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1. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确正多边形中心角的相关概念：正多边形的中心角是正多边形的边所对的外接圆的圆心角，所有中心角的和等于周角360°，且正多边形的每个中心角都相等，由此可得到正n边形中心角的计算公式：中心角度数=360°÷n，本题中正多边形边数为12，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
正多边形的所有中心角之和为周角360°，且每个中心角大小相等，因此正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$。
已知该纪念币为正十二边形，即n=12，代入公式得：
中心角$=\frac{360°}{12}=30°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形的性质；周角的定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正多边形中心角的计算，牢记相关公式即可快速作答，是正多边形与圆章节的常见基础题，需要熟练掌握相关基础概念和公式。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确正多边形中心角的相关概念：正多边形的中心角是正多边形的边所对的外接圆的圆心角，所有中心角的和等于周角360°，且正多边形的每个中心角都相等，由此可得到正n边形中心角的计算公式：中心角度数=360°÷n，本题中正多边形边数为12，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
正多边形的所有中心角之和为周角360°，且每个中心角大小相等，因此正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$。
已知该纪念币为正十二边形，即n=12，代入公式得：
中心角$=\frac{360°}{12}=30°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形的性质；周角的定义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正多边形中心角的计算，牢记相关公式即可快速作答，是正多边形与圆章节的常见基础题，需要熟练掌握相关基础概念和公式。
【难度系数】
0.9
2.如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,连接OC,OD,则$∠ COD$的度数为 （
A.$72°$
B.$60°$
C.$54°$
D.$48°$
A
）A.$72°$
B.$60°$
C.$54°$
D.$48°$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正多边形内接于圆的性质：正n边形各边对应的圆心角（即中心角）大小相等，所有中心角的总和为360°。观察图形可知∠COD是正五边形边CD对应的中心角，因此只需要用360°除以正五边形的边数5，就能求出∠COD的度数。
【解析】
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，正多边形各边对应的中心角相等，所有中心角的和为360°，∠COD是正五边形对应边CD的中心角，
∴$∠ COD=\frac{360°}{5}=72°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的中心角、正多边形与圆的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查正多边形中心角的计算，熟记正n边形的中心角公式$\frac{360°}{n}$即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆正多边形内接于圆的性质：正n边形各边对应的圆心角（即中心角）大小相等，所有中心角的总和为360°。观察图形可知∠COD是正五边形边CD对应的中心角，因此只需要用360°除以正五边形的边数5，就能求出∠COD的度数。
【解析】
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，正多边形各边对应的中心角相等，所有中心角的和为360°，∠COD是正五边形对应边CD的中心角，
∴$∠ COD=\frac{360°}{5}=72°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的中心角、正多边形与圆的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查正多边形中心角的计算，熟记正n边形的中心角公式$\frac{360°}{n}$即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境.
，有一个凉亭，它的地基的平面示意图
所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为6 m的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（
A.36 m
B.$36\sqrt{2}$ m
C.$36\sqrt{3}$ m
D.72 m
，有一个凉亭，它的地基的平面示意图所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为6 m的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（A
）A.36 m
B.$36\sqrt{2}$ m
C.$36\sqrt{3}$ m
D.72 m
答案
3.A
解析
【分析】
要计算圆内接正六边形的周长，首先需要求出正六边形的边长。首先回忆正多边形与圆的性质：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，对于正六边形，n=6，可算出中心角为60°。连接正六边形中心和相邻两个顶点，得到的三角形两条边都是外接圆的半径，长度相等，夹角为60°，因此该三角形是等边三角形，可推出正六边形的边长等于外接圆半径，最后用边长乘6即可得到周长。
【解析】
解：已知该正六边形内接于半径为6 m的圆。
正六边形的中心角为：$\frac{360°}{6}=60°$。
连接正六边形的中心与任意两个相邻顶点，得到的三角形的两条边均为圆的半径（长6 m），两边夹角为60°，因此该三角形为等边三角形，即正六边形的边长等于外接圆的半径，为6 m。
正六边形有6条等长的边，因此周长为：$6×6=36\ \mathrm{m}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 等边三角形判定
3. 周长计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查圆内接正六边形的性质，解题关键是明确圆内接正六边形的边长与外接圆半径相等，掌握该性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
要计算圆内接正六边形的周长，首先需要求出正六边形的边长。首先回忆正多边形与圆的性质：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，对于正六边形，n=6，可算出中心角为60°。连接正六边形中心和相邻两个顶点，得到的三角形两条边都是外接圆的半径，长度相等，夹角为60°，因此该三角形是等边三角形，可推出正六边形的边长等于外接圆半径，最后用边长乘6即可得到周长。
【解析】
解：已知该正六边形内接于半径为6 m的圆。
正六边形的中心角为：$\frac{360°}{6}=60°$。
连接正六边形的中心与任意两个相邻顶点，得到的三角形的两条边均为圆的半径（长6 m），两边夹角为60°，因此该三角形为等边三角形，即正六边形的边长等于外接圆的半径，为6 m。
正六边形有6条等长的边，因此周长为：$6×6=36\ \mathrm{m}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 等边三角形判定
3. 周长计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查圆内接正六边形的性质，解题关键是明确圆内接正六边形的边长与外接圆半径相等，掌握该性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
4.如图,已知$\odot O$的内接正方形ABCD的边长为1,则$\odot O$的半径为 （
A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.1
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.1
D.$\frac{1}{2}$
答案
4.B
解析
【分析】
要解决本题，首先结合圆内接正方形的性质分析：正方形的四个顶点都在圆上，其内角为90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此正方形的对角线就是⊙O的直径。接下来只需要先通过勾股定理求出正方形的对角线长度，再除以2即可得到圆的半径。
【解析】
连接AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=1，
∴AC是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆、勾股定理、圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确圆内接正方形的对角线等于其外接圆的直径，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先结合圆内接正方形的性质分析：正方形的四个顶点都在圆上，其内角为90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此正方形的对角线就是⊙O的直径。接下来只需要先通过勾股定理求出正方形的对角线长度，再除以2即可得到圆的半径。
【解析】
连接AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=1，
∴AC是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆、勾股定理、圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确圆内接正方形的对角线等于其外接圆的直径，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.【跨学科·化学】苯(分子式为$\ce{C_{6}H_{6}}$)环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形.如图所示,已知点O为正六边形ABCDEF的中心,若该正六边形的边长为a,则其中心O到CD的距离为
$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
.答案
5.$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
解析
【分析】首先利用正六边形的性质分析：正六边形的中心到各顶点的距离与边长相等，相邻两条中心半径的夹角（中心角）为$360°÷6=60°$，因此可推导出$△ OCD$是等边三角形，求中心O到CD的距离，实际就是求等边三角形CD边上的高，再用勾股定理计算即可。
【解析】连接OC、OD，过点O作$OH⊥ CD$于点H，OH即为中心O到CD的距离。
∵六边形ABCDEF是边长为a的正六边形，
∴中心角$∠ COD=360°÷6=60°$，且$OC=OD=a$，
∴$△ OCD$是等边三角形，$CD=a$。
在$Rt△ OCH$中，$CH=\frac{CD}{2}=\frac{a}{2}$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
【答案】$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
【知识点】正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】本题结合化学中苯的分子结构考查正多边形相关知识，将几何知识与跨学科场景结合，解题的核心是将所求距离转化为等边三角形的高求解，侧重基础应用。
【难度系数】0.7
【解析】连接OC、OD，过点O作$OH⊥ CD$于点H，OH即为中心O到CD的距离。
∵六边形ABCDEF是边长为a的正六边形，
∴中心角$∠ COD=360°÷6=60°$，且$OC=OD=a$，
∴$△ OCD$是等边三角形，$CD=a$。
在$Rt△ OCH$中，$CH=\frac{CD}{2}=\frac{a}{2}$，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
【答案】$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
【知识点】正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】本题结合化学中苯的分子结构考查正多边形相关知识，将几何知识与跨学科场景结合，解题的核心是将所求距离转化为等边三角形的高求解，侧重基础应用。
【难度系数】0.7
6.如图，$\odot O$是等边三角形$ABC$的外接圆，$\odot O$的半径为3，则等边三角形$ABC$的边长为
$3\sqrt{3}$
。答案
6.$3\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求等边三角形ABC的边长，我们可以利用正多边形外接圆的性质解题：首先连接圆心与三角形的两个顶点得到半径，再作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和三角函数即可求出边长。具体思路：1. 连接OB、OC，得到半径OB=OC=3；2. 计算正三角形的中心角∠BOC的度数；3. 过O作BC的垂线，利用垂径定理得到BC=2BD，再在直角三角形中用三角函数求出BD的长度，进而得到BC的长。
【解析】
连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D，
根据垂径定理可得：$BD=DC=\frac{1}{2}BC$。
∵$△ ABC$是等边三角形，$\odot O$是其外接圆，
∴中心角$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$，
又
∵$OB=OC=3$，
∴$∠ OBC=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$Rt△ BOD$中，
$BD=OB·\cos∠ OBD=3×\cos30°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=2BD=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆；垂径定理；解直角三角形
【点评】
本题是正多边形和圆相关的基础题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合正多边形中心角的性质、垂径定理和三角函数求解边长，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要求等边三角形ABC的边长，我们可以利用正多边形外接圆的性质解题：首先连接圆心与三角形的两个顶点得到半径，再作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和三角函数即可求出边长。具体思路：1. 连接OB、OC，得到半径OB=OC=3；2. 计算正三角形的中心角∠BOC的度数；3. 过O作BC的垂线，利用垂径定理得到BC=2BD，再在直角三角形中用三角函数求出BD的长度，进而得到BC的长。
【解析】
连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D，
根据垂径定理可得：$BD=DC=\frac{1}{2}BC$。
∵$△ ABC$是等边三角形，$\odot O$是其外接圆，
∴中心角$∠ BOC=\frac{360°}{3}=120°$，
又
∵$OB=OC=3$，
∴$∠ OBC=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
在$Rt△ BOD$中，
$BD=OB·\cos∠ OBD=3×\cos30°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=2BD=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆；垂径定理；解直角三角形
【点评】
本题是正多边形和圆相关的基础题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合正多边形中心角的性质、垂径定理和三角函数求解边长，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
7.如图,点O是正八边形$A_1A_2··· A_8$外接圆的圆心,连接$A_4A_6$.
(1)$∠ A_8=$
(2)若$\odot O$的半径长为4 cm,则$A_4A_6=$
(1)$∠ A_8=$
135
$°$;(2)若$\odot O$的半径长为4 cm,则$A_4A_6=$
$4\sqrt{2}$
cm.答案
7.(1)135 (2)$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 求正八边形的内角，可利用正多边形内角和公式，先计算正八边形的总内角和，再除以边数即可得到单个内角的度数；(2) 求弦$A_4A_6$的长度，先计算正八边形每个中心角的度数，确定$A_4$到$A_6$对应的中心角大小，再结合半径长度，用勾股定理计算弦长即可。
【解析】
(1) 正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），正八边形的边数$n=8$，
则正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，
正八边形每个内角相等，因此$∠ A_8=\frac{1080°}{8}=135°$。
(2) 正八边形的每个中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，
$A_4$到$A_6$间隔2个边，对应中心角$∠ A_4OA_6=2×45°=90°$，
已知$\odot O$半径$OA_4=OA_6=4\mathrm{cm}$，$△ A_4OA_6$为等腰直角三角形，
由勾股定理可得：$A_4A_6=\sqrt{OA_4^2+OA_6^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$135$；(2)$4\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的内角计算，正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关性质，核心是掌握正多边形内角、中心角的计算方法，结合勾股定理求解弦长，属于基础题型，牢记相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 求正八边形的内角，可利用正多边形内角和公式，先计算正八边形的总内角和，再除以边数即可得到单个内角的度数；(2) 求弦$A_4A_6$的长度，先计算正八边形每个中心角的度数，确定$A_4$到$A_6$对应的中心角大小，再结合半径长度，用勾股定理计算弦长即可。
【解析】
(1) 正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），正八边形的边数$n=8$，
则正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，
正八边形每个内角相等，因此$∠ A_8=\frac{1080°}{8}=135°$。
(2) 正八边形的每个中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，
$A_4$到$A_6$间隔2个边，对应中心角$∠ A_4OA_6=2×45°=90°$，
已知$\odot O$半径$OA_4=OA_6=4\mathrm{cm}$，$△ A_4OA_6$为等腰直角三角形，
由勾股定理可得：$A_4A_6=\sqrt{OA_4^2+OA_6^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$135$；(2)$4\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形的内角计算，正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关性质，核心是掌握正多边形内角、中心角的计算方法，结合勾股定理求解弦长，属于基础题型，牢记相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度$ b=3 \, \mathrm{cm} $，则螺帽边长$ a= $
$\sqrt{3}$
$ \mathrm{cm} $。答案
8.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先明确扳手开口宽度b对应的是正六边形一组对边之间的距离，结合正六边形的性质：正六边形可看作由6个边长等于螺帽边长a的等边三角形拼接而成，对边距离等于2倍的等边三角形的高。我们可以先推导等边三角形的高和边长a的关系，进而建立b与a的等量关系式，最后代入b的数值即可计算出a的值。
【解析】
解：正六边形的对边距离等于2倍的边心距（即正六边形中心到任意一条边的距离）。
正六边形的边心距是边长为a的等边三角形的高，根据等边三角形高的计算公式，该高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
因此对边距离$b=2×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}a$，
将$b=3\mathrm{cm}$代入上式得：$3=\sqrt{3}a$，
化简解得$a=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活实际考查正多边形的相关计算，解题的核心是建立扳手开口宽度和正六边形对边距离的对应关系，熟练掌握正六边形边长与边心距的关系即可快速求解，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确扳手开口宽度b对应的是正六边形一组对边之间的距离，结合正六边形的性质：正六边形可看作由6个边长等于螺帽边长a的等边三角形拼接而成，对边距离等于2倍的等边三角形的高。我们可以先推导等边三角形的高和边长a的关系，进而建立b与a的等量关系式，最后代入b的数值即可计算出a的值。
【解析】
解：正六边形的对边距离等于2倍的边心距（即正六边形中心到任意一条边的距离）。
正六边形的边心距是边长为a的等边三角形的高，根据等边三角形高的计算公式，该高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
因此对边距离$b=2×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}a$，
将$b=3\mathrm{cm}$代入上式得：$3=\sqrt{3}a$，
化简解得$a=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正六边形的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活实际考查正多边形的相关计算，解题的核心是建立扳手开口宽度和正六边形对边距离的对应关系，熟练掌握正六边形边长与边心距的关系即可快速求解，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
9.如图，$\odot O$的半径为$R$，六边形$ABCDEF$是圆内接正六边形，四边形$EFGH$是正方形.
(1)求$∠ OGF$的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比.
(1)求$∠ OGF$的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比.
答案
9.解:(1)$\because OF=EF=FG,\therefore △ OFG$是等腰三角形. $\because ∠ EFG=90°,∠ OFE=60°,\therefore ∠ OFG=150°. \therefore ∠ OGF=\frac{1}{2} × (180°-150°)=15°.$
(2)连接$OE$. 设正六边形的边长为$a$. $\because ∠ FOE$为正六边形的中心角, $\therefore ∠ FOE=60°. \because EO=FO=a$,$\therefore △ EOF$是边长为$a$的等边三角形. $\therefore EF=a. \therefore$正方形$EFGH$的面积为$a^2$,正六边形的面积为$6 × \frac{1}{2} · a · \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2. \therefore$正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2:a^2=3\sqrt{3}:2.$
(2)连接$OE$. 设正六边形的边长为$a$. $\because ∠ FOE$为正六边形的中心角, $\therefore ∠ FOE=60°. \because EO=FO=a$,$\therefore △ EOF$是边长为$a$的等边三角形. $\therefore EF=a. \therefore$正方形$EFGH$的面积为$a^2$,正六边形的面积为$6 × \frac{1}{2} · a · \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2. \therefore$正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2:a^2=3\sqrt{3}:2.$
解析
【分析】
(1) 求∠OGF的度数时，首先利用圆内接正六边形边长等于外接圆半径的性质，可得OF=EF，再结合正方形四边相等的性质得EF=FG，因此△OFG是等腰三角形。接下来只需算出顶角∠OFG的度数：正六边形中∠OFE为60°，正方形中∠EFG为90°，求和即可得到顶角，最后利用等腰三角形内角和性质计算底角∠OGF即可。
(2) 求面积比时，可设正六边形边长为a，分别表示两个图形的面积：正六边形可分割为6个全等的边长为a的等边三角形，计算出总面积；正方形边长等于正六边形边长a，直接计算面积，最后作比化简即可。
【解析】
(1)
∵ 六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴ 正六边形边长等于外接圆半径，即$OF=EF$，且$△ OFE$是等边三角形，$∠ OFE=60°$。
∵ 四边形EFGH是正方形，
∴ $EF=FG$，$∠ EFG=90°$。
∴ $OF=FG$，即$△ OFG$是等腰三角形，且$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$。
∴ $∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
(2) 连接$OE$，设正六边形的边长为$a$。
∵ $∠ FOE$是正六边形的中心角，
∴ $∠ FOE=360°÷6=60°$，又$OE=OF=a$，
∴ $△ EOF$是边长为$a$的等边三角形，即$EF=a$。
∴ 正方形EFGH的面积$S_{\mathrm{正方形}}=EF^2=a^2$。
正六边形的面积为6个边长为$a$的等边三角形的面积和，即$S_{\mathrm{正六边形}}=6×\frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
∴ 正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2:a^2=3\sqrt{3}:2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15°}$；(2) $\boldsymbol{3\sqrt{3}:2}$
【知识点】
1. 正多边形与圆的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 多边形面积计算
【点评】
本题是正多边形相关的基础综合题，解题核心是利用圆内接正六边形边长等于外接圆半径的性质，建立正六边形和正方形的边长关联，再结合等腰三角形、正多边形面积公式求解，能较好地考查学生对正多边形性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠OGF的度数时，首先利用圆内接正六边形边长等于外接圆半径的性质，可得OF=EF，再结合正方形四边相等的性质得EF=FG，因此△OFG是等腰三角形。接下来只需算出顶角∠OFG的度数：正六边形中∠OFE为60°，正方形中∠EFG为90°，求和即可得到顶角，最后利用等腰三角形内角和性质计算底角∠OGF即可。
(2) 求面积比时，可设正六边形边长为a，分别表示两个图形的面积：正六边形可分割为6个全等的边长为a的等边三角形，计算出总面积；正方形边长等于正六边形边长a，直接计算面积，最后作比化简即可。
【解析】
(1)
∵ 六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴ 正六边形边长等于外接圆半径，即$OF=EF$，且$△ OFE$是等边三角形，$∠ OFE=60°$。
∵ 四边形EFGH是正方形，
∴ $EF=FG$，$∠ EFG=90°$。
∴ $OF=FG$，即$△ OFG$是等腰三角形，且$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$。
∴ $∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
(2) 连接$OE$，设正六边形的边长为$a$。
∵ $∠ FOE$是正六边形的中心角，
∴ $∠ FOE=360°÷6=60°$，又$OE=OF=a$，
∴ $△ EOF$是边长为$a$的等边三角形，即$EF=a$。
∴ 正方形EFGH的面积$S_{\mathrm{正方形}}=EF^2=a^2$。
正六边形的面积为6个边长为$a$的等边三角形的面积和，即$S_{\mathrm{正六边形}}=6×\frac{1}{2}× a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
∴ 正六边形与正方形的面积比为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2:a^2=3\sqrt{3}:2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15°}$；(2) $\boldsymbol{3\sqrt{3}:2}$
【知识点】
1. 正多边形与圆的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 多边形面积计算
【点评】
本题是正多边形相关的基础综合题，解题核心是利用圆内接正六边形边长等于外接圆半径的性质，建立正六边形和正方形的边长关联，再结合等腰三角形、正多边形面积公式求解，能较好地考查学生对正多边形性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
