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1 若$△ ABC ∽ △ DEF$，$BC=6$，$EF=4$，则$\frac{AC}{DF}=$（
A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$
D
）A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
1.D 【解析】
∵ △ABC ∽ △DEF,
∴ $\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$.
∵ $BC=6,EF=4,\therefore \frac{AC}{DF}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. 故选 D.
∵ △ABC ∽ △DEF,
∴ $\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$.
∵ $BC=6,EF=4,\therefore \frac{AC}{DF}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. 故选 D.
解析
【分析】
解题的核心是利用相似三角形的对应边成比例的性质。首先根据相似三角形的顶点对应关系确定对应边：△ABC∽△DEF，说明A对应D、B对应E、C对应F，因此BC与EF是对应边，AC与DF是对应边，二者的比值相等，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
∵ △ABC ∽ △DEF，
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，
又
∵ $BC=6$，$EF=4$，
∴ $\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形性质的直接应用，解题关键是准确识别相似三角形的对应边，熟记相关性质即可快速求解，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用相似三角形的对应边成比例的性质。首先根据相似三角形的顶点对应关系确定对应边：△ABC∽△DEF，说明A对应D、B对应E、C对应F，因此BC与EF是对应边，AC与DF是对应边，二者的比值相等，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
∵ △ABC ∽ △DEF，
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，
又
∵ $BC=6$，$EF=4$，
∴ $\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形性质的直接应用，解题关键是准确识别相似三角形的对应边，熟记相关性质即可快速求解，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
2[2025北京通州区质检]如图，$△ ABC ∽ △ AED$，$∠ ADE=80°$，$∠ A=60°$，则$∠ C=$（
A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$
（第2题图）
（第3题图）
C
）A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$
（第2题图）（第3题图）
答案
2.C 【解析】
∵ $△ ABC ∽ △ AED, \therefore ∠ C = ∠ ADE = 80°$. 故选 C.
∵ $△ ABC ∽ △ AED, \therefore ∠ C = ∠ ADE = 80°$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等。首先根据相似三角形的书写顺序确定对应顶点，△ABC∽△AED的对应关系为A对应A、B对应E、C对应D，因此∠C的对应角是∠ADE，已知∠ADE的度数，直接利用对应角相等即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ △ABC ∽ △AED，根据相似三角形对应角相等的性质，可得∠C与∠ADE是对应角，
∴ ∠C = ∠ADE，
又
∵ ∠ADE=80°，
∴ ∠C=80°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形对应角相等的应用，解题的关键是根据相似三角形的书写规范准确找到对应角，不需要复杂计算，掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等。首先根据相似三角形的书写顺序确定对应顶点，△ABC∽△AED的对应关系为A对应A、B对应E、C对应D，因此∠C的对应角是∠ADE，已知∠ADE的度数，直接利用对应角相等即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ △ABC ∽ △AED，根据相似三角形对应角相等的性质，可得∠C与∠ADE是对应角，
∴ ∠C = ∠ADE，
又
∵ ∠ADE=80°，
∴ ∠C=80°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形对应角相等的应用，解题的关键是根据相似三角形的书写规范准确找到对应角，不需要复杂计算，掌握相关性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3 [2025 山东济南期末]如图，已知$△ ABC ∽ △ ADB$，点D是AC的中点，$CD=2$，则AB的长为
$2\sqrt{2}$
。答案
3.$2\sqrt{2}$ 【解析】
∵ 点 D 是 AC 的中点,CD=2,
∴ AD=CD = 2, AC = 4.
∵ $△ ABC ∽ △ ADB, \therefore \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB}$,
$\therefore AB^2=AD · AC=2 × 4=8$. $\because AB＞0,\therefore AB=2\sqrt{2}$. 故答案为 $2\sqrt{2}$.
∵ 点 D 是 AC 的中点,CD=2,
∴ AD=CD = 2, AC = 4.
∵ $△ ABC ∽ △ ADB, \therefore \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB}$,
$\therefore AB^2=AD · AC=2 × 4=8$. $\because AB＞0,\therefore AB=2\sqrt{2}$. 故答案为 $2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时首先根据线段中点的性质，结合已知CD=2、D是AC中点，先求出AD和AC的长度；再结合已知△ABC∽△ADB，利用相似三角形对应边成比例的性质，找到对应边的比例关系，以AB为未知量建立等式，最后结合线段长度为正，开方求出AB的长度即可。
【解析】
∵ 点D是AC的中点，CD=2，
∴ AD=CD=2，AC=2CD=4。
∵ △ABC∽△ADB，
∴ 对应边成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，
∴ $AB^2=AD·AC=2×4=8$，
又
∵ AB为线段长度，AB＞0，
∴ $AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
1.相似三角形的性质 2.线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是准确识别相似三角形的对应边，通过比例式构建方程求解，属于相似三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据线段中点的性质，结合已知CD=2、D是AC中点，先求出AD和AC的长度；再结合已知△ABC∽△ADB，利用相似三角形对应边成比例的性质，找到对应边的比例关系，以AB为未知量建立等式，最后结合线段长度为正，开方求出AB的长度即可。
【解析】
∵ 点D是AC的中点，CD=2，
∴ AD=CD=2，AC=2CD=4。
∵ △ABC∽△ADB，
∴ 对应边成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，
∴ $AB^2=AD·AC=2×4=8$，
又
∵ AB为线段长度，AB＞0，
∴ $AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
1.相似三角形的性质 2.线段中点的定义
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是准确识别相似三角形的对应边，通过比例式构建方程求解，属于相似三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
4[2025上海虹口区质检]在下列四个图形中，已知$∠ 1=∠ 2$，则四个图形中不一定有相似三角形的是（
D
）答案
4.D 【解析】
故选 D.
解析
【分析】
要判断哪个图形不一定有相似三角形，需结合已知∠1=∠2，利用相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）逐一分析选项：首先找每个图形中除了∠1=∠2外的等角条件（公共角、对顶角都是常见的隐含等角），如果能找到第二组相等的角，即可判定相似，若找不到则无法判定相似。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：已知∠1=∠2，且∠A是两个三角形的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ABC∽△ADE，存在相似三角形，不符合题意；
选项B：已知∠1=∠2，且∠A是两个三角形的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ABC∽△ADE，存在相似三角形，不符合题意；
选项C：已知∠1=∠2，且∠AOB与∠COD是对顶角，故∠AOB=∠COD，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△AOB∽△COD，存在相似三角形，不符合题意；
选项D：仅已知∠1=∠2，没有第二组相等的角，也没有对应边成比例的条件，无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
4.D
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质、公共角的特征
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是挖掘图形中公共角、对顶角这类隐含的等角条件，结合已知等角判断是否满足相似判定要求，需注意只有一组角相等不能判定两个三角形相似。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图形不一定有相似三角形，需结合已知∠1=∠2，利用相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）逐一分析选项：首先找每个图形中除了∠1=∠2外的等角条件（公共角、对顶角都是常见的隐含等角），如果能找到第二组相等的角，即可判定相似，若找不到则无法判定相似。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：已知∠1=∠2，且∠A是两个三角形的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ABC∽△ADE，存在相似三角形，不符合题意；
选项B：已知∠1=∠2，且∠A是两个三角形的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ABC∽△ADE，存在相似三角形，不符合题意；
选项C：已知∠1=∠2，且∠AOB与∠COD是对顶角，故∠AOB=∠COD，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△AOB∽△COD，存在相似三角形，不符合题意；
选项D：仅已知∠1=∠2，没有第二组相等的角，也没有对应边成比例的条件，无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
4.D
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质、公共角的特征
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是挖掘图形中公共角、对顶角这类隐含的等角条件，结合已知等角判断是否满足相似判定要求，需注意只有一组角相等不能判定两个三角形相似。
【难度系数】
0.7
5[2026 陕西榆林期中]如图，在锐角$△ ABC$中，$BE$，$CD$分别是边$AC$，$AB$上的高，它们相交于点$O$，则图中与$△ BOD$相似的三角形（不含$△ BOD$）有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5.C 【解析】
∵ $∠ BDO = 90°, ∠ BEA = 90°,∴ ∠ BDO = ∠ BEA$. 又
∵ $∠ DBO = ∠ EBA, \therefore △ BOD ∽ △ BAE$.
∵ $∠ BDO = 90°, ∠ CEO = 90°, ∴ ∠ BDO = ∠ CEO$. 又
∵ $∠ BOD = ∠ COE,∴ △ BOD ∽ △ COE$.
∵ $∠ BDO = 90°,∠ CDA = 90°,∴ ∠ BDO = ∠ CDA$. 又
∵ $∠ BOD = ∠ COE, ∠ BDO = ∠ CEO = 90°,∴ ∠ DBO = ∠ ECO, \therefore △ BOD∽△CAD$.
∴ 题图中与$△ BOD$ 相似的三角形(不含$△ BOD$)有3个. 故选 C.
∵ $∠ BDO = 90°, ∠ BEA = 90°,∴ ∠ BDO = ∠ BEA$. 又
∵ $∠ DBO = ∠ EBA, \therefore △ BOD ∽ △ BAE$.
∵ $∠ BDO = 90°, ∠ CEO = 90°, ∴ ∠ BDO = ∠ CEO$. 又
∵ $∠ BOD = ∠ COE,∴ △ BOD ∽ △ COE$.
∵ $∠ BDO = 90°,∠ CDA = 90°,∴ ∠ BDO = ∠ CDA$. 又
∵ $∠ BOD = ∠ COE, ∠ BDO = ∠ CEO = 90°,∴ ∠ DBO = ∠ ECO, \therefore △ BOD∽△CAD$.
∴ 题图中与$△ BOD$ 相似的三角形(不含$△ BOD$)有3个. 故选 C.
解析
【分析】
要找出与△BOD相似的三角形，首先明确△BOD是直角三角形（CD是AB边上的高，故∠BDO=90°），根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，我们只需寻找其他满足“有一个直角，且另一个锐角与△BOD的锐角相等”的三角形即可，依次通过公共角、对顶角、同角的余角相等的性质找等角，逐一验证即可。
【解析】
∵ BE、CD分别是AC、AB边上的高，
∴ ∠BDO=∠CDA=∠BEA=∠CEO=90°。
1. 证明△BOD∽△BAE：
∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA（公共角），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BOD∽△BAE。
2. 证明△BOD∽△COE：
∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE（对顶角相等），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BOD∽△COE。
3. 证明△BOD∽△CAD：
∵ ∠DBO+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴ ∠DBO=∠ACD（同角的余角相等），
又∠BDO=∠CDA=90°，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BOD∽△CAD。
综上，不含△BOD自身，与它相似的三角形共有3个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础计数题，解题关键是熟练掌握两角对应相等的相似判定定理，结合图形中的角的关系（公共角、对顶角、同角的余角相等）找对应等角，计数时注意避免漏算或多算。
【难度系数】
0.7
要找出与△BOD相似的三角形，首先明确△BOD是直角三角形（CD是AB边上的高，故∠BDO=90°），根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，我们只需寻找其他满足“有一个直角，且另一个锐角与△BOD的锐角相等”的三角形即可，依次通过公共角、对顶角、同角的余角相等的性质找等角，逐一验证即可。
【解析】
∵ BE、CD分别是AC、AB边上的高，
∴ ∠BDO=∠CDA=∠BEA=∠CEO=90°。
1. 证明△BOD∽△BAE：
∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA（公共角），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BOD∽△BAE。
2. 证明△BOD∽△COE：
∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE（对顶角相等），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BOD∽△COE。
3. 证明△BOD∽△CAD：
∵ ∠DBO+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴ ∠DBO=∠ACD（同角的余角相等），
又∠BDO=∠CDA=90°，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△BOD∽△CAD。
综上，不含△BOD自身，与它相似的三角形共有3个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础计数题，解题关键是熟练掌握两角对应相等的相似判定定理，结合图形中的角的关系（公共角、对顶角、同角的余角相等）找对应等角，计数时注意避免漏算或多算。
【难度系数】
0.7
6[2026湖南长沙质检]如图,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,EF⊥BE交CD于点F.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若AB=4,CF=3FD,求DE的长.
刷易错……小心有坑~
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若AB=4,CF=3FD,求DE的长.
刷易错……小心有坑~
答案
6.(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 为正方形, $\therefore ∠ A=∠ D=90°$.
∵ $EF⊥BE$ 交 CD 于点 F,$\therefore ∠ BEF=90°,∴ ∠ AEB=∠ DFE=90°-∠ DEF,∴ △ ABE∽△ DEF$.
(2)【解】
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AB = AD = CD=4$.
∵ $CF=3FD,CF+FD=CD,∴ 3FD+FD=4,∴ FD=1$.
∵ $△ ABE ∽ △ DEF, \therefore \frac{EA}{FD} = \frac{AB}{DE}, \therefore \frac{4-DE}{1} = \frac{4}{DE}$,
$\therefore DE=2$,即 DE 的长是 2.
∵ 四边形 ABCD 为正方形, $\therefore ∠ A=∠ D=90°$.
∵ $EF⊥BE$ 交 CD 于点 F,$\therefore ∠ BEF=90°,∴ ∠ AEB=∠ DFE=90°-∠ DEF,∴ △ ABE∽△ DEF$.
(2)【解】
∵ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AB = AD = CD=4$.
∵ $CF=3FD,CF+FD=CD,∴ 3FD+FD=4,∴ FD=1$.
∵ $△ ABE ∽ △ DEF, \therefore \frac{EA}{FD} = \frac{AB}{DE}, \therefore \frac{4-DE}{1} = \frac{4}{DE}$,
$\therefore DE=2$,即 DE 的长是 2.
解析
【分析】
（1）要证明△ABE∽△DEF，首先根据正方形的性质可得到两个直角∠A=∠D=90°，再结合EF⊥BE的条件，可推出∠AEB和∠DFE都是∠DEF的余角，即两角相等，根据两角分别相等的两个三角形相似即可完成证明。
（2）先利用正方形的边长关系和CF=3FD的条件求出FD的长度，再借助（1）中得到的相似三角形对应边成比例的性质，设DE为未知数列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $∠ A=∠ D=90°$，
∴ $∠ ABE+∠ AEB=90°$。
∵ $EF⊥ BE$交CD于点F，
∴ $∠ BEF=90°$，
∴ $∠ AEB+∠ DEF=90°$，
∴ $∠ ABE=∠ DEF$。
又
∵ $∠ A=∠ D=90°$，
∴ $△ ABE∽△ DEF$。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，$AB=4$，
∴ $AB = AD = CD=4$。
∵ $CF=3FD$，$CF+FD=CD=4$，
∴ $3FD+FD=4$，解得$FD=1$。
设$DE=x$，则$AE=AD-DE=4-x$，
由$△ ABE ∽ △ DEF$，得对应边成比例：$\frac{AE}{FD} = \frac{AB}{DE}$，
代入数值得$\frac{4-x}{1} = \frac{4}{x}$，
整理得$x^2-4x+4=0$，解得$x=2$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $DE$的长是$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是利用同角的余角相等推导等角证明相似，再结合相似性质列方程求解，能够帮助学生掌握相似三角形的基础应用方法，熟悉几何题中方程思想的使用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABE∽△DEF，首先根据正方形的性质可得到两个直角∠A=∠D=90°，再结合EF⊥BE的条件，可推出∠AEB和∠DFE都是∠DEF的余角，即两角相等，根据两角分别相等的两个三角形相似即可完成证明。
（2）先利用正方形的边长关系和CF=3FD的条件求出FD的长度，再借助（1）中得到的相似三角形对应边成比例的性质，设DE为未知数列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $∠ A=∠ D=90°$，
∴ $∠ ABE+∠ AEB=90°$。
∵ $EF⊥ BE$交CD于点F，
∴ $∠ BEF=90°$，
∴ $∠ AEB+∠ DEF=90°$，
∴ $∠ ABE=∠ DEF$。
又
∵ $∠ A=∠ D=90°$，
∴ $△ ABE∽△ DEF$。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，$AB=4$，
∴ $AB = AD = CD=4$。
∵ $CF=3FD$，$CF+FD=CD=4$，
∴ $3FD+FD=4$，解得$FD=1$。
设$DE=x$，则$AE=AD-DE=4-x$，
由$△ ABE ∽ △ DEF$，得对应边成比例：$\frac{AE}{FD} = \frac{AB}{DE}$，
代入数值得$\frac{4-x}{1} = \frac{4}{x}$，
整理得$x^2-4x+4=0$，解得$x=2$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $DE$的长是$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是利用同角的余角相等推导等角证明相似，再结合相似性质列方程求解，能够帮助学生掌握相似三角形的基础应用方法，熟悉几何题中方程思想的使用。
【难度系数】
0.7
7 在$△ ABC$中，$AB=6$，$BC=5$，$AC=4$，$D$是线段$AB$上一点，且$DB=4$，过点$D$作$DE$与线段$AC$相交于点$E$，使以$A$，$D$，$E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，求$DE$的长。请根据下列两位同学的对话回答问题：
A:如图，过点$D$作$DE// BC$，交$AC$于点$E$，则$△ ADE∽△ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{DB}$，$\therefore DE = \frac{AD}{DB} · BC = \frac{AB - DB}{DB} · BC = \frac{5}{2}$。
B:这个解答中有两个错误，其中一个是比例式写错了！
(1)写出正确的比例式及后续解答；
(2)指出另一个错误，并给予正确解答。
A:如图，过点$D$作$DE// BC$，交$AC$于点$E$，则$△ ADE∽△ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{DB}$，$\therefore DE = \frac{AD}{DB} · BC = \frac{AB - DB}{DB} · BC = \frac{5}{2}$。
B:这个解答中有两个错误，其中一个是比例式写错了！
(1)写出正确的比例式及后续解答；
(2)指出另一个错误，并给予正确解答。
答案
7.【解】(1)正确的比例式为$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$,
$\therefore DE = \frac{AD}{AB} · BC = \frac{AB-DB}{AB} · BC = \frac{5}{3}$.
(2)另一个错误为没有进行分类讨论. 如图,过点 D 作$∠ ADE = ∠ ACB$,则$△ ADE∽△ ACB$,
$\therefore \frac{DE}{CB} = \frac{AD}{AC},∴ DE=\frac{5}{2}$.
综上,$DE$ 的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$.
易错警示
题中未明确相似三角形的对应关系,要进行分类讨论,避免漏解.
关键点拨
正确进行分类讨论,准确画出相应图形是解题的关键.
解析
【分析】
本题围绕相似三角形的判定和性质展开：(1)当$DE// BC$时，$△ ADE$和$△ ABC$的对应边为AD对应AB、DE对应BC，因此A同学所列比例式的分母错误，更换正确的对应边后代入边长计算即可；(2)题目仅说明以A、D、E为顶点的三角形与$△ ABC$相似，未明确对应顶点关系，除了$DE// BC$的相似情况外，还存在$∠ ADE=∠ ACB$的相似情况，需要分类讨论，再根据对应边比例计算第二种情况的DE长度即可。
【解析】
(1) 先计算AD的长度：已知$AB=6$，$DB=4$，因此$AD=AB-DB=6-4=2$。
当$DE// BC$时，$△ ADE∽△ ABC$，根据相似三角形对应边成比例，正确比例式为$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
代入数值计算：$DE=\frac{AD}{AB}·BC=\frac{2}{6}×5=\frac{5}{3}$。
(2) 另一个错误是未对相似三角形的对应关系进行分类讨论：
当$∠ ADE=∠ ACB$时，$∠ A$是两个三角形的公共角，因此$△ ADE∽△ ACB$。
根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$，代入$AD=2$，$AC=4$，$CB=5$，得$DE=\frac{AD}{AC}·CB=\frac{2}{4}×5=\frac{5}{2}$。
综上，DE的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)正确的比例式为$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$,
$\therefore DE = \frac{AD}{AB} · BC = \frac{AB-DB}{AB} · BC = \frac{5}{3}$.
(2)另一个错误为没有进行分类讨论. 如图,过点 D 作$∠ ADE = ∠ ACB$,则$△ ADE∽△ ACB$,
$\therefore \frac{DE}{CB} = \frac{AD}{AC},∴ DE=\frac{5}{2}$.
综上,$DE$ 的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$.
【知识点】
相似三角形性质、相似三角形判定、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点有两个，一是写错相似三角形的对应边比例，二是忽略相似对应关系不唯一导致漏解。解题时要先明确相似三角形的对应边，当题目未给出明确对应关系时需分类讨论，结合图形准确列比例式计算。
【难度系数】
0.7
本题围绕相似三角形的判定和性质展开：(1)当$DE// BC$时，$△ ADE$和$△ ABC$的对应边为AD对应AB、DE对应BC，因此A同学所列比例式的分母错误，更换正确的对应边后代入边长计算即可；(2)题目仅说明以A、D、E为顶点的三角形与$△ ABC$相似，未明确对应顶点关系，除了$DE// BC$的相似情况外，还存在$∠ ADE=∠ ACB$的相似情况，需要分类讨论，再根据对应边比例计算第二种情况的DE长度即可。
【解析】
(1) 先计算AD的长度：已知$AB=6$，$DB=4$，因此$AD=AB-DB=6-4=2$。
当$DE// BC$时，$△ ADE∽△ ABC$，根据相似三角形对应边成比例，正确比例式为$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
代入数值计算：$DE=\frac{AD}{AB}·BC=\frac{2}{6}×5=\frac{5}{3}$。
(2) 另一个错误是未对相似三角形的对应关系进行分类讨论：
当$∠ ADE=∠ ACB$时，$∠ A$是两个三角形的公共角，因此$△ ADE∽△ ACB$。
根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{DE}{CB}=\frac{AD}{AC}$，代入$AD=2$，$AC=4$，$CB=5$，得$DE=\frac{AD}{AC}·CB=\frac{2}{4}×5=\frac{5}{2}$。
综上，DE的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1)正确的比例式为$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$,
$\therefore DE = \frac{AD}{AB} · BC = \frac{AB-DB}{AB} · BC = \frac{5}{3}$.
(2)另一个错误为没有进行分类讨论. 如图,过点 D 作$∠ ADE = ∠ ACB$,则$△ ADE∽△ ACB$,
$\therefore \frac{DE}{CB} = \frac{AD}{AC},∴ DE=\frac{5}{2}$.
综上,$DE$ 的长为$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$.
【知识点】
相似三角形性质、相似三角形判定、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点有两个，一是写错相似三角形的对应边比例，二是忽略相似对应关系不唯一导致漏解。解题时要先明确相似三角形的对应边，当题目未给出明确对应关系时需分类讨论，结合图形准确列比例式计算。
【难度系数】
0.7
