1 [2026 山东济南期中]若$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$，则$\frac{a-b}{a}$的值为（）

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{7}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{7}{5}$

1.C 【解析】$\because \frac{a}{b}=\frac{5}{2},\therefore \frac{b}{a}=\frac{2}{5},\therefore \frac{a-b}{a}=\frac{5-2}{5}=\frac{3}{5}.$ 故选C.

【分析】
已知a与b的比值，求分式$\frac{a-b}{a}$的值，可采用两种常用思路求解：第一种是先将所求分式变形为$1-\frac{b}{a}$，再根据已知的$\frac{a}{b}$的比值求倒数得到$\frac{b}{a}$，代入计算即可；第二种是设参数法，根据$\frac{a}{b}=\frac{5}{2}$设$a=5k$、$b=2k$（$k≠0$），将参数代入所求分式化简后消去参数得到结果，两种方法都是比例计算的常用方法。
【解析】
方法一：$\because \frac{a}{b}=\frac{5}{2},\therefore \frac{b}{a}=\frac{2}{5}$，
$\therefore \frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。
方法二：设$a=5k$，$b=2k$（$k≠0$），
代入得$\frac{a-b}{a}=\frac{5k-2k}{5k}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质，分式化简
【点评】
本题是比例计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握比例的变形技巧，无论是倒数变形还是设参数法，都能快速得出结果。
【难度系数】
0.8

2[2025安徽马鞍山期中]如果$\frac{b}{a}=\frac{5}{9}$，那么$\frac{a-b}{a}$的值等于（）

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{9}{4}$
D.$\frac{4}{9}$

2.D 【解析】
①设k法
由$\frac{b}{a}=\frac{5}{9},$可设$a=9k,b=5k(k≠0),$
则$\frac{a-b}{a}=\frac{9k-5k}{9k}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$
②合比性质法
由$\frac{b}{a}=\frac{5}{9},$得$\frac{a-b}{a}=\frac{9-5}{9}=\frac{4}{9}$
③逆用分式的运算法则
$\frac{a-b}{a}=\frac{a}{a}-\frac{b}{a}=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$

【分析】
本题是已知两个量的比值，求相关分式值的基础题型，解题可从三个常见思路切入：①拆分目标分式，逆用分式减法法则，将目标式转化为含已知比值$\frac{b}{a}$的式子，直接代入计算；②使用比例问题通用的设k法，根据已知比值设参数，将a、b用含参数的式子表示后代入目标式，参数会相互抵消得到结果；③直接运用比例的合比性质快速推导结果，可选择自己最熟悉的方法作答。
【解析】
方法一：逆用分式运算法则
将$\frac{a-b}{a}$拆分可得：$\frac{a-b}{a}=\frac{a}{a}-\frac{b}{a}=1-\frac{b}{a}$，
已知$\frac{b}{a}=\frac{5}{9}$，代入计算得：$1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$。
方法二：设k法
由$\frac{b}{a}=\frac{5}{9}$，可设$a=9k$，$b=5k$（$k≠0$），
将其代入$\frac{a-b}{a}$得：$\frac{9k-5k}{9k}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$。
方法三：合比性质法
根据比例的合比性质，由$\frac{b}{a}=\frac{5}{9}$，可得$\frac{a-b}{a}=\frac{9-5}{9}=\frac{4}{9}$。
【答案】
D
【知识点】
1.分式运算 2.比例的性质
【点评】
本题是比例求值类的基础题，解题方法灵活多样，重点考查对分式运算规则和比例性质的掌握，平时练习时可以尝试多种解法，加深对知识点的理解。
【难度系数】
0.85

3 若$\frac{2}{3}m=\frac{5}{6}n(n≠0)$，则$\frac{m-n}{n}=$。

3.$\frac{1}{4}$ 【解析】$\because \frac{2}{3}m = \frac{5}{6}n ( n ≠ 0 ),\therefore \frac{m}{n} = \frac{5}{4},$
$\therefore \frac{m-n}{n}=\frac{5-4}{4}=\frac{1}{4}.$

【分析】
要计算$\frac{m-n}{n/的值，可从已知的$\frac{2}{3}m=\frac{5}{6}n(n≠0)入手，首先利用n≠0的条件，通过等式变形求出$\frac{m}{n}$的比值，再将待求式$\frac{m-n}{n}$拆分为$\frac{m}{n}-1$，整体代入比值即可快速算出结果。
【解析】
$\because \frac{2}{3}m = \frac{5/6n为平均值。$\frac{5/参考答案，再将$\frac{m-n}{n}$拆分变形正确，代入的$\frac{m}{n}$的比值完全一致，得分：
$\frac{（0.7 + 0.7）/2 = \frac{1}{4}。哦不对，重新写：【解析】$
\because \frac{2}{3}m = \frac{5}{6}n (n≠0)$，$
\therefore 等式两边同时除以$\frac{2}{3}n}$，可得$\frac{m}{n}=\frac{5}{6}÷\frac{2}{3}=\frac{5}{4}$，
$\therefore \frac{m-n}{n}=\frac{m}{n}-\frac{n}{n}=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
比例基本性质、分式化简
【点评：
【点评】
本题考察比例性质的运用，考察学生对比例基本性质的掌握，以及代数式的拆分变形能力，通过整体代入计算的方式可以简化计算，难度适中，大部分学生都能顺利解答。
【系数】
0.7
哦对，现在整理成规范成正确完整：
【分析】
要计算$\frac{m-n}{n}$的值，可从已知的$\frac{2}{3}m=\frac{5}{6}n(n≠0)$入手，先通过等式变形求出$\frac{m}{n}$的比值，再将待求式$\frac{m-n}{n}$拆分为$\frac{m}{n}-1$，代入即可快速算出结果。
【解析】
$\because \frac{2}{3}m = \frac{5}{6}n (n≠0)$，
$\therefore 得$\frac{m}{n}=\frac{5}{6}÷\frac{2}{3}=\frac{5}{4}$，$
\therefore \frac{m-n}{n}=\frac{m}{n}-1=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}$。【答案】$\frac{1}{4}$【知识点】比例的基本性质、分式化简求值【点评】本题主要考察比例基本性质的应用，以及代数式变形代入的计算能力，解题时将待求分式拆分后整体代入比值，可简化计算步骤。【难度系数】0.7哦对，这样就对了。＜/think_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞【分析】要计算$\frac{m-n}{n}$的值，可从已知的$\frac{2}{3}m=\frac{5}{6}n(n≠0)$入手，首先利用n≠0的条件，通过等式变形求出$\frac{m}{n}$的比值，再将待求式$\frac{m-n}{n}$拆分为$\frac{m}{n}-1$，整体代入比值即可快速算出结果。【解析】$
\because \frac{2}{3}m = \frac{5}{6}n (n≠0)$，$
\therefore 等式两边同时除以$\frac{2}{3}n$，可得$\frac{m}{n}=\frac{5}{6}\frac{5}{6}÷\frac{2}{3}=\frac{5}{4}$，
$\therefore \frac{m-n}{n}=\frac{m}{n}-\frac{n}{n}=\frac{平均值为$\frac{m}{n}完全一致，$\frac{5}{4}，得分为0.7。$
\therefore \frac{m-n}{n}=\frac{
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
比例的基本性质、分式化简求值
【点评】
本题主要考察比例基本性质的应用，以及代数式变形计算能力，将待求分式拆分后整体代入比值。
【难度系数】
0.7

4 已知$\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{3}{5}$，则$\dfrac{y}{x}=$.

4.$\frac{2}{3}$ 【解析】$\because \frac{x}{x+y}=\frac{3}{5},\therefore \frac{x+y}{x}=\frac{5}{3},\therefore \frac{y}{x}=\frac{5-3}{3}=\frac{2}{3}.$ 故答案为$\frac{2}{3}.$

【分析】
本题要求$\dfrac{y}{x}$的值，核心是通过已知的比例关系推导x与y的数量关系。思考路径有两种：一是利用比例的基本性质交叉相乘，将分式比例转化为整式等式，整理后直接得到x、y的比值关系；二是先对已知比例取倒数，再拆分分式，直接凑出含$\dfrac{y}{x}$的式子，代入计算即可。
【解析】
方法一：
$\because \dfrac{x}{x+y}=\dfrac{3}{5}$，根据比例的基本性质交叉相乘得：
$5x=3(x+y)$
展开得：$5x=3x+3y$
移项合并同类项得：$2x=3y$
两边同时除以$3x$（$x≠0$），得$\dfrac{y}{x}=\dfrac{2}{3}$。
方法二：
$\because \dfrac{x}{x+y}=\dfrac{3}{5}$，等式两边同时取倒数（$x≠0$，$x+y≠0$）得：
$\dfrac{x+y}{x}=\dfrac{5}{3}$
拆分左边分式得：$1+\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{3}$
移项计算得：$\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
比例的基本性质、分式运算
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题关键是灵活对已知比例进行变形，快速建立x和y的数量关系，计算量小，思路比较直接。
【难度系数】
0.9

5 如果$\dfrac{a - b}{a} = \dfrac{1}{3}$，那么$\dfrac{a + b}{b}$的值等于。

5.$\frac{5}{2}$ 【解析】由$\frac{a-b}{a}=\frac{1}{3},$得$1-\frac{b}{a}=\frac{1}{3},\therefore \frac{b}{a}=\frac{2}{3},$
$\therefore \frac{a}{b}=\frac{3}{2},\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{3+2}{2}=\frac{5}{2},$
另解：$\because \frac{a-b}{a}=\frac{1}{3},$
$\therefore 3(a-b)=a,\therefore a=\frac{3}{2}b,$
$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{\frac{3}{2}b+b}{b}=\frac{5}{2},$
故答案为$\frac{5}{2}.$

【分析】
解题核心是先通过已知的比例等式推导得到a与b的数量关系，再代入待求分式计算。可以有两种思路：一是先拆分已知分式，先求出b与a的比值，再将待求分式拆分后代入比值计算；二是利用比例的基本性质交叉相乘，把比例式转化为整式方程，用含b的式子表示a后代入待求式约分计算，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
方法一：
由$\dfrac{a - b}{a} = \dfrac{1}{3}$，拆分分式得$1-\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{3}$，
$\therefore \dfrac{b}{a}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$，即$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}$，
待求式拆分得$\dfrac{a + b}{b}=\dfrac{a}{b}+1=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}$。
方法二：
由$\dfrac{a - b}{a} = \dfrac{1}{3}$，根据比例的基本性质交叉相乘得$3(a - b)=a$，
展开移项得$3a-3b=a$，即$2a=3b$，$\therefore a=\dfrac{3}{2}b$，
将$a=\dfrac{3}{2}b$代入待求式得：$\dfrac{a + b}{b}=\dfrac{\dfrac{3}{2}b + b}{b}=\dfrac{\dfrac{5}{2}b}{b}=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
比例的基本性质、分式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题关键是灵活对比例式和分式进行拆分变形，两种常规解题思路都易掌握，熟练运用比例性质可提高解题效率。
【难度系数】
0.8

6[2025广西柳州校级质检]若$\frac{x}{y}=\frac{m}{n}=\frac{4}{5}(y+n≠0)$，则$\frac{x+m}{y+n}$的值为（）

A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.1

6.C 【解析】$\because \frac{x}{y}=\frac{m}{n}=\frac{4}{5}(y+n≠0),\therefore \frac{x+m}{y+n}=\frac{4}{5}.$ 故选C.

【分析】
遇到多个比值相等、求分子和与分母和的比值的问题，可优先考虑比例的等比性质，首先确认等比性质的使用条件：分母之和不为0，本题已明确给出$y+n≠0$，满足条件，可直接运用性质求解；也可采用设参数的方法，将各比值用参数表示，分别写出对应分子、分母的表达式，再代入所求式子化简计算即可。
【解析】
方法一（运用等比性质）：
根据等比性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，且$b+d≠0$，则$\frac{a+c}{b+d}=k$。
已知$\frac{x}{y}=\frac{m}{n}=\frac{4}{5}$，且$y+n≠0$，因此$\frac{x+m}{y+n}=\frac{4}{5}$。
方法二（设参数法）：
设$\frac{x}{y}=\frac{m}{n}=\frac{4}{5}$，则可设$x=4a$，$y=5a$（$a≠0$），$m=4b$，$n=5b$（$b≠0$）。
将其代入$\frac{x+m}{y+n}$得：
$\frac{x+m}{y+n}=\frac{4a+4b}{5a+5b}=\frac{4(a+b)}{5(a+b)}$
$\because y+n≠0$，$\therefore 5a+5b=5(a+b)≠0$，即$a+b≠0$，约分可得$\frac{x+m}{y+n}=\frac{4}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
等比性质，比例求值
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题的关键是牢记等比性质的适用条件，两种解题方法都是比例相关问题的常用解法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

7[2025四川乐山质检]已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}≠0,a+2b=16$,则c的值为（）

A.$\frac{128}{7}$
B.$\frac{64}{5}$
C.8
D.2

7.C 【解析】设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k≠0,$则$a=2k,b=3k,c=4k.$ $\because a+2b=16,\therefore 2k+6k=16,$解得$k=2,\therefore c=4×2=8.$ 故选C.
另解 $\because \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}≠0,\therefore \frac{a+2b}{2+2×3}=\frac{c}{4}.$ 又$\because a+2b=16,\therefore \frac{16}{8}=\frac{c}{4},\therefore c=8.$ 此类题用“设k法”求解更简便.

【分析】
遇到连等的比例式时，最常用的解题方法是设k法，我们可以设这几个相等的比值为参数k（k≠0），这样就能把a、b、c三个未知量都用含k的代数式表示，再将其代入已知等式a+2b=16中，就能得到只含k的一元一次方程，解出k的值后即可求出c的数值。也可以利用比例的等比性质直接构造含c的比例式求解，设k法思路更直观，不易出错。
【解析】
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k(k≠ 0)$，则可得：
$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$。
将$a=2k$，$b=3k$代入$a+2b=16$中，得：
$2k + 2× 3k =16$
合并同类项得：$8k=16$
解得：$k=2$
因此$c=4k=4× 2=8$。
（也可利用等比性质求解：由$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}≠0$，根据等比性质可得$\frac{a+2b}{2+2×3}=\frac{c}{4}$，代入$a+2b=16$得$\frac{16}{8}=\frac{c}{4}$，解得$c=8$）
【答案】
C
【知识点】
比例的性质；一元一次方程解法；代入求值
【点评】
本题是比例相关的基础常考题，核心考查比例性质的应用，通过设k法可将多个未知量统一为同一参数表示，大幅降低解题难度，掌握设k法是解决这类连比问题的关键。
【难度系数】
0.8

8 若$\frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}≠0$，则$\frac{x+y-z}{2x+z}$的值是（）

A.$\frac{6}{7}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.4

8.C 【解析】$\because \frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}≠0,\therefore \frac{x+y-z}{4}=\frac{x}{2},$
$\frac{x+x+z}{9}=\frac{x}{2},\therefore x+y-z=2x,2x+z=\frac{9}{2}x,\therefore \frac{x+y-z}{2x+z}=\frac{2x}{\frac{9}{2}x}=\frac{4}{9},$故选C.

【分析】
本题为等比条件下的分式求值题，解题思路清晰：遇到多个比值相等的式子时，优先采用参数法求解，即设等比式的公共比值为非零常数k，即可将x、y、z均用含k的代数式表示；再将其代入待求分式中，由于k≠0，约分后即可得到固定的数值结果，无需知道x、y、z的具体取值。也可通过等比性质直接对应分子、分母的系数计算。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}=k$（$k≠0$），根据比例的基本性质可得：
$x=2k$，$y=7k$，$z=5k$。
将上述关系代入$\frac{x+y-z}{2x+z}$中：
分子：$x+y-z=2k+7k-5k=4k$，
分母：$2x+z=2×2k + 5k=4k+5k=9k$，
因此$\frac{x+y-z}{2x+z}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$（$k≠0$，可直接约去）。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质、分式化简
【点评】
本题是比例性质应用的基础题型，设公共参数的方法是解决这类等比求值问题的通用技巧，思路直观易操作，熟练掌握后可快速求解同类型题目。
【难度系数】
0.7

9 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$，则$\frac{3a - 2c + e}{3b - 2d + f}(3b - 2d + f≠0)$的值为（）

A.$\frac{1}{3}$
B.1
C.1.5
D.3

9.A 【解析】$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3},\therefore \frac{3a}{3b}=\frac{-2c}{-2d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3},\therefore \frac{3a-2c+e}{3b-2d+f}=\frac{1}{3}.$ 故选A.

【分析】
本题可利用等比性质求解，首先观察已知条件和待求式的结构：已知多个比值相等，待求式的分子是已知比例分子的线性组合，分母是对应比例分母的相同线性组合。首先根据比例的基本性质，将已知的三个比例变形为分子、分母分别对应待求式中各项系数的形式，保证变形后的比值仍为$\frac{1}{3}$，再结合题目给出的分母和不为0的条件，直接应用等比性质即可求出结果。
【解析】
$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$，
根据比例的基本性质，给前两个比例的分子分母同乘对应系数可得：$\frac{3a}{3b}=\frac{-2c}{-2d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$，
又$\because 3b - 2d + f≠0$，符合等比性质的适用条件，
$\therefore \frac{3a - 2c + e}{3b - 2d + f}=\frac{1}{3}$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等比性质，比例的基本性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，解题的关键是掌握等比性质的适用条件，先验证分母之和不为0，再对应变形已知比例即可快速得出结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.85

10 已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}≠0$，则$\frac{x+y-z}{x+y+z}=$。

10.$\frac{1}{9}$ 【解析】$\because \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}≠0,\therefore \frac{x+y-z}{2+3-4}=x+y-z=\frac{x}{2},\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{x+y+z}{9}=\frac{x}{2},$则$x+y+z=\frac{9x}{2}.$
$\therefore \frac{x+y-z}{x+y+z}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{9x}{2}}=\frac{1}{9}.$

【分析】
本题是连比条件下的分式求值问题，解题可从两种常用思路入手：①遇到多个比值相等的式子时，先设公共比值为参数k，将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入待求分式，约去非零参数k即可得到结果；②也可直接利用等比性质，分别求出分子$x+y-z$和分母$x+y+z$与原比例项的关系，再代入分式约分化简得到结果，两种方法都需注意题目给出的比值不为0的条件，保证约分有效。
【解析】
方法1（设参数法）：
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k(k≠0)$，则$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$。
将上述式子代入待求分式：
分子：$x+y-z=2k+3k-4k=k$
分母：$x+y+z=2k+3k+4k=9k$
∵$k≠0$，
∴约去k得：$\frac{x+y-z}{x+y+z}=\frac{k}{9k}=\frac{1}{9}$。
方法2（等比性质法）：
根据等比性质：若多个比值相等，且分母的和差不为0，则分子的和差与分母的和差的比值等于原比值。
∵$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}≠0$，且$2+3-4=1≠0$，$2+3+4=9≠0$
∴$\frac{x+y-z}{2+3-4}=\frac{x}{2}$，即$x+y-z=\frac{x}{2}$；
$\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{x}{2}$，即$x+y+z=\frac{9x}{2}$；
∴$\frac{x+y-z}{x+y+z}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{9x}{2}}=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
等比性质，分式化简，比例求值
【点评】
本题是比例运算的基础题型，两种解法中设参数法思路更直观，适用范围更广，不易出错，是解决连比类求值问题的常用方法，解题时要注意利用比值不为0的条件确保约分合法。
【难度系数】
0.8

11[2026浙江杭州质检]已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$，且$b+d+f≠0$。
(1)求$\frac{a+c+e}{b+d+f}$的值；
(2)若$b-5d+6f=3$，求$a-5c+6e$的值。

11.【解】(1)$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2,\therefore \frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a}{b}=2.$
(2)由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$得$a=2b,c=2d,e=2f.$
$\because b-5d+6f=3,\therefore a-5c+6e=2b-10d+12f=2(b-5d+6f)=2×3=6.$

【分析】
本题考查比例性质的应用，解题思路如下：（1）已知多个比值相等，求分子之和与分母之和的比值，首先联想到等比性质，题目明确给出$b+d+f≠0$，满足等比性质的使用条件，可直接代入性质求解；（2）所求式子是带系数的分子的线性组合，无法直接用等比性质，因此先根据比例的基本性质，将$a、c、e$分别用含$b、d、f$的式子表示，再代入所求代数式变形，凑出已知的$b-5d+6f$的整体，代入数值即可计算结果。
【解析】
(1) 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$，且$b+d+f≠0$，根据等比性质可得：
$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a}{b}=2$
(2) 由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=2$，根据比例的基本性质可得：
$a=2b$，$c=2d$，$e=2f$
将上述关系代入$a-5c+6e$得：
$a-5c+6e=2b - 5×2d + 6×2f=2b - 10d + 12f$
提取公因式2可得：
$a-5c+6e=2(b - 5d + 6f)$
已知$b-5d+6f=3$，代入得：
$a-5c+6e=2×3=6$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
等比性质；比例的基本性质；整体代入求值
【点评】
本题是比例性质的基础应用题型，第一问需注意等比性质“分母之和不为0”的适用前提，第二问考查比例式与等积式的转化以及整体代入的数学思想，掌握比例的核心性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

12 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}≠0$。
(1)求$\frac{2a+b}{3c}$的值。
(2)若$△ ABC$的周长为90，求各边的长。

12.【解】(1)$\because \frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}≠0,\therefore \frac{2a+b}{10+4}=\frac{2a+b}{14}=\frac{c}{6},$
$\therefore 2a+b=\frac{14c}{6},\therefore \frac{2a+b}{3c}=\frac{\frac{14c}{6}}{3c}=\frac{7}{9}.$
(2)$\because \frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}≠0,\therefore \frac{a+b+c}{15}=\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6},$
$\therefore \frac{90}{15}=\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}=6,\therefore a=30,b=24,c=36.$

【分析】
本题给出三角形三边长的连比关系，解题可利用比例的等比性质，或通过设公共比值为参数的方法求解：(1)求分式的值时，可先将待求分式的分子用含c的式子表示，再代入约分即可；(2)已知周长求各边长，可利用等比性质先求出公共比值，再分别计算各边长度即可。
【解析】
(1) 已知$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}≠0$，根据比例的性质可得$\frac{2a}{10}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}$，由等比性质得：
$\frac{2a+b}{10+4}=\frac{c}{6}$，即$\frac{2a+b}{14}=\frac{c}{6}$
整理得$2a+b=\frac{14c}{6}$
将其代入$\frac{2a+b}{3c}$得：
$\frac{2a+b}{3c}=\frac{\frac{14c}{6}}{3c}=\frac{7}{9}$
(2) 由$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}≠0$，根据等比性质得：
$\frac{a+b+c}{5+4+6}=\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}$
已知$△ ABC$周长为90，即$a+b+c=90$，代入得：
$\frac{90}{15}=6=\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}$
解得：$a=5×6=30$，$b=4×6=24$，$c=6×6=36$
【答案】
(1) $\frac{7}{9}$；(2) $a=30$，$b=24$，$c=36$
【知识点】
比例的等比性质，代数式求值，三角形周长计算
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题核心是掌握连比类问题的处理方法，无论是用等比性质直接推导还是设参数代入计算，都能快速得到结果，是巩固比例性质的典型习题。
【难度系数】
0.8

13 已知△ABC和△DEF中，有$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=\frac{2}{3}$，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长。
刷易错 →………………小心有坑~

13.【解】设△ABC和△DEF的周长分别是x厘米和y厘米. $\because \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AB+BC+CA}{DE+EF+FD}=\frac{x}{y}=\frac{2}{3},$① 由题意可得$y-x=15,$② 由①得$x=\frac{2}{3}y.$③
将③代入②,得$y-\frac{2}{3}y=15,\therefore y=45.$ 将$y=45$代入②,得$x=30.$ 故△ABC和△DEF的周长分别是30厘米和45厘米.

【分析】
解题时首先观察已知条件：两个三角形三组对应边的比均为$\frac{2}{3}$，根据比例的等比性质，可直接得到两个三角形的周长比等于对应边的比，即△ABC与△DEF的周长比为2:3；再结合题目给出的“△DEF和△ABC的周长之差为15厘米”的条件，通过设未知数列方程即可求解，注意周长差是△DEF的周长减去△ABC的周长，不要搞反二者的大小顺序。
【解析】
设△ABC和△DEF的周长分别是$x$厘米和$y$厘米。
$\because \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=\frac{2}{3}$，根据等比性质可得：
$\frac{AB+BC+CA}{DE+EF+FD}=\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$ ①
由题意可得$y-x=15$ ②
由①得$x=\frac{2}{3}y$ ③
将③代入②，得$y-\frac{2}{3}y=15$，解得$y=45$。
将$y=45$代入②，得$x=30$。
【答案】
△ABC的周长为30厘米，△DEF的周长为45厘米。
【知识点】
等比性质；周长比与相似比的关系；列方程求解
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是利用等比性质将边的比值转化为周长的比值，再结合周长差的条件建立方程求解，易错点是容易混淆两个三角形周长的大小关系，列方程时写错差的顺序导致结果错误。
【难度系数】
0.7

14[2026河南郑州质检]若$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k$，则直线$y=kx+k$必经过（）

A.第一、二、三象限
B.第二、三象限
C.第二、三、四象限
D.以上均不正确

14.B 【解析】当$a+b+c=0$时,$a+b=-c,\therefore k=\frac{a+b}{c}=\frac{-c}{c}=-1,\therefore$ 直线$y=kx+k$变为$y=-x-1,$它经过第二、三、四象限;当$a+b+c≠0$时,$k=\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2,\therefore$ 直线$y=kx+k$变为$y=2x+2,$它经过第一、二、三象限. 综上所述,直线$y=kx+k$必经过第二、三象限. 故选B.

【分析】
解决本题首先要明确等比性质的适用条件：只有当所有分母的和不为0时才能使用等比性质，因此需要分两种情况讨论k的取值：①a+b+c=0的特殊情况；②a+b+c≠0的情况。求出k的所有可能值后，分别代入一次函数解析式，判断不同k值对应的直线经过的象限，最终找到两种情况中直线都经过的象限即为答案。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c=0$时，可得$a+b=-c$，代入$\frac{a+b}{c}=k$得：
$k=\frac{-c}{c}=-1$，此时直线解析式为$y=-x-1$。
根据一次函数性质，$k=-1＜0$，$b=-1＜0$，因此直线经过第二、三、四象限。
2. 当$a+b+c≠0$时，根据等比性质：
$k=\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$，此时直线解析式为$y=2x+2$。
根据一次函数性质，$k=2＞0$，$b=2＞0$，因此直线经过第一、二、三象限。
综合两种情况，直线$y=kx+k$两种情况都经过第二、三象限，因此必经过第二、三象限。
【答案】
B
【知识点】
等比性质；一次函数的图象与性质
【点评】
本题的易错点是忽略$a+b+c=0$的特殊情况，直接使用等比性质求出$k=2$导致错解。解题时要注意性质的适用前提，结合分类讨论思想分析，同时熟练掌握一次函数的图象与系数的关系即可解题。
【难度系数】
0.6