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1. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，则点$O$是$△ ABC$的（
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
B
）A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先回忆三角形各类特殊交点的定义和性质：首先三角形内切圆的圆心需要满足到三边的距离都相等（等于内切圆半径），再逐一匹配各选项对应的点的性质：三条边垂直平分线的交点是外接圆圆心，到顶点距离相等；三条角平分线的交点到三边距离相等，符合内切圆圆心的要求；三条中线交点是重心，三条高交点是垂心，均不满足到三边距离相等的特征，通过性质匹配即可选出答案。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，是外接圆的圆心，特点是到三角形三个顶点的距离相等，不符合内切圆圆心的特征，排除；
2. ⊙O是△ABC的内切圆，因此⊙O和△ABC的三边都相切，圆心O到三边的距离都等于内切圆的半径。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知到三角形三边距离都相等的点是三条角平分线的交点，故B正确；
3. 选项C：三条中线的交点是三角形的重心，不满足到三边距离相等的特征，排除；
4. 选项D：三条高的交点是三角形的垂心，不满足到三边距离相等的特征，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形内心定义；角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念题，主要考查三角形各类特殊交点的性质区分，牢记相关定义和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形各类特殊交点的定义和性质：首先三角形内切圆的圆心需要满足到三边的距离都相等（等于内切圆半径），再逐一匹配各选项对应的点的性质：三条边垂直平分线的交点是外接圆圆心，到顶点距离相等；三条角平分线的交点到三边距离相等，符合内切圆圆心的要求；三条中线交点是重心，三条高交点是垂心，均不满足到三边距离相等的特征，通过性质匹配即可选出答案。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，是外接圆的圆心，特点是到三角形三个顶点的距离相等，不符合内切圆圆心的特征，排除；
2. ⊙O是△ABC的内切圆，因此⊙O和△ABC的三边都相切，圆心O到三边的距离都等于内切圆的半径。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知到三角形三边距离都相等的点是三条角平分线的交点，故B正确；
3. 选项C：三条中线的交点是三角形的重心，不满足到三边距离相等的特征，排除；
4. 选项D：三条高的交点是三角形的垂心，不满足到三边距离相等的特征，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形内心定义；角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念题，主要考查三角形各类特殊交点的性质区分，牢记相关定义和性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2.(宁夏中考)如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$∠ A=54°$，则$∠ BOC=$
117
°。答案
2.117
解析
【分析】
已知⊙O是△ABC的内切圆，可知点O是△ABC的内心，即三角形三个内角的角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。解题时，先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和，再根据角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的度数和，最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=54°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
117
【知识点】
三角形内心的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，解题的核心是掌握三角形内心是内角角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理即可快速求解，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.75
已知⊙O是△ABC的内切圆，可知点O是△ABC的内心，即三角形三个内角的角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。解题时，先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和，再根据角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的度数和，最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=54°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
117
【知识点】
三角形内心的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，解题的核心是掌握三角形内心是内角角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理即可快速求解，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.75
3.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与边BC相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是
70
°。答案
3.70
解析
【分析】
解题时先从已知条件“△ABC的内切圆⊙O”入手：首先回忆三角形内心的性质，内切圆的圆心是三角形的内心，即三个内角角平分线的交点，因此OB平分∠ABC，可求出∠OBD的度数；再结合切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得OD⊥BC，即△OBD是直角三角形，最后利用三角形内角和定理即可计算出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB是∠ABC的角平分线，OD⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径），
∵∠ABC=40°，
∴∠OBD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，
∴∠BOD = 180° - ∠ODB - ∠OBD = 180° - 90° - 20° = 70°。
【答案】
70
【知识点】
三角形内心的性质，切线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内切圆相关性质的应用，只要熟练掌握内心的角平分线性质、切线的垂直性质，结合三角形内角和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“△ABC的内切圆⊙O”入手：首先回忆三角形内心的性质，内切圆的圆心是三角形的内心，即三个内角角平分线的交点，因此OB平分∠ABC，可求出∠OBD的度数；再结合切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得OD⊥BC，即△OBD是直角三角形，最后利用三角形内角和定理即可计算出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB是∠ABC的角平分线，OD⊥BC（圆的切线垂直于过切点的半径），
∵∠ABC=40°，
∴∠OBD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，
∴∠BOD = 180° - ∠ODB - ∠OBD = 180° - 90° - 20° = 70°。
【答案】
70
【知识点】
三角形内心的性质，切线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内切圆相关性质的应用，只要熟练掌握内心的角平分线性质、切线的垂直性质，结合三角形内角和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB=9$，$BC=14$，$CA=13$，则$AF$的长为
4
。答案
4.4
解析
【分析】
本题可利用切线长定理得到相等的线段，通过设未知数表示出各段切线长，再结合BC的长度列方程求解。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。因此AF=AE、BF=BD、CD=CE，设AF的长度为x，将BD、CD用含x的式子表示，根据BD+CD=BC列方程即可求出x的值。
【解析】
设$AF=x$，
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与AB、AC、BC分别相切于点F、E、D，
根据切线长定理可得：
$AE=AF=x$，$BF=BD$，$CD=CE$，
∵$AB=9$，
∴$BF=AB-AF=9-x$，即$BD=9-x$，
∵$AC=13$，
∴$CE=AC-AE=13-x$，即$CD=13-x$，
又
∵$BC=BD+CD=14$，
代入得：$(9-x)+(13-x)=14$，
化简得：$22-2x=14$，
解得：$x=4$，即$AF=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆的基础题型，核心考查切线长定理的应用，通过设未知数列方程的代数方法解决几何长度问题是这类题的常用解法，熟练掌握切线长定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题可利用切线长定理得到相等的线段，通过设未知数表示出各段切线长，再结合BC的长度列方程求解。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。因此AF=AE、BF=BD、CD=CE，设AF的长度为x，将BD、CD用含x的式子表示，根据BD+CD=BC列方程即可求出x的值。
【解析】
设$AF=x$，
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与AB、AC、BC分别相切于点F、E、D，
根据切线长定理可得：
$AE=AF=x$，$BF=BD$，$CD=CE$，
∵$AB=9$，
∴$BF=AB-AF=9-x$，即$BD=9-x$，
∵$AC=13$，
∴$CE=AC-AE=13-x$，即$CD=13-x$，
又
∵$BC=BD+CD=14$，
代入得：$(9-x)+(13-x)=14$，
化简得：$22-2x=14$，
解得：$x=4$，即$AF=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆的基础题型，核心考查切线长定理的应用，通过设未知数列方程的代数方法解决几何长度问题是这类题的常用解法，熟练掌握切线长定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若∠DEF=55°，则∠A的度数是
70°
。答案
5.70°
解析
【分析】
本题需结合内切圆的性质、圆周角定理和四边形内角和求解∠A的度数，解题思路如下：1. 连接圆心O与切点D、F，根据切线的性质可得OD垂直AB、OF垂直AC，得到两个直角；2. 利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知∠DEF的度数求出圆心角∠DOF的度数；3. 在四边形ADOF中，根据四边形内角和为360°，代入已知角度即可计算出∠A的度数。
【解析】
连接OD、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、F分别是⊙O与AB、AC的切点，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，即∠ADO=∠AFO=90°。
∵∠DEF和∠DOF是同弧DF所对的圆周角和圆心角，
∴∠DOF=2∠DEF=2×55°=110°。
∵四边形ADOF的内角和为360°，
∴∠A + ∠ADO + ∠AFO + ∠DOF = 360°，
代入数值可得：∠A=360°-90°-90°-110°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆角度计算的典型题型，解题的核心是掌握切线的性质，通过连接圆心与切点构造辅助线，结合圆周角定理即可快速求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
本题需结合内切圆的性质、圆周角定理和四边形内角和求解∠A的度数，解题思路如下：1. 连接圆心O与切点D、F，根据切线的性质可得OD垂直AB、OF垂直AC，得到两个直角；2. 利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知∠DEF的度数求出圆心角∠DOF的度数；3. 在四边形ADOF中，根据四边形内角和为360°，代入已知角度即可计算出∠A的度数。
【解析】
连接OD、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、F分别是⊙O与AB、AC的切点，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，即∠ADO=∠AFO=90°。
∵∠DEF和∠DOF是同弧DF所对的圆周角和圆心角，
∴∠DOF=2∠DEF=2×55°=110°。
∵四边形ADOF的内角和为360°，
∴∠A + ∠ADO + ∠AFO + ∠DOF = 360°，
代入数值可得：∠A=360°-90°-90°-110°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆角度计算的典型题型，解题的核心是掌握切线的性质，通过连接圆心与切点构造辅助线，结合圆周角定理即可快速求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$△ ABC$的周长是18 cm，点O是$△ ABC$的内心，过点O作$EF // AB$，与AC，BC分别交于点E，F，已知$AB=6$ cm，则$△ CEF$的周长为
12
cm.答案
6.12
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，因此OA、OB分别平分∠CAB和∠CBA；再结合EF//AB的条件，利用平行线的内错角相等，可推出∠EAO=∠EOA，∠FBO=∠FOB，进而得到等腰三角形，即EO=AE、OF=BF；最后将△CEF的周长拆分为CE+CF+EF，把EF替换为EO+OF，通过等量代换将周长转化为AC+BC的长度，结合△ABC的总周长和AB的长度即可计算出结果。
【解析】
连接OA、OB：
1. 由点O是△ABC的内心，可得OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，即$∠ EAO=∠ OAB$，$∠ FBO=∠ OBA$。
2. 因为$EF// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ EOA=∠ OAB$，$∠ FOB=∠ OBA$。
3. 等量代换得$∠ EAO=∠ EOA$，$∠ FBO=∠ FOB$，根据“等角对等边”，可得$EO=AE$，$OF=BF$。
4. 计算△CEF的周长：
$C_{△ CEF}=CE+CF+EF=CE+CF+EO+OF$
将$EO=AE$、$OF=BF$代入，得：
$C_{△ CEF}=CE+AE+CF+BF=AC+BC$
5. 已知△ABC周长为18cm，$AB=6\mathrm{cm}$，因此$AC+BC=18-AB=18-6=12\mathrm{cm}$，即△CEF的周长为12cm。
【答案】
12
【知识点】
三角形内心的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题的关键是掌握“角平分线+平行线”的组合可推导得到等腰三角形这一常用模型，通过等线段代换将未知周长转化为已知边长的差即可快速求解，是三角形内切圆相关的典型基础题。
【难度系数】
0.65
解题时首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，因此OA、OB分别平分∠CAB和∠CBA；再结合EF//AB的条件，利用平行线的内错角相等，可推出∠EAO=∠EOA，∠FBO=∠FOB，进而得到等腰三角形，即EO=AE、OF=BF；最后将△CEF的周长拆分为CE+CF+EF，把EF替换为EO+OF，通过等量代换将周长转化为AC+BC的长度，结合△ABC的总周长和AB的长度即可计算出结果。
【解析】
连接OA、OB：
1. 由点O是△ABC的内心，可得OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，即$∠ EAO=∠ OAB$，$∠ FBO=∠ OBA$。
2. 因为$EF// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ EOA=∠ OAB$，$∠ FOB=∠ OBA$。
3. 等量代换得$∠ EAO=∠ EOA$，$∠ FBO=∠ FOB$，根据“等角对等边”，可得$EO=AE$，$OF=BF$。
4. 计算△CEF的周长：
$C_{△ CEF}=CE+CF+EF=CE+CF+EO+OF$
将$EO=AE$、$OF=BF$代入，得：
$C_{△ CEF}=CE+AE+CF+BF=AC+BC$
5. 已知△ABC周长为18cm，$AB=6\mathrm{cm}$，因此$AC+BC=18-AB=18-6=12\mathrm{cm}$，即△CEF的周长为12cm。
【答案】
12
【知识点】
三角形内心的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题的关键是掌握“角平分线+平行线”的组合可推导得到等腰三角形这一常用模型，通过等线段代换将未知周长转化为已知边长的差即可快速求解，是三角形内切圆相关的典型基础题。
【难度系数】
0.65
7.如图,周长为18 cm的三角形纸片ABC,其中AC=4 cm.小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O,他先沿着与⊙O相切的直线DE剪下一个三角形纸片BDE,则三角形BDE的周长是（
A.10 cm
B.9 cm
C.8 cm
D.7 cm
A
）A.10 cm
B.9 cm
C.8 cm
D.7 cm
答案
7.A
解析
【分析】
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：①首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等；②先根据△ABC的周长和AC的长度，求出AB+BC的长度，再结合切线长定理得到AB、BC边上除切点到A、C外的剩余线段BF和BG的长度和；③最后将△BDE的周长通过切线长相等转化为BF+BG的长度，即可得到结果。
【解析】
设⊙O与AB边相切于点F，与BC边相切于点G，与AC边相切于点M，与DE边相切于点H。
根据切线长定理可得：
$AF=AM$，$CG=CM$，$DF=DH$，$EG=EH$。
已知$△ ABC$的周长为18 cm，$AC=4\mathrm{cm}$，因此：
$AB+BC+AC=18\mathrm{cm}$，即$AB+BC=18-4=14\mathrm{cm}$。
又$\because AF+CG=AM+CM=AC=4\mathrm{cm}$，
$\therefore BF+BG=(AB-AF)+(BC-CG)=(AB+BC)-(AF+CG)=14-4=10\mathrm{cm}$。
$△ BDE$的周长为：
$C_{△ BDE}=BD+DE+BE=BD+DH+HE+BE$，
将$DH=DF$、$HE=EG$代入得：
$C_{△ BDE}=BD+DF+EG+BE=(BD+DF)+(BE+EG)=BF+BG=10\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆相关的典型计算题，解题的核心是灵活运用切线长定理，将未知三角形的周长转化为可求的线段和，解题时注意找准各条相等的切线长即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：①首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等；②先根据△ABC的周长和AC的长度，求出AB+BC的长度，再结合切线长定理得到AB、BC边上除切点到A、C外的剩余线段BF和BG的长度和；③最后将△BDE的周长通过切线长相等转化为BF+BG的长度，即可得到结果。
【解析】
设⊙O与AB边相切于点F，与BC边相切于点G，与AC边相切于点M，与DE边相切于点H。
根据切线长定理可得：
$AF=AM$，$CG=CM$，$DF=DH$，$EG=EH$。
已知$△ ABC$的周长为18 cm，$AC=4\mathrm{cm}$，因此：
$AB+BC+AC=18\mathrm{cm}$，即$AB+BC=18-4=14\mathrm{cm}$。
又$\because AF+CG=AM+CM=AC=4\mathrm{cm}$，
$\therefore BF+BG=(AB-AF)+(BC-CG)=(AB+BC)-(AF+CG)=14-4=10\mathrm{cm}$。
$△ BDE$的周长为：
$C_{△ BDE}=BD+DE+BE=BD+DH+HE+BE$，
将$DH=DF$、$HE=EG$代入得：
$C_{△ BDE}=BD+DF+EG+BE=(BD+DF)+(BE+EG)=BF+BG=10\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆相关的典型计算题，解题的核心是灵活运用切线长定理，将未知三角形的周长转化为可求的线段和，解题时注意找准各条相等的切线长即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8.【数学文化】《九章算术》中记载:“今有勾五步,股一十二步.问勾中容圆径几何?”译文:今有一个直角三角形(如图),勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形内切圆的直径是多少?求得该直径等于(注:“步”为古代长度单位) (
A.3步
B.4步
C.5步
D.6步
B
)A.3步
B.4步
C.5步
D.6步
答案
8.B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，已知直角三角形两条直角边的长度，先用勾股定理求出斜边长度；其次，结合三角形内切圆的相关性质，用面积法推导内切圆的半径；最后，半径乘2即可得到内切圆直径，匹配对应选项得到答案。
【解析】
1. 求直角三角形的斜边长：
根据勾股定理，斜边（弦）长$c=\sqrt{勾^2+股^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$步。
2. 计算内切圆半径$r$：
直角三角形面积$S=\frac{1}{2}× 勾 × 股=\frac{1}{2}×5×12=30$平方步。
三角形面积也可表示为内切圆半径与周长乘积的一半，即$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，代入数值：
$30=\frac{1}{2}×(5+12+13)r$
$30=15r$，解得$r=2$步。
3. 求内切圆直径：
直径$d=2r=2×2=4$步。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆；面积法
【点评】
本题结合传统数学文化出题，考查直角三角形内切圆直径的计算，只要掌握勾股定理和内切圆半径的计算方法就能顺利求解，核心考查基础公式的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，已知直角三角形两条直角边的长度，先用勾股定理求出斜边长度；其次，结合三角形内切圆的相关性质，用面积法推导内切圆的半径；最后，半径乘2即可得到内切圆直径，匹配对应选项得到答案。
【解析】
1. 求直角三角形的斜边长：
根据勾股定理，斜边（弦）长$c=\sqrt{勾^2+股^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$步。
2. 计算内切圆半径$r$：
直角三角形面积$S=\frac{1}{2}× 勾 × 股=\frac{1}{2}×5×12=30$平方步。
三角形面积也可表示为内切圆半径与周长乘积的一半，即$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，代入数值：
$30=\frac{1}{2}×(5+12+13)r$
$30=15r$，解得$r=2$步。
3. 求内切圆直径：
直径$d=2r=2×2=4$步。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆；面积法
【点评】
本题结合传统数学文化出题，考查直角三角形内切圆直径的计算，只要掌握勾股定理和内切圆半径的计算方法就能顺利求解，核心考查基础公式的应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图所示，某工厂剩余一块$△ ABC$型板材，其中$AB=100\ \mathrm{cm}$，$BC=160\ \mathrm{cm}$，$AC=140\ \mathrm{cm}$。为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件。你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心$O$的位置，并求出$\odot O$的半径；若不可以，请说明理由。
答案
9.解:可以.$\because$三角形内最大的圆是三角形的内切圆,$\therefore$所求圆的圆心是$△ ABC$的内心.如图
,作$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线$BE,CF$交于点$O$,则点$O$就是裁出的最大圆型部件的圆心$O$的位置.过点$O$作$OH⊥ BC$于点$H,OP⊥ AC$于点$P,OQ⊥ AB$于点$Q$,连接$OA$,过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$,设$BM=x\ \mathrm{cm}$,$\odot O$的半径为$R\ \mathrm{cm}$,$\because AB=100\ \mathrm{cm}$,$BC=160\ \mathrm{cm},AC=140\ \mathrm{cm}$,$\therefore CM=(160-x)\mathrm{cm}$,在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,由勾股定理,得$AM^2=AB^2-BM^2=100^2-x^2$,在$\mathrm{Rt}△ ACM$中,由勾股定理,得$AM^2=AC^2-CM^2=140^2-(160-x)^2$,$\therefore 100^2-x^2=140^2-(160-x)^2$,解得$x=50$.$\therefore AM=\sqrt{100^2-x^2}=50\sqrt{3}(\mathrm{cm})$.$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AM=\frac{1}{2}×160×50\sqrt{3}=4000\sqrt{3}(\mathrm{cm}^2)$.$\because$点$O$为$△ ABC$的内心,$\therefore OH=OP=OQ=R\ \mathrm{cm}$.$\because S_{△ OBC}+S_{△ OCA}+S_{△ OAB}=S_{△ ABC}$,$\therefore \frac{1}{2}BC· OH+\frac{1}{2}AC· OP+\frac{1}{2}AB· OQ=4000\sqrt{3}$,即$(100+160+140)R=8000\sqrt{3}$,$\therefore R=20\sqrt{3}$.$\therefore \odot O$的半径为$20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.解析
【分析】
要在三角形内裁出最大的圆形，首先明确三角形内面积最大的圆是它的内切圆，内切圆的圆心是三角形的内心，即三角形内角平分线的交点，因此只需作两个内角的平分线，交点即为所求圆心。要求内切圆半径，可利用“大三角形面积等于以内切圆圆心为顶点、分割得到的三个小三角形的面积和”这一等积关系求解，因此需要先计算△ABC的面积：已知三角形三边长度，可通过作BC边上的高，设未知数列勾股定理方程求出高，进而得到三角形面积，最后代入等积关系式即可求出内切圆半径。
【解析】
解：可以裁出最大的圆形部件，该圆为△ABC的内切圆。
1. 确定圆心位置：作∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF，两条角平分线的交点O即为所求圆心（三角形内心是内切圆圆心，到三边距离相等）。
2. 计算△ABC的面积：
过点A作$AM⊥BC$于点M，设$BM = x\ \mathrm{cm}$，则$CM = BC - BM = (160 - x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ABM$中，由勾股定理得：$AM^2 = AB^2 - BM^2 = 100^2 - x^2$
在$\mathrm{Rt}△ACM$中，由勾股定理得：$AM^2 = AC^2 - CM^2 = 140^2 - (160 - x)^2$
联立两式得：$100^2 - x^2 = 140^2 - (160 - x)^2$
展开化简后解得$x = 50$。
将$x=50$代入得$AM = \sqrt{100^2 - 50^2} = 50\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
因此△ABC的面积：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × 160 × 50\sqrt{3} = 4000\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 求内切圆半径：
设⊙O的半径为$R\ \mathrm{cm}$，过O作$OH⊥BC$于H，$OP⊥AC$于P，$OQ⊥AB$于Q。
∵O是△ABC的内心，
∴$OH=OP=OQ=R$。
∵$S_{△ OBC} + S_{△ OAC} + S_{△ OAB} = S_{△ ABC}$
∴$\frac{1}{2} × BC × R + \frac{1}{2} × AC × R + \frac{1}{2} × AB × R = 4000\sqrt{3}$
代入边长化简得：$200R = 4000\sqrt{3}$，解得$R = 20\sqrt{3}$。
【答案】
可以裁出最大圆形部件，圆心O是∠ABC与∠ACB的角平分线交点（如图），⊙O的半径为$20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1.三角形内切圆与内心
2.勾股定理
3.等积法计算面积
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了三角形内切圆的相关概念，也对勾股定理的应用、等积法求内切圆半径的计算能力有一定要求，解题关键是明确三角形内最大圆为内切圆，熟练运用面积关系建立方程求解半径。
【难度系数】
0.6
要在三角形内裁出最大的圆形，首先明确三角形内面积最大的圆是它的内切圆，内切圆的圆心是三角形的内心，即三角形内角平分线的交点，因此只需作两个内角的平分线，交点即为所求圆心。要求内切圆半径，可利用“大三角形面积等于以内切圆圆心为顶点、分割得到的三个小三角形的面积和”这一等积关系求解，因此需要先计算△ABC的面积：已知三角形三边长度，可通过作BC边上的高，设未知数列勾股定理方程求出高，进而得到三角形面积，最后代入等积关系式即可求出内切圆半径。
【解析】
解：可以裁出最大的圆形部件，该圆为△ABC的内切圆。
1. 确定圆心位置：作∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF，两条角平分线的交点O即为所求圆心（三角形内心是内切圆圆心，到三边距离相等）。
2. 计算△ABC的面积：
过点A作$AM⊥BC$于点M，设$BM = x\ \mathrm{cm}$，则$CM = BC - BM = (160 - x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ABM$中，由勾股定理得：$AM^2 = AB^2 - BM^2 = 100^2 - x^2$
在$\mathrm{Rt}△ACM$中，由勾股定理得：$AM^2 = AC^2 - CM^2 = 140^2 - (160 - x)^2$
联立两式得：$100^2 - x^2 = 140^2 - (160 - x)^2$
展开化简后解得$x = 50$。
将$x=50$代入得$AM = \sqrt{100^2 - 50^2} = 50\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
因此△ABC的面积：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AM = \frac{1}{2} × 160 × 50\sqrt{3} = 4000\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 求内切圆半径：
设⊙O的半径为$R\ \mathrm{cm}$，过O作$OH⊥BC$于H，$OP⊥AC$于P，$OQ⊥AB$于Q。
∵O是△ABC的内心，
∴$OH=OP=OQ=R$。
∵$S_{△ OBC} + S_{△ OAC} + S_{△ OAB} = S_{△ ABC}$
∴$\frac{1}{2} × BC × R + \frac{1}{2} × AC × R + \frac{1}{2} × AB × R = 4000\sqrt{3}$
代入边长化简得：$200R = 4000\sqrt{3}$，解得$R = 20\sqrt{3}$。
【答案】
可以裁出最大圆形部件，圆心O是∠ABC与∠ACB的角平分线交点（如图
），⊙O的半径为$20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。【知识点】
1.三角形内切圆与内心
2.勾股定理
3.等积法计算面积
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了三角形内切圆的相关概念，也对勾股定理的应用、等积法求内切圆半径的计算能力有一定要求，解题关键是明确三角形内最大圆为内切圆，熟练运用面积关系建立方程求解半径。
【难度系数】
0.6
