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1 [2025 安徽]下列方程中,有两个不相等的实数根的是 (
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
D
)A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
答案
1. D
2 已知关于$x$的方程$kx^2 + (1 - k)x - 1 = 0$，则下列说法正确的是 （
A.当$k≠0$时，方程总有两个不相等的实数根
B.当$k=-1$时，方程有两个相等的实数根
C.当$k=1$时，方程只有一个实数根
D.当$k=0$时，方程没有实数根
B
）A.当$k≠0$时，方程总有两个不相等的实数根
B.当$k=-1$时，方程有两个相等的实数根
C.当$k=1$时，方程只有一个实数根
D.当$k=0$时，方程没有实数根
答案
2. B
3 已知关于$x$的方程$x^2 - (m + 2)x + 2m - 1 = 0$.
（1）若此方程的一个根为$x=-1$,求$m$的值；
（2）求证：该方程恒有两个不相等的实数根.
（1）若此方程的一个根为$x=-1$,求$m$的值；
（2）求证：该方程恒有两个不相等的实数根.
答案
（1）根据题意,得 $1+(m+2)+2m-1=0$,解得 $m=-\frac{2}{3}$
（2）$\because \Delta=[-(m+2)]^2-4(2m-1)=(m-2)^2+4,(m-2)^2≥0,\therefore \Delta=(m-2)^2+4＞0.\therefore$ 该方程恒有两个不相等的实数根
（2）$\because \Delta=[-(m+2)]^2-4(2m-1)=(m-2)^2+4,(m-2)^2≥0,\therefore \Delta=(m-2)^2+4＞0.\therefore$ 该方程恒有两个不相等的实数根
4 [2025 内江]若关于x的一元二次方程$(a - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$有实数根，则实数a的取值范围是（
A.$a ≤ 2$
B.$a ＜ 2$
C.$a ≤ 2$且$a ≠ 1$
D.$a ＜ 2$且$a ≠ 1$
C
）A.$a ≤ 2$
B.$a ＜ 2$
C.$a ≤ 2$且$a ≠ 1$
D.$a ＜ 2$且$a ≠ 1$
答案
4. C
5 [2025 上海]如果一元二次方程 $2x^2 + x + m = 0$ 没有实数根，那么 m 的取值范围是
$m＞\frac{1}{8}$
.答案
5. $m＞\frac{1}{8}$
6 当k为何值时，关于x的一元二次方程$kx^2 + 6x - 9 = 0$满足下列条件？
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
答案
$\Delta=6^2-4k×(-9)=36+36k$.（1）由题意,得 $36+36k＞0$ 且$k≠0$,解得 $k＞-1$ 且 $k≠0$ （2）由题意,得 $36+36k=0$ 且 $k≠0$,解得 $k=-1$ （3）由题意,得 $36+36k＜0$ 且 $k≠0$,解得$k＜-1$
7 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$有两个相等的实数根，则$\frac{1}{a} + c$的值为
2
。答案
7. 2
8 若关于$x$的一元二次方程$mx^2 + 4x + 1 = 0$无实数根，则一次函数$y=(4 - m)x - m$的图象不经过第
一
象限。答案
8. 一
9 若关于$x$的方程$(a^2 + c^2)x^2 + 2(b^2 - c^2)x + c^2 - b^2 = 0$有两个相等的实数根，且$a,b,c$是$△ ABC$的三条边，求证：$△ ABC$是等腰三角形。
答案
$\because$ 方程$(a^2+c^2)x^2+2(b^2-c^2)x+c^2-b^2=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=[2(b^2-c^2)]^2-4(a^2+c^2)(c^2-b^2)=0$,即$(b^2-c^2)(b^2+a^2)=0. \because b^2+a^2＞0,b＞0,c＞0,\therefore b^2-c^2=0$,即$b=c. \therefore △ ABC$ 是等腰三角形
