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1 将$(2x-1)^2=10x-5$转化为两个一元一次方程，这两个方程分别是（
A.$2x-1=0,2x+1=-5$
B.$2x+1=5,2x-1=0$
C.$2x-1=0,2x-1=5$
D.$2x+1=0,2x-1=-5$
C
）A.$2x-1=0,2x+1=-5$
B.$2x+1=5,2x-1=0$
C.$2x-1=0,2x-1=5$
D.$2x+1=0,2x-1=-5$
答案
1. C
解析
【分析】
本题要求将一元二次方程转化为两个一元一次方程，核心是用因式分解法降次。解题思路如下：首先观察方程左右两边的结构，发现右边的10x-5可提取公因式5变形为5(2x-1)，和左边的(2x-1)²有相同的公因式(2x-1)；接着将所有项移到方程左边，提取公因式，把方程转化为两个因式乘积为0的形式；最后根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，即可得到两个一元一次方程。注意不要直接两边同时除以(2x-1)，否则会漏解。
【解析】
解：对原方程右侧变形可得：
$10x-5=5(2x-1)$
原方程化为：$(2x-1)^2=5(2x-1)$
移项得：$(2x-1)^2 - 5(2x-1)=0$
提取公因式$(2x-1)$得：
$(2x-1)[(2x-1)-5]=0$
根据乘积为0的因式性质，可得两个一元一次方程：
$2x-1=0$ 或 $2x-1-5=0$
整理第二个方程得：$2x-1=5$
因此两个一元一次方程为$2x-1=0$和$2x-1=5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程，提公因式法，零乘积性质
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础应用，解题的关键是观察方程结构找到公因式，易错点是直接两边除以含未知数的整式导致漏解，熟练掌握提公因式的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题要求将一元二次方程转化为两个一元一次方程，核心是用因式分解法降次。解题思路如下：首先观察方程左右两边的结构，发现右边的10x-5可提取公因式5变形为5(2x-1)，和左边的(2x-1)²有相同的公因式(2x-1)；接着将所有项移到方程左边，提取公因式，把方程转化为两个因式乘积为0的形式；最后根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，即可得到两个一元一次方程。注意不要直接两边同时除以(2x-1)，否则会漏解。
【解析】
解：对原方程右侧变形可得：
$10x-5=5(2x-1)$
原方程化为：$(2x-1)^2=5(2x-1)$
移项得：$(2x-1)^2 - 5(2x-1)=0$
提取公因式$(2x-1)$得：
$(2x-1)[(2x-1)-5]=0$
根据乘积为0的因式性质，可得两个一元一次方程：
$2x-1=0$ 或 $2x-1-5=0$
整理第二个方程得：$2x-1=5$
因此两个一元一次方程为$2x-1=0$和$2x-1=5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程，提公因式法，零乘积性质
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础应用，解题的关键是观察方程结构找到公因式，易错点是直接两边除以含未知数的整式导致漏解，熟练掌握提公因式的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2 一元二次方程$(x-2)(x+7)=0$的根是
$x_1=2,x_2=-7$
答案
2. $x_1=2,x_2=-7$
解析
【分析】
观察给出的一元二次方程，已经是两个一次因式相乘等于0的形式，符合因式分解法解方程的结构。我们可以利用乘法的零乘积性质：如果两个数的乘积为0，那么至少其中一个数为0，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程，就能得到原方程的根。
【解析】
根据零乘积性质，若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，因此可得：
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
解一元一次方程$x-2=0$，得$x_1=2$；
解一元一次方程$x+7=0$，得$x_2=-7$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-7$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.零乘积性质
【点评】
本题属于基础题，直接考查因式分解法解一元二次方程的应用，无需将方程整理为一般形式，利用零乘积性质降次即可快速求解，解题时注意不要漏写任何一个根。
【难度系数】
0.9
观察给出的一元二次方程，已经是两个一次因式相乘等于0的形式，符合因式分解法解方程的结构。我们可以利用乘法的零乘积性质：如果两个数的乘积为0，那么至少其中一个数为0，将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程，就能得到原方程的根。
【解析】
根据零乘积性质，若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，因此可得：
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
解一元一次方程$x-2=0$，得$x_1=2$；
解一元一次方程$x+7=0$，得$x_2=-7$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-7$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.零乘积性质
【点评】
本题属于基础题，直接考查因式分解法解一元二次方程的应用，无需将方程整理为一般形式，利用零乘积性质降次即可快速求解，解题时注意不要漏写任何一个根。
【难度系数】
0.9
3 解一元二次方程$x^2 + 12x + 35 = 0$时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程：
$x+5=0$(或$x+7=0$)
。答案
3. $x+5=0$(或$x+7=0$)
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是通过因式分解将二次方程降次转化为一次方程。思考步骤：首先回忆因式分解法解方程的原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0；接下来对方程左边的二次三项式用十字相乘法分解，找到两个数满足乘积等于常数项35、和等于一次项系数12，分解后即可得到对应的一元一次方程。
【解析】
解：用因式分解法求解方程$x^2 + 12x + 35 = 0$：
1. 分解左边的二次三项式：常数项35可拆为$5×7$，且$5+7=12$，刚好等于一次项系数，因此$x^2 +12x +35=(x+5)(x+7)$，原方程转化为$(x+5)(x+7)=0$。
2. 根据乘积为0的性质可得：$x+5=0$ 或 $x+7=0$。
任选其一即可作为答案。
【答案】
$x+5=0$（或$x+7=0$）
【知识点】
因式分解法解方程、十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的降次转化思想，熟练掌握十字相乘法分解二次三项式即可快速解答。
【难度系数】
0.85
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是通过因式分解将二次方程降次转化为一次方程。思考步骤：首先回忆因式分解法解方程的原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0；接下来对方程左边的二次三项式用十字相乘法分解，找到两个数满足乘积等于常数项35、和等于一次项系数12，分解后即可得到对应的一元一次方程。
【解析】
解：用因式分解法求解方程$x^2 + 12x + 35 = 0$：
1. 分解左边的二次三项式：常数项35可拆为$5×7$，且$5+7=12$，刚好等于一次项系数，因此$x^2 +12x +35=(x+5)(x+7)$，原方程转化为$(x+5)(x+7)=0$。
2. 根据乘积为0的性质可得：$x+5=0$ 或 $x+7=0$。
任选其一即可作为答案。
【答案】
$x+5=0$（或$x+7=0$）
【知识点】
因式分解法解方程、十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程的降次转化思想，熟练掌握十字相乘法分解二次三项式即可快速解答。
【难度系数】
0.85
4（易错题）小敏与小霞两名同学解方程 $3(x-3)=(x-3)^2$ 的过程如图所示.
你认为她们的解法是否正确？请在下面对应同学后面的横线上填“对”或“错”：
小敏
你认为她们的解法是否正确？请在下面对应同学后面的横线上填“对”或“错”：
小敏
错
，小霞 错
. 若错误，请写出正确的解答过程.答案
4. 错 错 移项,得 $3(x-3)-(x-3)^2=0$. 提取公因式,得$(x-3)(3-x+3)=0. \therefore x-3=0$ 或 $3-x+3=0. \therefore x_1=3$，$x_2=6$
解析
【分析】
首先分析两人解法的错误点：1. 小敏的错误：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立，小敏直接除以(x-3)，未考虑x-3=0的情况，会漏掉x=3的根，解法错误。2. 小霞的错误：提取公因式时符号计算错误，将-(x-3)²提取公因式(x-3)后，剩余部分应为-(x-3)，去括号得-x+3，小霞错误写成-x-3，导致根计算错误。正确解题思路为：先移项将所有项移到等号左侧，再正确提取公因式(x-3)，最后根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”分别求解即可。
【解析】
小敏解法错误：等式两边不能直接除以可能为0的整式，x-3=0时除以(x-3)无意义，该操作会漏掉x=3的根。
小霞解法错误：提取公因式时符号运算错误，$3(x-3)-(x-3)^2$提公因式$(x-3)$后应为$(x-3)[3-(x-3)]$，去括号后是$(x-3)(3-x+3)$，小霞误写为$(x-3)(3-x-3)$。
正确解答过程：
移项，得 $3(x-3)-(x-3)^2=0$，
提取公因式，得 $(x-3)[3-(x-3)]=0$，即$(x-3)(3-x+3)=0$，
$\therefore x-3=0$ 或 $3-x+3=0$，
解得 $x_1=3$，$x_2=6$。
【答案】
错；错；正确解答过程：移项,得 $3(x-3)-(x-3)^2=0$. 提取公因式,得$(x-3)(3-x+3)=0. \therefore x-3=0$ 或 $3-x+3=0. \therefore x_1=3$，$x_2=6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的基本性质；提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程解法的典型易错题，需注意两点：一是解方程时不能随意除以含未知数的整式，避免漏根；二是提取带负号的公因式时要注意变号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.65
首先分析两人解法的错误点：1. 小敏的错误：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立，小敏直接除以(x-3)，未考虑x-3=0的情况，会漏掉x=3的根，解法错误。2. 小霞的错误：提取公因式时符号计算错误，将-(x-3)²提取公因式(x-3)后，剩余部分应为-(x-3)，去括号得-x+3，小霞错误写成-x-3，导致根计算错误。正确解题思路为：先移项将所有项移到等号左侧，再正确提取公因式(x-3)，最后根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”分别求解即可。
【解析】
小敏解法错误：等式两边不能直接除以可能为0的整式，x-3=0时除以(x-3)无意义，该操作会漏掉x=3的根。
小霞解法错误：提取公因式时符号运算错误，$3(x-3)-(x-3)^2$提公因式$(x-3)$后应为$(x-3)[3-(x-3)]$，去括号后是$(x-3)(3-x+3)$，小霞误写为$(x-3)(3-x-3)$。
正确解答过程：
移项，得 $3(x-3)-(x-3)^2=0$，
提取公因式，得 $(x-3)[3-(x-3)]=0$，即$(x-3)(3-x+3)=0$，
$\therefore x-3=0$ 或 $3-x+3=0$，
解得 $x_1=3$，$x_2=6$。
【答案】
错；错；正确解答过程：移项,得 $3(x-3)-(x-3)^2=0$. 提取公因式,得$(x-3)(3-x+3)=0. \therefore x-3=0$ 或 $3-x+3=0. \therefore x_1=3$，$x_2=6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的基本性质；提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程解法的典型易错题，需注意两点：一是解方程时不能随意除以含未知数的整式，避免漏根；二是提取带负号的公因式时要注意变号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.65
5 下列一元二次方程中，最适合用因式分解法来解的是 （
A.$(x-2)(x+5)=2$
B.$5x^2 - x = 0$
C.$x^2 + 5x - 2 = 0$
D.$12(2-x)^2 = 3$
B
）A.$(x-2)(x+5)=2$
B.$5x^2 - x = 0$
C.$x^2 + 5x - 2 = 0$
D.$12(2-x)^2 = 3$
答案
5. B
解析
【分析】
要判断最适合用因式分解法求解的一元二次方程，首先明确因式分解法的核心适用特征：方程易转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，无需复杂变形的优先考虑。解题时先观察各选项方程的形式，优先看右边是否为0，再判断左边能否直接因式分解，对比后选出最优选项。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的最优场景是方程右边为0，左边可直接分解为两个一次因式的乘积：
A. 方程右边为2≠0，展开整理得$x^2+3x-12=0$，左边无法直接因式分解，不适合；
B. 方程右边为0，左边可直接提取公因式$x$，变形为$x(5x-1)=0$，直接可得两个一元一次方程求解，非常适合用因式分解法；
C. 方程$x^2+5x-2=0$左边无公因式，也无法用十字相乘法等直接因式分解，不适合；
D. 需先将方程变形为$(2-x)^2=\frac{1}{4}$，再移项用平方差公式分解，操作步骤多于B选项，不是最适合的。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程解法选择；提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程解法的选择，解题关键是牢记不同解法的适用场景，其中因式分解法适合右边为0、左边易分解为一次因式乘积的方程，熟练掌握该特征可快速选出最优解法，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断最适合用因式分解法求解的一元二次方程，首先明确因式分解法的核心适用特征：方程易转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，无需复杂变形的优先考虑。解题时先观察各选项方程的形式，优先看右边是否为0，再判断左边能否直接因式分解，对比后选出最优选项。
【解析】
因式分解法解一元二次方程的最优场景是方程右边为0，左边可直接分解为两个一次因式的乘积：
A. 方程右边为2≠0，展开整理得$x^2+3x-12=0$，左边无法直接因式分解，不适合；
B. 方程右边为0，左边可直接提取公因式$x$，变形为$x(5x-1)=0$，直接可得两个一元一次方程求解，非常适合用因式分解法；
C. 方程$x^2+5x-2=0$左边无公因式，也无法用十字相乘法等直接因式分解，不适合；
D. 需先将方程变形为$(2-x)^2=\frac{1}{4}$，再移项用平方差公式分解，操作步骤多于B选项，不是最适合的。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程解法选择；提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程解法的选择，解题关键是牢记不同解法的适用场景，其中因式分解法适合右边为0、左边易分解为一次因式乘积的方程，熟练掌握该特征可快速选出最优解法，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6 [2024 贵州]一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的根是（
A.$x_1=3, x_2=1$
B.$x_1=2, x_2=0$
C.$x_1=3, x_2=-2$
D.$x_1=-2, x_2=-1$
B
）A.$x_1=3, x_2=1$
B.$x_1=2, x_2=0$
C.$x_1=3, x_2=-2$
D.$x_1=-2, x_2=-1$
答案
6. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，观察方程$x^2-2x=0$的结构，左边没有常数项，可优先选用因式分解法解题：首先提取公因式将左边转化为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的性质，转化为两个一元一次方程分别求解即可；也可通过代入选项中的值验证是否满足方程，快速排除错误选项。
【解析】
解法1（因式分解法）：
对原方程左边提取公因式$x$，可得：
$x(x-2)=0$
根据乘法的性质，得$x=0$或$x-2=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，$x=2$
因此原方程的根为$x_1=2$，$x_2=0$，对应选项B。
解法2（代入验证法）：
将各选项的$x$值代入原方程$x^2-2x=0$验证：
A选项：$x=3$时，左边$=3^2-2×3=3≠0$，不符合，排除；
B选项：$x=2$时，左边$=2^2-2×2=0$；$x=0$时，左边$=0^2-2×0=0$，均符合方程；
C选项：$x=3$时左边$=3≠0$，不符合，排除；
D选项：$x=-2$时，左边$=(-2)^2-2×(-2)=8≠0$，不符合，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，核心考查因式分解中提公因式法的应用，解题方法灵活，既可以用常规解法求解，也可以用代入验证法快速得到答案，属于得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，观察方程$x^2-2x=0$的结构，左边没有常数项，可优先选用因式分解法解题：首先提取公因式将左边转化为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的性质，转化为两个一元一次方程分别求解即可；也可通过代入选项中的值验证是否满足方程，快速排除错误选项。
【解析】
解法1（因式分解法）：
对原方程左边提取公因式$x$，可得：
$x(x-2)=0$
根据乘法的性质，得$x=0$或$x-2=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，$x=2$
因此原方程的根为$x_1=2$，$x_2=0$，对应选项B。
解法2（代入验证法）：
将各选项的$x$值代入原方程$x^2-2x=0$验证：
A选项：$x=3$时，左边$=3^2-2×3=3≠0$，不符合，排除；
B选项：$x=2$时，左边$=2^2-2×2=0$；$x=0$时，左边$=0^2-2×0=0$，均符合方程；
C选项：$x=3$时左边$=3≠0$，不符合，排除；
D选项：$x=-2$时，左边$=(-2)^2-2×(-2)=8≠0$，不符合，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，核心考查因式分解中提公因式法的应用，解题方法灵活，既可以用常规解法求解，也可以用代入验证法快速得到答案，属于得分题。
【难度系数】
0.9
7 若$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - \frac{5}{2}ax + a^2=0$的一个根，则$a$的值为（
A.1或4
B.−1或−4
C.−1或4
D.1或−4
B
）A.1或4
B.−1或−4
C.−1或4
D.1或−4
答案
7. B
解析
【分析】
解题的核心思路是利用一元二次方程根的定义：方程的根代入方程可使等式成立。第一步，将已知根x=-2代入原方程，得到关于a的一元二次方程；第二步，用因式分解法求解这个关于a的方程，即可得到a的取值，对应选项得出答案。
【解析】
已知x=-2是方程$x^2 - \frac{5}{2}ax + a^2=0$的根，将x=-2代入方程得：
$(-2)^2 - \frac{5}{2}a × (-2) + a^2 = 0$
化简计算：
$4 + 5a + a^2 = 0$
整理为标准一元二次方程形式：
$a^2 + 5a + 4 = 0$
用十字相乘法因式分解得：
$(a + 1)(a + 4) = 0$
则$a+1=0$或$a+4=0$，解得：
$a=-1$或$a=-4$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础常考题型，解题关键是熟练运用方程根的性质代入转化，掌握因式分解解方程的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心思路是利用一元二次方程根的定义：方程的根代入方程可使等式成立。第一步，将已知根x=-2代入原方程，得到关于a的一元二次方程；第二步，用因式分解法求解这个关于a的方程，即可得到a的取值，对应选项得出答案。
【解析】
已知x=-2是方程$x^2 - \frac{5}{2}ax + a^2=0$的根，将x=-2代入方程得：
$(-2)^2 - \frac{5}{2}a × (-2) + a^2 = 0$
化简计算：
$4 + 5a + a^2 = 0$
整理为标准一元二次方程形式：
$a^2 + 5a + 4 = 0$
用十字相乘法因式分解得：
$(a + 1)(a + 4) = 0$
则$a+1=0$或$a+4=0$，解得：
$a=-1$或$a=-4$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础常考题型，解题关键是熟练运用方程根的性质代入转化，掌握因式分解解方程的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8 教材变式题 用因式分解法解方程：
(1) $[2024 \mathrm{齐齐哈尔}]x^2 -5x +6=0$；
(2) $5x(3x+2)=6x+4$。
(1) $[2024 \mathrm{齐齐哈尔}]x^2 -5x +6=0$；
(2) $5x(3x+2)=6x+4$。
答案
8. (1) $x_1=2,x_2=3$ (2) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{2}{5}$
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。对于第(1)题，方程左边是二次三项式，可直接用十字相乘法分解因式；对于第(2)题，先将右边的项移到左边，再提取公因式分解，注意不要直接两边除以含未知数的整式，否则会丢失根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -5x +6=0$
对左边用十字相乘法因式分解，得：$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$
(2) 解方程$5x(3x+2)=6x+4$
先移项，得：$5x(3x+2)-(6x+4)=0$
将右边的项变形，得：$5x(3x+2)-2(3x+2)=0$
提取公因式$(3x+2)$，得：$(3x+2)(5x-2)=0$
$\therefore 3x+2=0$ 或 $5x-2=0$
解得：$x_1=-\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{2}{5}$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=3$ (2) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{2}{5}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法分解因式、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解法在解一元二次方程中的应用，解题时需注意不能随意在方程两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握十字相乘、提公因式等常用因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。对于第(1)题，方程左边是二次三项式，可直接用十字相乘法分解因式；对于第(2)题，先将右边的项移到左边，再提取公因式分解，注意不要直接两边除以含未知数的整式，否则会丢失根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -5x +6=0$
对左边用十字相乘法因式分解，得：$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$
(2) 解方程$5x(3x+2)=6x+4$
先移项，得：$5x(3x+2)-(6x+4)=0$
将右边的项变形，得：$5x(3x+2)-2(3x+2)=0$
提取公因式$(3x+2)$，得：$(3x+2)(5x-2)=0$
$\therefore 3x+2=0$ 或 $5x-2=0$
解得：$x_1=-\frac{2}{3}$，$x_2=\frac{2}{5}$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=3$ (2) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=\frac{2}{5}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法分解因式、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解法在解一元二次方程中的应用，解题时需注意不能随意在方程两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握十字相乘、提公因式等常用因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
9 若二次三项式$x^2 + mx -n$可以分解为$(x+3)(x-7)$，则关于$x$的方程$-3x^2 -3mx +3n=0$的两个根为（
A.$x_1=3, x_2=7$
B.$x_1=-3, x_2=-7$
C.$x_1=3, x_2=-7$
D.$x_1=-3, x_2=7$
D
）A.$x_1=3, x_2=7$
B.$x_1=-3, x_2=-7$
C.$x_1=3, x_2=-7$
D.$x_1=-3, x_2=7$
答案
9. D
解析
【分析】
解题时可以分两步思考：第一步，根据已知的二次三项式的因式分解结果，我们可以得到对应一元二次方程$x^2+mx-n=0$的根；第二步，观察待求解的方程，通过等式的基本性质对其化简，发现化简后的方程和$x^2+mx-n=0$完全相同，因此可以直接得到待求方程的根，无需额外计算m、n的值，简化解题过程。
【解析】
已知二次三项式$x^2 + mx -n = (x+3)(x-7)$，因此方程$x^2 + mx -n = 0$可变形为$(x+3)(x-7)=0$，解得该方程的两根为$x=-3$、$x=7$。
对待求方程$-3x^2 -3mx +3n=0$，两边同时除以$-3$（$-3≠0$，等式仍然成立），可得：
$x^2 + mx -n = 0$
因此方程$-3x^2 -3mx +3n=0$的根与$x^2 + mx -n = 0$的根完全相同，即两根为$x_1=-3$，$x_2=7$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的意义，因式分解法解一元二次方程，等式的基本性质
【点评】
本题解题的关键是发现待求方程化简后与已知因式分解的二次三项式的关联，可避免计算系数m、n，减少计算量，同时也考查了学生对一元二次方程的根与因式分解关系的理解。
【难度系数】
0.7
解题时可以分两步思考：第一步，根据已知的二次三项式的因式分解结果，我们可以得到对应一元二次方程$x^2+mx-n=0$的根；第二步，观察待求解的方程，通过等式的基本性质对其化简，发现化简后的方程和$x^2+mx-n=0$完全相同，因此可以直接得到待求方程的根，无需额外计算m、n的值，简化解题过程。
【解析】
已知二次三项式$x^2 + mx -n = (x+3)(x-7)$，因此方程$x^2 + mx -n = 0$可变形为$(x+3)(x-7)=0$，解得该方程的两根为$x=-3$、$x=7$。
对待求方程$-3x^2 -3mx +3n=0$，两边同时除以$-3$（$-3≠0$，等式仍然成立），可得：
$x^2 + mx -n = 0$
因此方程$-3x^2 -3mx +3n=0$的根与$x^2 + mx -n = 0$的根完全相同，即两根为$x_1=-3$，$x_2=7$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的意义，因式分解法解一元二次方程，等式的基本性质
【点评】
本题解题的关键是发现待求方程化简后与已知因式分解的二次三项式的关联，可避免计算系数m、n，减少计算量，同时也考查了学生对一元二次方程的根与因式分解关系的理解。
【难度系数】
0.7
