登录
7. 新趋势 综合实践 张老师在综合实践活动课上给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片,请同学们思考如何通过折纸的方法求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$的值.
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后,进行如下操作:如图①,将边长为1的正方形纸片分割成7个部分,第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半,第②部分是第①部分面积的一半,第③部分是第②部分面积的一半……依此类推,则空白部分的面积为$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$.
“破浪”小组是这样思考的:设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$①. 将等式两边同时乘$\frac{1}{2}$,得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{2^7}$②. ①$-$②,得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^7}$,即$S=1-\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$.
【过程思考】
(1) 阴影部分的面积是
【拓展应用】
(2) 根据以上规律及思想方法,解答下列问题.(结果写成含幂的形式)
① 求$\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{2^{10}}+\dots+\frac{1}{2^{20}}$的值;
② 求$\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}+2\frac{7}{8}+3\frac{15}{16}+4\frac{31}{32}+5\frac{63}{64}+\dots+9\frac{1023}{1024}+10\frac{2047}{2048}$的值;
【迁移】
(3) 如图②,点$M$在线段$AN$的延长线上,且线段$MN=20$.第一次操作:分别取线段$AM$和$AN$的中点$M_1,N_1$;第二次操作:分别取线段$AM_1$和$AN_1$的中点$M_2,N_2$;第三次操作:分别取线段$AM_2$和$AN_2$的中点$M_3,N_3$……连续这样操作30次,则每次的两个中点所形成的所有线段之和$M_1N_1+M_2N_2+M_3N_3+\dots+M_{30}N_{30}$的值为多少?(结果写成含幂的形式)
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后,进行如下操作:如图①,将边长为1的正方形纸片分割成7个部分,第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半,第②部分是第①部分面积的一半,第③部分是第②部分面积的一半……依此类推,则空白部分的面积为$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$.
“破浪”小组是这样思考的:设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$①. 将等式两边同时乘$\frac{1}{2}$,得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{2^7}$②. ①$-$②,得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^7}$,即$S=1-\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$.
【过程思考】
(1) 阴影部分的面积是
$\frac{1}{64}$
,$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}=$$\frac{127}{128}$
;【拓展应用】
(2) 根据以上规律及思想方法,解答下列问题.(结果写成含幂的形式)
① 求$\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{2^{10}}+\dots+\frac{1}{2^{20}}$的值;
② 求$\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}+2\frac{7}{8}+3\frac{15}{16}+4\frac{31}{32}+5\frac{63}{64}+\dots+9\frac{1023}{1024}+10\frac{2047}{2048}$的值;
【迁移】
(3) 如图②,点$M$在线段$AN$的延长线上,且线段$MN=20$.第一次操作:分别取线段$AM$和$AN$的中点$M_1,N_1$;第二次操作:分别取线段$AM_1$和$AN_1$的中点$M_2,N_2$;第三次操作:分别取线段$AM_2$和$AN_2$的中点$M_3,N_3$……连续这样操作30次,则每次的两个中点所形成的所有线段之和$M_1N_1+M_2N_2+M_3N_3+\dots+M_{30}N_{30}$的值为多少?(结果写成含幂的形式)
答案
7. (1) $\frac{1}{64}$ $\frac{127}{128}$ 解析:因为题图中空白部分的面积为$\frac{63}{64}$,所以阴影部分的面积为$1-\frac{63}{64}=\frac{1}{64}$. 设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}$,则$2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$,所以$S=2S-S=1-\frac{1}{2^7}=\frac{127}{128}$.
(2) ① $原式=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{19}}+\frac{1}{2^{20}})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^7})=(1-\frac{1}{2^{20}})-(1-\frac{1}{2^7})=\frac{1}{2^7}-\frac{1}{2^{20}}$.
② $原式=(1-\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{4})+(3-\frac{1}{8})+\dots+(11-\frac{1}{2048})=(1-\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{2^2})+(3-\frac{1}{2^3})+\dots+(11-\frac{1}{2^{11}})=(1+2+3+\dots+11)-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{11}})=66-(1-\frac{1}{2^{11}})=65\frac{1}{2^{11}}$.
(3) 由题意,得 $M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}(AM-AN)=\frac{1}{2}MN$. 同理可得 $M_2N_2=\frac{1}{2}M_1N_1$, …, $M_{30}N_{30}=\frac{1}{2}M_{29}N_{29}$. 因为 $MN=20$,所以 $M_1N_1+M_2N_2+\dots+M_{30}N_{30}=\frac{1}{2}×20+(\frac{1}{2})^2×20+\dots+(\frac{1}{2})^{30}×20=20×[\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+\dots+(\frac{1}{2})^{30}]=20×[1-(\frac{1}{2})^{30}]=20-\frac{5}{2^{28}}$,所以每次的两个中点所形成的所有线段之和 $M_1N_1+M_2N_2+M_3N_3+\dots+M_{30}N_{30}$ 的值为 $20-\frac{5}{2^{28}}$.
(2) ① $原式=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{19}}+\frac{1}{2^{20}})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^7})=(1-\frac{1}{2^{20}})-(1-\frac{1}{2^7})=\frac{1}{2^7}-\frac{1}{2^{20}}$.
② $原式=(1-\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{4})+(3-\frac{1}{8})+\dots+(11-\frac{1}{2048})=(1-\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{2^2})+(3-\frac{1}{2^3})+\dots+(11-\frac{1}{2^{11}})=(1+2+3+\dots+11)-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{11}})=66-(1-\frac{1}{2^{11}})=65\frac{1}{2^{11}}$.
(3) 由题意,得 $M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}(AM-AN)=\frac{1}{2}MN$. 同理可得 $M_2N_2=\frac{1}{2}M_1N_1$, …, $M_{30}N_{30}=\frac{1}{2}M_{29}N_{29}$. 因为 $MN=20$,所以 $M_1N_1+M_2N_2+\dots+M_{30}N_{30}=\frac{1}{2}×20+(\frac{1}{2})^2×20+\dots+(\frac{1}{2})^{30}×20=20×[\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+\dots+(\frac{1}{2})^{30}]=20×[1-(\frac{1}{2})^{30}]=20-\frac{5}{2^{28}}$,所以每次的两个中点所形成的所有线段之和 $M_1N_1+M_2N_2+M_3N_3+\dots+M_{30}N_{30}$ 的值为 $20-\frac{5}{2^{28}}$.
