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7 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,2),△AOB 为等腰直角三角形,∠AOB=90°,则点 B 的坐标为 (
A.(2,3)
B.(-2,3)
C.(-3,2)
D.(-1.5,3)
B
)A.(2,3)
B.(-2,3)
C.(-3,2)
D.(-1.5,3)
答案
B
【解析】过点 A 作 $AC⊥ x$ 轴于点 C,过点 B 作 $BD⊥ x$ 轴于点 D,所以 $∠ ACO=∠ ODB=90°$. 因为 $A(3,2)$,所以 $AC=2,OC=3$. 因为 $△ AOB$ 为等腰直角三角形,所以 $AO=BO$. 因为 $∠ AOB=90°$,所以 $∠ AOC+∠ DOB=90°$. 因为 $∠ ODB=90°$,所以 $∠ DOB+∠ OBD=90°$. 所以 $∠ AOC=∠ OBD$. 在 $△ ACO$ 和 $△ ODB$ 中, $∠ ACO=∠ ODB,∠ AOC=∠ OBD,AO=OB$,所以 $△ ACO≌△ ODB$. 所以 $OD=AC=2$,$BD=OC=3$. 所以点 B 的坐标为 $(-2,3)$.
【解析】过点 A 作 $AC⊥ x$ 轴于点 C,过点 B 作 $BD⊥ x$ 轴于点 D,所以 $∠ ACO=∠ ODB=90°$. 因为 $A(3,2)$,所以 $AC=2,OC=3$. 因为 $△ AOB$ 为等腰直角三角形,所以 $AO=BO$. 因为 $∠ AOB=90°$,所以 $∠ AOC+∠ DOB=90°$. 因为 $∠ ODB=90°$,所以 $∠ DOB+∠ OBD=90°$. 所以 $∠ AOC=∠ OBD$. 在 $△ ACO$ 和 $△ ODB$ 中, $∠ ACO=∠ ODB,∠ AOC=∠ OBD,AO=OB$,所以 $△ ACO≌△ ODB$. 所以 $OD=AC=2$,$BD=OC=3$. 所以点 B 的坐标为 $(-2,3)$.
解析
【分析】
遇到平面直角坐标系中等腰直角三角形求点坐标的问题，通常通过作坐标轴的垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等得到对应角相等，再结合等腰直角三角形的腰相等证明三角形全等，将已知点的坐标转化为所求点对应的线段长度，最后根据点所在的象限确定坐标的符号即可求解。
【解析】
过点A作$AC⊥x$轴于点C，过点B作$BD⊥x$轴于点D，
$\therefore ∠ACO=∠ODB=90°$，
$\because$点A的坐标为$(3,2)$，$\therefore AC=2$，$OC=3$，
$\because △AOB$为等腰直角三角形，$∠AOB=90°$，$\therefore AO=BO$，
$\because ∠AOB=90°$，$\therefore ∠AOC+∠DOB=90°$，
又$\because ∠ODB=90°$，$\therefore ∠DOB+∠OBD=90°$，
$\therefore ∠AOC=∠OBD$，
在$△ACO$和$△ODB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ACO=∠ODB\\∠AOC=∠OBD\\AO=OB\end{array} $
$\therefore △ACO≌△ODB(AAS)$，
$\therefore OD=AC=2$，$BD=OC=3$，
$\because$点B在第二象限，$\therefore$点B的坐标为$(-2,3)$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何证明的综合题，核心解题思路是构造全等三角形转化线段长度，需熟练掌握全等三角形的判定方法，同时注意结合点所在象限判断坐标的正负符号，这类题型是坐标几何的常见考法。
【难度系数】
0.7
遇到平面直角坐标系中等腰直角三角形求点坐标的问题，通常通过作坐标轴的垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等得到对应角相等，再结合等腰直角三角形的腰相等证明三角形全等，将已知点的坐标转化为所求点对应的线段长度，最后根据点所在的象限确定坐标的符号即可求解。
【解析】
过点A作$AC⊥x$轴于点C，过点B作$BD⊥x$轴于点D，
$\therefore ∠ACO=∠ODB=90°$，
$\because$点A的坐标为$(3,2)$，$\therefore AC=2$，$OC=3$，
$\because △AOB$为等腰直角三角形，$∠AOB=90°$，$\therefore AO=BO$，
$\because ∠AOB=90°$，$\therefore ∠AOC+∠DOB=90°$，
又$\because ∠ODB=90°$，$\therefore ∠DOB+∠OBD=90°$，
$\therefore ∠AOC=∠OBD$，
在$△ACO$和$△ODB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ACO=∠ODB\\∠AOC=∠OBD\\AO=OB\end{array} $
$\therefore △ACO≌△ODB(AAS)$，
$\therefore OD=AC=2$，$BD=OC=3$，
$\because$点B在第二象限，$\therefore$点B的坐标为$(-2,3)$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何证明的综合题，核心解题思路是构造全等三角形转化线段长度，需熟练掌握全等三角形的判定方法，同时注意结合点所在象限判断坐标的正负符号，这类题型是坐标几何的常见考法。
【难度系数】
0.7
8 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4),(3,0),C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上.
（1）求AB的长；
（2）若AC=BC,求点C的坐标.
（1）求AB的长；
（2）若AC=BC,求点C的坐标.
答案
（1）如图
,过点 A 作 $AD⊥ OB$ 于点 D,则 $∠ ADB=90°$. 因为 $A(1,4),B(3,0)$,所以 $OD=1,AD=4,OB=3$. 所以 $BD=3-1=2$. 所以 $AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$（2）设 $C(0,m)$,则 $AC^2=1^2+(4-m)^2=m^2-8m+17$,$BC^2=3^2+m^2=m^2+9$. 因为 $AC=BC$,所以 $AC^2=BC^2$,即 $m^2-8m+17=m^2+9$. 所以 $m=1$. 所以点 C 的坐标为 $(0,1)$
解析
【分析】
（1）求线段AB的长度，可借助平面直角坐标系构造直角三角形求解：过点A向x轴作垂线，得到以AB为斜边的直角三角形，根据A、B坐标求出两条直角边的长度，再用勾股定理即可算出AB的长。
（2）已知点C在y轴上，可先设其坐标为$(0,m)$，根据$AC=BC$的条件，利用勾股定理分别表示出$AC^2$和$BC^2$，令二者相等列方程求解m，即可得到点C的坐标，注意验证三点不共线的条件。
【解析】
（1）如图，过点A作$AD⊥OB$于点D，则$∠ ADB=90°$。
因为$A(1,4)$，$B(3,0)$，所以$OD=1$，$AD=4$，$OB=3$，因此$BD=3-1=2$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
（2）设点C的坐标为$(0,m)$，根据勾股定理可得：
$AC^2=1^2+(4-m)^2=m^2-8m+17$，
$BC^2=3^2+m^2=m^2+9$。
因为$AC=BC$，所以$AC^2=BC^2$，即$m^2-8m+17=m^2+9$，
解得$m=1$，符合A、B、C三点不共线的条件，因此点C的坐标为$(0,1)$。
【答案】
（1）$AB=2\sqrt{5}$；（2）点C的坐标为$(0,1)$
【知识点】
勾股定理、两点间距离计算、坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算的结合基础题，第一问考查构造直角三角形用勾股定理求线段长度的方法，第二问渗透了方程思想，通过设未知数列方程求解点的坐标，是该章节的常规考法。
【难度系数】
0.75
（1）求线段AB的长度，可借助平面直角坐标系构造直角三角形求解：过点A向x轴作垂线，得到以AB为斜边的直角三角形，根据A、B坐标求出两条直角边的长度，再用勾股定理即可算出AB的长。
（2）已知点C在y轴上，可先设其坐标为$(0,m)$，根据$AC=BC$的条件，利用勾股定理分别表示出$AC^2$和$BC^2$，令二者相等列方程求解m，即可得到点C的坐标，注意验证三点不共线的条件。
【解析】
（1）如图
，过点A作$AD⊥OB$于点D，则$∠ ADB=90°$。因为$A(1,4)$，$B(3,0)$，所以$OD=1$，$AD=4$，$OB=3$，因此$BD=3-1=2$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
（2）设点C的坐标为$(0,m)$，根据勾股定理可得：
$AC^2=1^2+(4-m)^2=m^2-8m+17$，
$BC^2=3^2+m^2=m^2+9$。
因为$AC=BC$，所以$AC^2=BC^2$，即$m^2-8m+17=m^2+9$，
解得$m=1$，符合A、B、C三点不共线的条件，因此点C的坐标为$(0,1)$。
【答案】
（1）$AB=2\sqrt{5}$；（2）点C的坐标为$(0,1)$
【知识点】
勾股定理、两点间距离计算、坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算的结合基础题，第一问考查构造直角三角形用勾股定理求线段长度的方法，第二问渗透了方程思想，通过设未知数列方程求解点的坐标，是该章节的常规考法。
【难度系数】
0.75
9 已知点$P_1(a-1,-5),P_2(-2,b-1)$关于$y$轴对称，则$(a+b)^{2026}$的值为（
A.0
B.$-1$
C.1
D.$(-3)^{2026}$
C
）A.0
B.$-1$
C.1
D.$(-3)^{2026}$
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心是先明确关于y轴对称的点的坐标规律，再根据规律列等式求出a、b的值，最后代入式子计算乘方结果即可。首先回忆：平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个性质分别列出关于a和b的一元一次方程，解出a、b后计算a+b的值，再根据乘方的运算规则算出最终结果。
【解析】
∵ 点$P_1(a-1,-5)$和$P_2(-2,b-1)$关于$y$轴对称
∴ 根据关于y轴对称的点的坐标特征可得：
$\begin{cases}a-1 = -(-2) \\b-1 = -5\end{cases}$
分别解方程：
第一个方程：$a-1=2$，解得$a=3$
第二个方程：$b-1=-5$，解得$b=-4$
∴ $a+b=3+(-4)=-1$
∴ $(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}$
∵ 负数的偶次幂是正数，2026是偶数
∴ $(-1)^{2026}=1$
【答案】
C
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标规律
2. 有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对称点的坐标性质和乘方的基本运算，解题的关键是准确记忆不同对称方式对应的坐标变化规律，同时要注意负数的偶次幂为正这个易错点，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.85
解决本题的核心是先明确关于y轴对称的点的坐标规律，再根据规律列等式求出a、b的值，最后代入式子计算乘方结果即可。首先回忆：平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个性质分别列出关于a和b的一元一次方程，解出a、b后计算a+b的值，再根据乘方的运算规则算出最终结果。
【解析】
∵ 点$P_1(a-1,-5)$和$P_2(-2,b-1)$关于$y$轴对称
∴ 根据关于y轴对称的点的坐标特征可得：
$\begin{cases}a-1 = -(-2) \\b-1 = -5\end{cases}$
分别解方程：
第一个方程：$a-1=2$，解得$a=3$
第二个方程：$b-1=-5$，解得$b=-4$
∴ $a+b=3+(-4)=-1$
∴ $(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}$
∵ 负数的偶次幂是正数，2026是偶数
∴ $(-1)^{2026}=1$
【答案】
C
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标规律
2. 有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对称点的坐标性质和乘方的基本运算，解题的关键是准确记忆不同对称方式对应的坐标变化规律，同时要注意负数的偶次幂为正这个易错点，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.85
10 小亮在学完轴对称后，设计了一只“电子蝴蝶”的飞行程序.蝴蝶从点A(-2,1)出发，先关于x轴对称飞到点B，再关于y轴对称飞到点C，则点C的坐标为
(2,-1)
.答案
(2,-1)
解析
【分析】
解题时需依次应用关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律求解：第一步先根据关于x轴对称的点的坐标特征，由点A坐标求出点B坐标；第二步再根据关于y轴对称的点的坐标特征，由点B坐标求出点C坐标即可。其中关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。
【解析】
1. 求点B的坐标：
已知点A坐标为$\boldsymbol{(-2,1)}$，根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标取相反数，可得点B的横坐标为$-2$，纵坐标为$1$的相反数$-1$，即$B(-2,-1)$。
2. 求点C的坐标：
已知点B坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$，根据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得点C的纵坐标为$-1$，横坐标为$-2$的相反数$2$，即$C(2,-1)$。
【答案】
$(2,-1)$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标变换规则，熟练记忆两类对称的坐标变化规律即可快速求解，是轴对称性质在坐标系中的基础应用。
【难度系数】
0.9
解题时需依次应用关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律求解：第一步先根据关于x轴对称的点的坐标特征，由点A坐标求出点B坐标；第二步再根据关于y轴对称的点的坐标特征，由点B坐标求出点C坐标即可。其中关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。
【解析】
1. 求点B的坐标：
已知点A坐标为$\boldsymbol{(-2,1)}$，根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标取相反数，可得点B的横坐标为$-2$，纵坐标为$1$的相反数$-1$，即$B(-2,-1)$。
2. 求点C的坐标：
已知点B坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$，根据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标取相反数，可得点C的纵坐标为$-1$，横坐标为$-2$的相反数$2$，即$C(2,-1)$。
【答案】
$(2,-1)$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标变换规则，熟练记忆两类对称的坐标变化规律即可快速求解，是轴对称性质在坐标系中的基础应用。
【难度系数】
0.9
11 将一张画有平面直角坐标系的纸折叠一次，使得点$(3,0),(-3,0)$重合，则与点$(-\dfrac{1}{3},0)$重合的点的坐标为
$(\dfrac{1}{3},0)$
。答案
$(\dfrac{1}{3},0)$
解析
【分析】
折叠后两点重合，说明折痕是这两点所连线段的垂直平分线。首先观察点(3,0)和(-3,0)的位置：两点都在x轴上，连线中点为原点，连线所在直线是x轴，因此它们的垂直平分线为y轴（直线x=0），即本次折叠是沿y轴对折，折叠后关于y轴对称的点互相重合。接下来只需根据关于y轴对称的点的坐标特征，求出点$(-\dfrac{1}{3},0)$的对称点即可。
【解析】
1. 由折叠的性质可知，折痕是点(3,0)与(-3,0)连线的垂直平分线。
2. 计算两点连线的中点坐标：$(\dfrac{3+(-3)}{2},\dfrac{0+0}{2})=(0,0)$，且点(3,0)、(-3,0)的连线在x轴上，因此连线的垂直平分线为y轴（直线$x=0$），即折叠方式为沿y轴对折。
3. 平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标互为相反数。
因此点$(-\dfrac{1}{3},0)$关于y轴的对称点，纵坐标仍为0，横坐标为$-(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}$，即重合点的坐标为$(\dfrac{1}{3},0)$。
【答案】
$(\dfrac{1}{3},0)$
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
3. 线段垂直平分线的定义
【点评】
本题考查轴对称性质在平面直角坐标系中的应用，解题的核心是先通过已知重合点确定折痕的位置，再利用对称点的坐标规律求解，侧重对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.9
折叠后两点重合，说明折痕是这两点所连线段的垂直平分线。首先观察点(3,0)和(-3,0)的位置：两点都在x轴上，连线中点为原点，连线所在直线是x轴，因此它们的垂直平分线为y轴（直线x=0），即本次折叠是沿y轴对折，折叠后关于y轴对称的点互相重合。接下来只需根据关于y轴对称的点的坐标特征，求出点$(-\dfrac{1}{3},0)$的对称点即可。
【解析】
1. 由折叠的性质可知，折痕是点(3,0)与(-3,0)连线的垂直平分线。
2. 计算两点连线的中点坐标：$(\dfrac{3+(-3)}{2},\dfrac{0+0}{2})=(0,0)$，且点(3,0)、(-3,0)的连线在x轴上，因此连线的垂直平分线为y轴（直线$x=0$），即折叠方式为沿y轴对折。
3. 平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标互为相反数。
因此点$(-\dfrac{1}{3},0)$关于y轴的对称点，纵坐标仍为0，横坐标为$-(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}$，即重合点的坐标为$(\dfrac{1}{3},0)$。
【答案】
$(\dfrac{1}{3},0)$
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
3. 线段垂直平分线的定义
【点评】
本题考查轴对称性质在平面直角坐标系中的应用，解题的核心是先通过已知重合点确定折痕的位置，再利用对称点的坐标规律求解，侧重对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.9
12（1）在如图所示的平面直角坐标系中，标出点$A(0,4),B(1,0),C(3,0),D(4,4)$，连接$AB,BC,CD,DA$，形成一个封闭图形。
（2）按要求作出图形：将上述各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，点$A,B,C,D$分别对应点$A',B',C',D'$，连接$A'B',B'C',C'D',D'A'$，形成一个封闭图形。所得的图形与原图形有怎样的位置关系？
（2）按要求作出图形：将上述各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，点$A,B,C,D$分别对应点$A',B',C',D'$，连接$A'B',B'C',C'D',D'A'$，形成一个封闭图形。所得的图形与原图形有怎样的位置关系？
答案
（1）如图所示
（2）如图所示
，所得的图形与原图形关于$x$轴对称解析
【分析】
（1）第一问先根据平面直角坐标系中点的坐标定义：横坐标对应x轴刻度，纵坐标对应y轴刻度，逐个找到A、B、C、D四个点的位置，再按要求依次连线即可。
（2）第二问先按照“横坐标不变，纵坐标乘-1”的规则计算出变换后对应点的坐标，再用描点法画出新图形；最后根据对称点的坐标特征判断两个图形的位置关系：若两个图形的对应点横坐标相同、纵坐标互为相反数，则两图形关于x轴对称。
【解析】
（1）根据坐标含义描点：
点$A(0,4)$：横坐标为0，在y轴上，纵坐标为4，对应y轴刻度4的位置；
点$B(1,0)$：纵坐标为0，在x轴上，横坐标为1，对应x轴刻度1的位置；
点$C(3,0)$：纵坐标为0，在x轴上，横坐标为3，对应x轴刻度3的位置；
点$D(4,4)$：横坐标对应x轴刻度4，纵坐标对应y轴刻度4，找到两个刻度的交点即可。
描点后依次连接$AB、BC、CD、DA$，得到封闭图形，如图所示。
（2）①计算变换后各点坐标：横坐标不变，纵坐标乘-1，可得：
$A'(0,4×(-1))=(0,-4)$，$B'(1,0×(-1))=(1,0)$，$C'(3,0×(-1))=(3,0)$，$D'(4,4×(-1))=(4,-4)$；
②按照上述坐标描出$A'、B'、C'、D'$四个点，依次连接$A'B'、B'C'、C'D'、D'A'$，得到新的封闭图形，如图所示；
③观察两个图形的对应点特征：对应点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此两个图形关于x轴对称。
【答案】
（1）如图所示
（2）如图所示，所得的图形与原图形关于$x$轴对称
【知识点】
坐标系描点；关于x轴对称的坐标特征；坐标与图形变换
【点评】
本题是基础作图类题目，既考查了平面直角坐标系中根据坐标描点的基本技能，也考查了坐标变化与图形对称的对应关系，掌握对称点的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.85
（1）第一问先根据平面直角坐标系中点的坐标定义：横坐标对应x轴刻度，纵坐标对应y轴刻度，逐个找到A、B、C、D四个点的位置，再按要求依次连线即可。
（2）第二问先按照“横坐标不变，纵坐标乘-1”的规则计算出变换后对应点的坐标，再用描点法画出新图形；最后根据对称点的坐标特征判断两个图形的位置关系：若两个图形的对应点横坐标相同、纵坐标互为相反数，则两图形关于x轴对称。
【解析】
（1）根据坐标含义描点：
点$A(0,4)$：横坐标为0，在y轴上，纵坐标为4，对应y轴刻度4的位置；
点$B(1,0)$：纵坐标为0，在x轴上，横坐标为1，对应x轴刻度1的位置；
点$C(3,0)$：纵坐标为0，在x轴上，横坐标为3，对应x轴刻度3的位置；
点$D(4,4)$：横坐标对应x轴刻度4，纵坐标对应y轴刻度4，找到两个刻度的交点即可。
描点后依次连接$AB、BC、CD、DA$，得到封闭图形，如图所示。
（2）①计算变换后各点坐标：横坐标不变，纵坐标乘-1，可得：
$A'(0,4×(-1))=(0,-4)$，$B'(1,0×(-1))=(1,0)$，$C'(3,0×(-1))=(3,0)$，$D'(4,4×(-1))=(4,-4)$；
②按照上述坐标描出$A'、B'、C'、D'$四个点，依次连接$A'B'、B'C'、C'D'、D'A'$，得到新的封闭图形，如图所示；
③观察两个图形的对应点特征：对应点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此两个图形关于x轴对称。
【答案】
（1）如图所示
（2）如图所示
，所得的图形与原图形关于$x$轴对称【知识点】
坐标系描点；关于x轴对称的坐标特征；坐标与图形变换
【点评】
本题是基础作图类题目，既考查了平面直角坐标系中根据坐标描点的基本技能，也考查了坐标变化与图形对称的对应关系，掌握对称点的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.85
