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1 [2025 安徽]下列方程中,有两个不相等的实数根的是 (
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
D
)A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题思路为：先确定每个选项中方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再分别计算判别式$\Delta$的值，最终找到$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，逐一计算各选项：
选项A：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 根的判别式 2. 判别式与根的关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式取值和方程根的三种对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题思路为：先确定每个选项中方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再分别计算判别式$\Delta$的值，最终找到$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，逐一计算各选项：
选项A：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 根的判别式 2. 判别式与根的关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式取值和方程根的三种对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 已知关于$x$的方程$kx^2 + (1 - k)x - 1 = 0$，则下列说法正确的是 （
A.当$k≠0$时，方程总有两个不相等的实数根
B.当$k=-1$时，方程有两个相等的实数根
C.当$k=1$时，方程只有一个实数根
D.当$k=0$时，方程没有实数根
B
）A.当$k≠0$时，方程总有两个不相等的实数根
B.当$k=-1$时，方程有两个相等的实数根
C.当$k=1$时，方程只有一个实数根
D.当$k=0$时，方程没有实数根
答案
2. B
解析
【分析】
本题需要判断含参数k的方程的实数根情况，解题思路如下：首先分两种情况讨论：①当k=0时，方程是一元一次方程，直接求解判断根的个数；②当k≠0时，方程是一元二次方程，先计算根的判别式Δ，再根据Δ的正负判断根的个数，最后逐一验证四个选项的说法是否正确即可。
【解析】
首先对方程$kx^2 + (1 - k)x - 1 = 0$分情况讨论：
1. 当$k=0$时，方程化简为一元一次方程：$x - 1 = 0$，解得$x=1$，有1个实数根，因此选项D错误。
2. 当$k≠0$时，方程为一元二次方程，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=k$，$b=1-k$，$c=-1$，代入计算：
$\Delta = (1-k)^2 - 4× k× (-1) = 1 - 2k + k^2 + 4k = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$
接下来逐一判断剩余选项：
选项A：当$k≠0$时，$\Delta=(k+1)^2≥0$，当$k=-1$时$\Delta=0$，此时方程有两个相等的实数根，并非总有两个不相等的实数根，因此A错误。
选项B：当$k=-1$时，$\Delta=(-1+1)^2=0$，此时方程有两个相等的实数根，代入$k=-1$验证，方程为$-x^2+2x-1=0$，即$(x-1)^2=0$，$x_1=x_2=1$，符合结论，因此B正确。
选项C：当$k=1$时，$\Delta=(1+1)^2=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入$k=1$验证，方程为$x^2 - 1=0$，解得$x=\pm1$，有2个实数根，因此C错误。
【答案】
B
【知识点】
根的判别式的应用；一元二次方程的定义；一元一次方程的解
【点评】
本题的易错点是忽略$k=0$的情况，直接将方程当作一元二次方程判断，解题时需先对最高次项系数分类讨论，再结合判别式判断根的个数。
【难度系数】
0.7
本题需要判断含参数k的方程的实数根情况，解题思路如下：首先分两种情况讨论：①当k=0时，方程是一元一次方程，直接求解判断根的个数；②当k≠0时，方程是一元二次方程，先计算根的判别式Δ，再根据Δ的正负判断根的个数，最后逐一验证四个选项的说法是否正确即可。
【解析】
首先对方程$kx^2 + (1 - k)x - 1 = 0$分情况讨论：
1. 当$k=0$时，方程化简为一元一次方程：$x - 1 = 0$，解得$x=1$，有1个实数根，因此选项D错误。
2. 当$k≠0$时，方程为一元二次方程，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=k$，$b=1-k$，$c=-1$，代入计算：
$\Delta = (1-k)^2 - 4× k× (-1) = 1 - 2k + k^2 + 4k = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$
接下来逐一判断剩余选项：
选项A：当$k≠0$时，$\Delta=(k+1)^2≥0$，当$k=-1$时$\Delta=0$，此时方程有两个相等的实数根，并非总有两个不相等的实数根，因此A错误。
选项B：当$k=-1$时，$\Delta=(-1+1)^2=0$，此时方程有两个相等的实数根，代入$k=-1$验证，方程为$-x^2+2x-1=0$，即$(x-1)^2=0$，$x_1=x_2=1$，符合结论，因此B正确。
选项C：当$k=1$时，$\Delta=(1+1)^2=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入$k=1$验证，方程为$x^2 - 1=0$，解得$x=\pm1$，有2个实数根，因此C错误。
【答案】
B
【知识点】
根的判别式的应用；一元二次方程的定义；一元一次方程的解
【点评】
本题的易错点是忽略$k=0$的情况，直接将方程当作一元二次方程判断，解题时需先对最高次项系数分类讨论，再结合判别式判断根的个数。
【难度系数】
0.7
3 已知关于$x$的方程$x^2 - (m + 2)x + 2m - 1 = 0$.
（1）若此方程的一个根为$x=-1$,求$m$的值；
（2）求证：该方程恒有两个不相等的实数根.
（1）若此方程的一个根为$x=-1$,求$m$的值；
（2）求证：该方程恒有两个不相等的实数根.
答案
（1）根据题意,得 $1+(m+2)+2m-1=0$,解得 $m=-\frac{2}{3}$
（2）$\because \Delta=[-(m+2)]^2-4(2m-1)=(m-2)^2+4,(m-2)^2≥0,\therefore \Delta=(m-2)^2+4＞0.\therefore$ 该方程恒有两个不相等的实数根
（2）$\because \Delta=[-(m+2)]^2-4(2m-1)=(m-2)^2+4,(m-2)^2≥0,\therefore \Delta=(m-2)^2+4＞0.\therefore$ 该方程恒有两个不相等的实数根
解析
【分析】
（1）第一问根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将已知根x=-1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
（2）第二问要证明一元二次方程恒有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。因此先计算该方程的判别式Δ，再通过配方变形，结合非负数的性质证明Δ恒大于0即可。
【解析】
（1）将x=-1代入方程$x^2 - (m + 2)x + 2m - 1 = 0$，得：
$(-1)^2 - (m+2)×(-1) + 2m - 1 = 0$
整理得：$1 + m + 2 + 2m - 1 = 0$
合并同类项得：$3m + 2 = 0$
解得：$m=-\frac{2}{3}$
（2）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，
在方程$x^2 - (m + 2)x + 2m - 1 = 0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=2m-1$，
$\therefore \Delta=[-(m+2)]^2 - 4×1×(2m-1)$
$=m^2 +4m +4 -8m +4$
$=m^2 -4m +8$
配方得：$\Delta=(m-2)^2 +4$
$\because$ 任意实数的平方为非负数，即$(m-2)^2≥0$
$\therefore (m-2)^2 +4 ≥4 ＞0$，即$\Delta＞0$恒成立
$\therefore$ 该方程恒有两个不相等的实数根。
【答案】
（1）$m=-\frac{2}{3}$；（2）该方程恒有两个不相等的实数根。
【知识点】
方程的根的定义；一元二次方程根的判别式；非负数的性质
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问直接考察根的定义的应用，代入计算即可求解；第二问需要掌握判别式和方程根的个数的对应关系，通过配方判断判别式的正负，解题关键是熟练掌握一元二次方程的相关性质。
【难度系数】
0.8
（1）第一问根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将已知根x=-1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
（2）第二问要证明一元二次方程恒有两个不相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根。因此先计算该方程的判别式Δ，再通过配方变形，结合非负数的性质证明Δ恒大于0即可。
【解析】
（1）将x=-1代入方程$x^2 - (m + 2)x + 2m - 1 = 0$，得：
$(-1)^2 - (m+2)×(-1) + 2m - 1 = 0$
整理得：$1 + m + 2 + 2m - 1 = 0$
合并同类项得：$3m + 2 = 0$
解得：$m=-\frac{2}{3}$
（2）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，
在方程$x^2 - (m + 2)x + 2m - 1 = 0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=2m-1$，
$\therefore \Delta=[-(m+2)]^2 - 4×1×(2m-1)$
$=m^2 +4m +4 -8m +4$
$=m^2 -4m +8$
配方得：$\Delta=(m-2)^2 +4$
$\because$ 任意实数的平方为非负数，即$(m-2)^2≥0$
$\therefore (m-2)^2 +4 ≥4 ＞0$，即$\Delta＞0$恒成立
$\therefore$ 该方程恒有两个不相等的实数根。
【答案】
（1）$m=-\frac{2}{3}$；（2）该方程恒有两个不相等的实数根。
【知识点】
方程的根的定义；一元二次方程根的判别式；非负数的性质
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问直接考察根的定义的应用，代入计算即可求解；第二问需要掌握判别式和方程根的个数的对应关系，通过配方判断判别式的正负，解题关键是熟练掌握一元二次方程的相关性质。
【难度系数】
0.8
4 [2025 内江]若关于x的一元二次方程$(a - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$有实数根，则实数a的取值范围是（
A.$a ≤ 2$
B.$a ＜ 2$
C.$a ≤ 2$且$a ≠ 1$
D.$a ＜ 2$且$a ≠ 1$
C
）A.$a ≤ 2$
B.$a ＜ 2$
C.$a ≤ 2$且$a ≠ 1$
D.$a ＜ 2$且$a ≠ 1$
答案
4. C
解析
【分析】
要解决一元二次方程有实数根求参数范围的问题，需同时满足两个条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，保证方程是一元二次方程；二是根的判别式大于等于0，保证方程有实数根。分别根据这两个条件列出不等式，求解后取交集即可得到a的取值范围。
【解析】
首先，题目明确该方程是关于x的一元二次方程，因此二次项系数不能为0：
即 $a - 1 ≠ 0$，解得 $a ≠ 1$。
其次，一元二次方程有实数根，说明根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中该方程的二次项系数为 $a-1$，一次项系数 $b=2$，常数项 $c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × (a-1) × 1 ≥ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
展开括号：$4 - 4a + 4 ≥ 0$
合并同类项：$8 - 4a ≥ 0$
移项化简得：$4a ≤ 8$，即 $a ≤ 2$。
结合两个条件，可得a的取值范围是 $a ≤ 2$ 且 $a ≠ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常考题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解得到$a≤2$而错选A，解题时要注意审题，充分挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.7
要解决一元二次方程有实数根求参数范围的问题，需同时满足两个条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，保证方程是一元二次方程；二是根的判别式大于等于0，保证方程有实数根。分别根据这两个条件列出不等式，求解后取交集即可得到a的取值范围。
【解析】
首先，题目明确该方程是关于x的一元二次方程，因此二次项系数不能为0：
即 $a - 1 ≠ 0$，解得 $a ≠ 1$。
其次，一元二次方程有实数根，说明根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中该方程的二次项系数为 $a-1$，一次项系数 $b=2$，常数项 $c=1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4 × (a-1) × 1 ≥ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
展开括号：$4 - 4a + 4 ≥ 0$
合并同类项：$8 - 4a ≥ 0$
移项化简得：$4a ≤ 8$，即 $a ≤ 2$。
结合两个条件，可得a的取值范围是 $a ≤ 2$ 且 $a ≠ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的常考题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解得到$a≤2$而错选A，解题时要注意审题，充分挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.7
5 [2025 上海]如果一元二次方程 $2x^2 + x + m = 0$ 没有实数根，那么 m 的取值范围是
$m＞\frac{1}{8}$
.答案
5. $m＞\frac{1}{8}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：一元二次方程没有实数根时，判别式Δ＜0。首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式公式列出关于m的不等式，再解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中方程$2x^2 + x + m = 0$是一元二次方程，其中$a=2$，$b=1$，$c=m$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，
代入得：$1^2 - 4×2× m ＜ 0$，
计算化简：$1 - 8m ＜ 0$，
移项得：$-8m ＜ -1$，
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：$m ＞ \frac{1}{8}$。
【答案】
$m＞\frac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是熟练掌握根的判别式与方程根的个数的对应关系，计算时注意解不等式两边除以负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：一元二次方程没有实数根时，判别式Δ＜0。首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入判别式公式列出关于m的不等式，再解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
本题中方程$2x^2 + x + m = 0$是一元二次方程，其中$a=2$，$b=1$，$c=m$，
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，
代入得：$1^2 - 4×2× m ＜ 0$，
计算化简：$1 - 8m ＜ 0$，
移项得：$-8m ＜ -1$，
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：$m ＞ \frac{1}{8}$。
【答案】
$m＞\frac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是熟练掌握根的判别式与方程根的个数的对应关系，计算时注意解不等式两边除以负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
6 当k为何值时，关于x的一元二次方程$kx^2 + 6x - 9 = 0$满足下列条件？
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
答案
$\Delta=6^2-4k×(-9)=36+36k$.（1）由题意,得 $36+36k＞0$ 且$k≠0$,解得 $k＞-1$ 且 $k≠0$ （2）由题意,得 $36+36k=0$ 且 $k≠0$,解得 $k=-1$ （3）由题意,得 $36+36k＜0$ 且 $k≠0$,解得$k＜-1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确题目给出的是一元二次方程，因此二次项系数k不能为0，这是解题的隐含前提。其次一元二次方程根的情况由根的判别式$\Delta=b^2-4ac$决定，我们先计算出该方程的判别式，再分别对应三种根的情况对应的$\Delta$的取值条件，列不等式或方程求解，最后结合$k≠0$的限制得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$kx^2 + 6x - 9 = 0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数$k≠0$。
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 × k × (-9) = 36 + 36k$。
（1）当方程有两个不相等的实数根时，需满足$\Delta ＞ 0$且$k≠0$：
解$36 + 36k ＞ 0$得$k ＞ -1$，结合$k≠0$，得$k ＞ -1$且$k≠0$。
（2）当方程有两个相等的实数根时，需满足$\Delta = 0$且$k≠0$：
解$36 + 36k = 0$得$k = -1$，满足$k≠0$，故$k=-1$。
（3）当方程没有实数根时，需满足$\Delta ＜ 0$且$k≠0$：
解$36 + 36k ＜ 0$得$k ＜ -1$，该结果已满足$k≠0$，故$k ＜ -1$。
【答案】
（1）$k ＞ -1$且$k≠0$；（2）$k=-1$；（3）$k ＜ -1$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；一元一次不等式的解法
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的判别式的应用，主要易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，掌握根的三种情况对应的判别式取值范围即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确题目给出的是一元二次方程，因此二次项系数k不能为0，这是解题的隐含前提。其次一元二次方程根的情况由根的判别式$\Delta=b^2-4ac$决定，我们先计算出该方程的判别式，再分别对应三种根的情况对应的$\Delta$的取值条件，列不等式或方程求解，最后结合$k≠0$的限制得到最终结果。
【解析】
∵ 方程$kx^2 + 6x - 9 = 0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数$k≠0$。
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 × k × (-9) = 36 + 36k$。
（1）当方程有两个不相等的实数根时，需满足$\Delta ＞ 0$且$k≠0$：
解$36 + 36k ＞ 0$得$k ＞ -1$，结合$k≠0$，得$k ＞ -1$且$k≠0$。
（2）当方程有两个相等的实数根时，需满足$\Delta = 0$且$k≠0$：
解$36 + 36k = 0$得$k = -1$，满足$k≠0$，故$k=-1$。
（3）当方程没有实数根时，需满足$\Delta ＜ 0$且$k≠0$：
解$36 + 36k ＜ 0$得$k ＜ -1$，该结果已满足$k≠0$，故$k ＜ -1$。
【答案】
（1）$k ＞ -1$且$k≠0$；（2）$k=-1$；（3）$k ＜ -1$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用；一元一次不等式的解法
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的判别式的应用，主要易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制，掌握根的三种情况对应的判别式取值范围即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$有两个相等的实数根，则$\frac{1}{a} + c$的值为
2
。答案
7. 2
解析
【分析】
看到题目提及一元二次方程有两个相等的实数根，首先明确两个核心解题依据：①一元二次方程的二次项系数不为0，保证方程是一元二次方程；②根的判别式Δ=0。接下来先确定方程对应各项的系数，代入判别式得到关于a和c的等式，再对等式做合理变形，构造出目标代数式$\frac{1}{a}+c$，即可求出结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=B^2-4AC=0$。
已知$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$是一元二次方程，因此$a≠0$，对应系数$A=a$，$B=2$，$C=2-c$，代入判别式得：
$\begin{aligned}\Delta&=2^2 - 4× a×(2-c)=0\\4 - 4a(2-c)&=0\\\intertext{两边同时除以4：}1 - a(2-c)&=0\\\intertext{展开括号：}1 - 2a + ac &= 0\\\intertext{移项得：}ac + 1 &= 2a\\\intertext{因为$a≠0$，等式两边同时除以a：}c + \frac{1}{a} &= 2\end{aligned}$
即$\frac{1}{a}+c=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，重点考查根的判别式的应用，解题时需注意不能忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，通过判别式建立等式后合理变形即可得到答案。
【难度系数】
0.8
看到题目提及一元二次方程有两个相等的实数根，首先明确两个核心解题依据：①一元二次方程的二次项系数不为0，保证方程是一元二次方程；②根的判别式Δ=0。接下来先确定方程对应各项的系数，代入判别式得到关于a和c的等式，再对等式做合理变形，构造出目标代数式$\frac{1}{a}+c$，即可求出结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=B^2-4AC=0$。
已知$ax^2 + 2x + 2 - c = 0$是一元二次方程，因此$a≠0$，对应系数$A=a$，$B=2$，$C=2-c$，代入判别式得：
$\begin{aligned}\Delta&=2^2 - 4× a×(2-c)=0\\4 - 4a(2-c)&=0\\\intertext{两边同时除以4：}1 - a(2-c)&=0\\\intertext{展开括号：}1 - 2a + ac &= 0\\\intertext{移项得：}ac + 1 &= 2a\\\intertext{因为$a≠0$，等式两边同时除以a：}c + \frac{1}{a} &= 2\end{aligned}$
即$\frac{1}{a}+c=2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，重点考查根的判别式的应用，解题时需注意不能忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，通过判别式建立等式后合理变形即可得到答案。
【难度系数】
0.8
8 若关于$x$的一元二次方程$mx^2 + 4x + 1 = 0$无实数根，则一次函数$y=(4 - m)x - m$的图象不经过第
一
象限。答案
8. 一
解析
【分析】
要解决本题，需分两步思考：第一步先根据一元二次方程无实根的条件求出参数m的取值范围，注意一元二次方程的二次项系数不能为0，结合判别式小于0列不等式求解；第二步根据m的取值范围判断一次函数的斜率k和常数项b的正负，再结合一次函数图象的性质判断其经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$mx^2 + 4x + 1 = 0$无实数根
∴ 满足$\begin{cases}m≠0 \\\Delta = 4^2 - 4× m× 1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$16 - 4m ＜ 0$，得：
$-4m ＜ -16$
两边同时除以-4，不等号方向改变，得$m ＞ 4$
对于一次函数$y=(4 - m)x - m$：
∵ $m ＞ 4$
∴ $4 - m ＜ 0$，$-m ＜ 0$
即一次函数的斜率$k＜0$，与y轴的交点纵坐标$b＜0$
根据一次函数图象性质，$k＜0$且$b＜0$时，函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的情况与一次函数图象性质结合考查，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，掌握判别式与根的对应关系、一次函数k和b的符号对图象的影响是解题关键。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需分两步思考：第一步先根据一元二次方程无实根的条件求出参数m的取值范围，注意一元二次方程的二次项系数不能为0，结合判别式小于0列不等式求解；第二步根据m的取值范围判断一次函数的斜率k和常数项b的正负，再结合一次函数图象的性质判断其经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$mx^2 + 4x + 1 = 0$无实数根
∴ 满足$\begin{cases}m≠0 \\\Delta = 4^2 - 4× m× 1 ＜ 0\end{cases}$
解不等式$16 - 4m ＜ 0$，得：
$-4m ＜ -16$
两边同时除以-4，不等号方向改变，得$m ＞ 4$
对于一次函数$y=(4 - m)x - m$：
∵ $m ＞ 4$
∴ $4 - m ＜ 0$，$-m ＜ 0$
即一次函数的斜率$k＜0$，与y轴的交点纵坐标$b＜0$
根据一次函数图象性质，$k＜0$且$b＜0$时，函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程根的情况与一次函数图象性质结合考查，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，掌握判别式与根的对应关系、一次函数k和b的符号对图象的影响是解题关键。
【难度系数】
0.7
9 若关于$x$的方程$(a^2 + c^2)x^2 + 2(b^2 - c^2)x + c^2 - b^2 = 0$有两个相等的实数根，且$a,b,c$是$△ ABC$的三条边，求证：$△ ABC$是等腰三角形。
答案
$\because$ 方程$(a^2+c^2)x^2+2(b^2-c^2)x+c^2-b^2=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=[2(b^2-c^2)]^2-4(a^2+c^2)(c^2-b^2)=0$,即$(b^2-c^2)(b^2+a^2)=0. \because b^2+a^2＞0,b＞0,c＞0,\therefore b^2-c^2=0$,即$b=c. \therefore △ ABC$ 是等腰三角形
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，核心是证三角形有两条边长度相等。已知给定的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的个数和判别式的对应关系，可得判别式Δ=0，代入方程的系数列出关于a、b、c的等式，再结合三角形边长均为正数的隐含条件化简等式，即可得到两条边的等量关系，完成证明。
【解析】
证明：
∵ 关于$x$的方程$(a^2 + c^2)x^2 + 2(b^2 - c^2)x + c^2 - b^2 = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = [2(b^2 - c^2)]^2 - 4(a^2 + c^2)(c^2 - b^2) = 0$，
整理可得$(b^2 - c^2)(b^2 + a^2) = 0$，
∵ $a,b$是△ABC的边长，均为正数，
∴ $b^2 + a^2 ＞ 0$，
∴ $b^2 - c^2 = 0$，即$b = c$，
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.等腰三角形的判定 3.三角形三边性质
【点评】
本题是一元二次方程和三角形判定结合的基础综合题，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，同时注意挖掘三角形边长恒为正的隐含条件，即可顺利推导得到结论。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC是等腰三角形，核心是证三角形有两条边长度相等。已知给定的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的个数和判别式的对应关系，可得判别式Δ=0，代入方程的系数列出关于a、b、c的等式，再结合三角形边长均为正数的隐含条件化简等式，即可得到两条边的等量关系，完成证明。
【解析】
证明：
∵ 关于$x$的方程$(a^2 + c^2)x^2 + 2(b^2 - c^2)x + c^2 - b^2 = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = [2(b^2 - c^2)]^2 - 4(a^2 + c^2)(c^2 - b^2) = 0$，
整理可得$(b^2 - c^2)(b^2 + a^2) = 0$，
∵ $a,b$是△ABC的边长，均为正数，
∴ $b^2 + a^2 ＞ 0$，
∴ $b^2 - c^2 = 0$，即$b = c$，
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.等腰三角形的判定 3.三角形三边性质
【点评】
本题是一元二次方程和三角形判定结合的基础综合题，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，同时注意挖掘三角形边长恒为正的隐含条件，即可顺利推导得到结论。
【难度系数】
0.7
