾股定理求出A'E的长度，再根据垂径定理可得A'B'=2A'E，得到A'B'的长度后与30m比较，若A'B'＞30m则不需要采取措施，反之需要。
【解析】
（1）连接OA，设圆弧所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$。
$\because OP⊥ AB$，由垂径定理得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{m}$，
$OD=OP-PD=(r-18)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ADO$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，
即$r^2=30^2+(r-18)^2$，
解得$r=34$。
（2）连接$OA'$，
由题意得$OE=OP-PE=34-4=30\ \mathrm{m}$，
$\because OP⊥ A'B'$，由垂径定理得$A'B'=2A'E$。
在$\mathrm{Rt}△A'EO$中，由勾股定理得：
$A'E=\sqrt{A'O^2-OE^2}=\sqrt{34^2-30^2}=16\ \mathrm{m}$，
$\therefore A'B'=2×16=32\ \mathrm{m}$。
$\because 32＞30$，$\therefore$不需要采取紧急措施。
【答案】
（1）圆弧所在圆的半径为$34\ \mathrm{m}$；
（2）不需要采取紧急措施。
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质在实际问题中的应用，解题核心是通过辅助线构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，能够考察学生将实际问题转化为几何计算的能力，以及方程思想、数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.7
