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1. 若$a-4b=0$,则多项式$2(b-2a+10)+7(a-2b-3)$的值是（
A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
A
）A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
答案
A 解析:原式$=2b-4a+20+7a-14b-21=3a-12b-1=3(a-4b)-1$. 因为 $a-4b=0$,所以原式$=-1$.
2. 对于任意有理数$a$,$b$,如果满足$\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$,那么我们称这一对数$a$,$b$为“相随数对”,记为$(a,b)$.若$(m,n)$是“相随数对”,则代数式$3m+2[3m+(2n-1)]$的值为 （
A.$-2$
B.$-1$
C.$2$
D.$3$
A
）A.$-2$
B.$-1$
C.$2$
D.$3$
答案
A 解析:因为$(m,n)$是“相随数对”,所以$\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=\frac{m+n}{2+3}$,所以$\frac{3m+2n}{6}=\frac{m+n}{5}$,即 $9m+4n=0$,所以$3m+2[3m+(2n-1)]=3m+6m+4n-2=9m+4n-2=-2$.
3. (2026·江苏常州期末)若$x=-2026$,则代数式$|x^2+2025x+1|+|x^2+2027x-1|$的值为(
A.4 052
B.4 053
C.4 054
D.4 055
C
)A.4 052
B.4 053
C.4 054
D.4 055
答案
C 解析:当 $x=-2 026$ 时,原式$=|(-2 026)^2-2 025×2 026+1|+|(-2 026)^2-2 027×2 026-1|=2 026^2-2 025×2 026+1-2 026^2+2 027×2 026+1=2 026×(2 027-2 025)+2=4 052+2=4 054$.
4. 已知$(x+1)^5 = a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$，则$a_4 + a_2$的值为（
A.32
B.31
C.16
D.15
D
）A.32
B.31
C.16
D.15
答案
D 解析:因为$(x+1)^5 = a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$,所以当 $x=0$ 时,$a_0=1$;当 $x=1$ 时,$a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=2^5=32①$;当 $x=-1$ 时,$-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=0^5=0②$. ①+②,得$2(a_4+a_2+a_0)=32$,所以 $a_4+a_2+a_0=16$,所以 $a_4+a_2=16-1=15$.
5. 已知多项式 $ x^4 y^n - 2x^3 $ 与多项式 $ -\dfrac{1}{2}x^5 - 3y + 2 $ 的次数相同，则多项式 $ n - 2n + 3n - 4n + 5n - 6n + \dots + 99n - 100n $ 的值为
-50
。答案
-50 解析:因为多项式 $ x^4 y^n - 2x^3 $ 与多项式 $ -\frac{1}{2}x^5 - 3y + 2 $ 的次数相同,所以 $4+n=5$,解得 $n=1$,所以 $n - 2n + 3n - 4n + 5n - 6n + \dots + 99n - 100n=(n-2n)+(3n-4n)+(5n-6n)+\dots+(99n-100n)=-50n$. 当 $n=1$ 时,原式$=-50×1=-50$.
6. (2026·江苏南京月考)已知$P = xy -5x +3$，$Q = x -3xy +1$。若无论$x$取何值，代数式$2P -3Q$的值都等于3，则$y = \_\_\_\_\_\_$
答案
$\dfrac{13}{11}$ 解析:因为 $P=xy-5x+3,Q=x-3xy+1$,所以 $2P-3Q=2(xy-5x+3)-3(x-3xy+1)=2xy-10x+6-3x+9xy-3=11xy-13x+3=(11y-13)x+3$. 因为无论 $x$ 取何值,代数式 $2P-3Q$ 的值都等于3,所以 $11y-13=0$,解得 $y=\dfrac{13}{11}$.
7. 一个四位数$M$的千位上为$a$，百位上为$b$，十位上为$c$，个位上为$d$，其中$a,b,c,d$互不相同且均不为0，小明发现部分$M$满足$\overline{ab}+\overline{cd}=99$，他称这样的四位数为“给力数”。例如：四位数3 762，因为$37+62=99$，所以3 762是“给力数”。最大的“给力数”是
8712
。答案
8712 解析:因为 $\overline{ab}+\overline{cd}=99$,所以 $10a+b+10c+d=99$,所以 $10(a+c)+b+d=99$. 又 $0＜a≤9,0＜b≤9,0＜c≤9,0＜d≤9$,且 $a,b,c,d$ 为正整数,所以 $a+c=9,b+d=9$. 又 $a,b,c,d$ 互不相同,所以当 $a=8,b=7$ 时,$M$ 最大,所以 $c=1,d=2$,所以最大的“给力数”是8712.
8. 已知 $a=\frac{1}{2}xy+3x,b=x-3y,c=xy-2y.$
（1）若 $2a-3b+c$ 的值与 $y$ 的取值无关，求 $x$ 的值；
（2）当 $x=-2$ 时，$x,y$ 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 $2|a+8|+|2b-1|-|c|.$
（1）若 $2a-3b+c$ 的值与 $y$ 的取值无关，求 $x$ 的值；
（2）当 $x=-2$ 时，$x,y$ 在数轴上的位置如图所示，化简代数式 $2|a+8|+|2b-1|-|c|.$
答案
(1) 因为 $a=\frac{1}{2}xy+3x,b=x-3y,c=xy-2y$,所以 $2a-3b+c=2(\frac{1}{2}xy+3x)-3(x-3y)+(xy-2y)=xy+6x-3x+9y+xy-2y=2xy+3x+7y=(2x+7)y+3x$. 因为 $2a-3b+c$ 的值与 $y$ 的取值无关,所以 $2x+7=0$,解得 $x=-\frac{7}{2}$.
(2) 由题图,得 $x＜0＜y,|x|＞|y|$. 又 $x=-2$,所以 $0＜y＜2$. 因为 $a=\frac{1}{2}xy+3x,b=x-3y,c=xy-2y$,所以 $2|a+8|+|2b-1|-|c|=2\left|\frac{1}{2}xy+3x+8\right|+|2(x-3y)-1|-|xy-2y|=2|2-y|+|6y+5|-|4y|$. 又 $2-y＞0,6y+5＞0,4y＞0$,所以原式$=2(2-y)+(6y+5)-4y=4-2y+6y+5-4y=9$.
(2) 由题图,得 $x＜0＜y,|x|＞|y|$. 又 $x=-2$,所以 $0＜y＜2$. 因为 $a=\frac{1}{2}xy+3x,b=x-3y,c=xy-2y$,所以 $2|a+8|+|2b-1|-|c|=2\left|\frac{1}{2}xy+3x+8\right|+|2(x-3y)-1|-|xy-2y|=2|2-y|+|6y+5|-|4y|$. 又 $2-y＞0,6y+5＞0,4y＞0$,所以原式$=2(2-y)+(6y+5)-4y=4-2y+6y+5-4y=9$.
9. 一个三位数,如果它的十位数字等于个位数字与百位数字的和,那么称这个三位数为“和谐数”.
（1）最小的三位数“和谐数”为
（2）若一个三位数“和谐数”的个位数字为$a(a≥0)$,十位数字为$b(b≥1,b＞a$,且$a,b$都是自然数),请用含$a,b$的代数式表示该“和谐数”;
（3）任意一个三位数“和谐数”是否是11的整数倍?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.
（1）最小的三位数“和谐数”为
110
,最大的三位数“和谐数”为990
;（2）若一个三位数“和谐数”的个位数字为$a(a≥0)$,十位数字为$b(b≥1,b＞a$,且$a,b$都是自然数),请用含$a,b$的代数式表示该“和谐数”;
（3）任意一个三位数“和谐数”是否是11的整数倍?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.
答案
(1) 110 990
(2) 由题意,得该“和谐数”的百位数字为 $b-a$,所以该“和谐数”为 $100(b-a)+10b+a=110b-99a$.
(3) 任意一个三位数“和谐数”是11的整数倍. 理由如下:设该三位数“和谐数”的个位数字为 $x$,百位数字为 $y(x,y$ 均为自然数,且 $y$ 不为0),则该“和谐数”可以表示为 $100y+10(x+y)+x=110y+11x$. 因为 $110y+11x=11(10y+x)$,所以任意一个三位数“和谐数”是11的整数倍.
(2) 由题意,得该“和谐数”的百位数字为 $b-a$,所以该“和谐数”为 $100(b-a)+10b+a=110b-99a$.
(3) 任意一个三位数“和谐数”是11的整数倍. 理由如下:设该三位数“和谐数”的个位数字为 $x$,百位数字为 $y(x,y$ 均为自然数,且 $y$ 不为0),则该“和谐数”可以表示为 $100y+10(x+y)+x=110y+11x$. 因为 $110y+11x=11(10y+x)$,所以任意一个三位数“和谐数”是11的整数倍.
