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1[2025吉林长春质检,中]在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,用直尺和圆规在AB上确定一点D,使$△ ACD ∽ △ CBD$,根据作图痕迹判断,正确的是 (
C
)答案
1.C 【解析】当 CD 是 AB 的垂线时,$△ ACD ∽ △ CBD$.
∵ $CD ⊥ AB, \therefore ∠ CDA = ∠ BDC = 90°$.
∵ $∠ ACB=90°,∴ ∠ A+∠ ACD = ∠ ACD+∠ BCD =90°,∴ ∠ A = ∠ BCD,∴ △ ACD∽△ CBD$. 根据作图痕迹可知,C 选项中,CD 是 AB 的垂线,符合题意. 故选 C.
∵ $CD ⊥ AB, \therefore ∠ CDA = ∠ BDC = 90°$.
∵ $∠ ACB=90°,∴ ∠ A+∠ ACD = ∠ ACD+∠ BCD =90°,∴ ∠ A = ∠ BCD,∴ △ ACD∽△ CBD$. 根据作图痕迹可知,C 选项中,CD 是 AB 的垂线,符合题意. 故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先结合已知条件推导使$△ ACD ∽ △ CBD$时，$CD$需要满足的性质。已知$△ ABC$中$∠ ACB=90°$，根据相似三角形的判定（两角对应相等，两三角形相似），若$CD ⊥ AB$，则$∠ CDA=∠ CDB=90°$，且$∠ A$和$∠ BCD$都与$∠ ACD$互余，可得$∠ A=∠ BCD$，即可满足$△ ACD ∽ △ CBD$，所以我们需要找的$CD$是$AB$边上的垂线。第二步，识别四个选项的尺规作图痕迹，判断哪个作图得到的$CD$是$AB$的垂线即可。
【解析】
要使$△ ACD ∽ △ CBD$，推导如下：
若$CD ⊥ AB$，则$∠ CDA=∠ BDC=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ ACD=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ BCD$，
又$\because ∠ CDA=∠ BDC=90°$，
$\therefore △ ACD ∽ △ CBD$（两角对应相等，两三角形相似），即$CD$为$AB$的垂线时符合要求。
接下来分析各选项作图痕迹：
A选项：是作$∠ ACB$的角平分线，$CD$为角平分线，不是$AB$的垂线，不符合要求；
B选项：是作线段$BC$的垂直平分线，得到的$CD$不是$AB$的垂线，不符合要求；
C选项：是过点$C$作$AB$的垂线，$CD ⊥ AB$，符合要求；
D选项：是以$C$为圆心、$CB$长为半径画弧交$AB$于$D$，得$CD=CB$，不是$AB$的垂线，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，尺规作图识别，直角三角形的性质
【点评】
本题结合了尺规作图的识别与相似三角形的判定，解题时先根据相似的判定条件推导出目标线段的位置特征，再对应作图痕迹判断即可，侧重对基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先结合已知条件推导使$△ ACD ∽ △ CBD$时，$CD$需要满足的性质。已知$△ ABC$中$∠ ACB=90°$，根据相似三角形的判定（两角对应相等，两三角形相似），若$CD ⊥ AB$，则$∠ CDA=∠ CDB=90°$，且$∠ A$和$∠ BCD$都与$∠ ACD$互余，可得$∠ A=∠ BCD$，即可满足$△ ACD ∽ △ CBD$，所以我们需要找的$CD$是$AB$边上的垂线。第二步，识别四个选项的尺规作图痕迹，判断哪个作图得到的$CD$是$AB$的垂线即可。
【解析】
要使$△ ACD ∽ △ CBD$，推导如下：
若$CD ⊥ AB$，则$∠ CDA=∠ BDC=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ ACD=90°$，$∠ ACD+∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ BCD$，
又$\because ∠ CDA=∠ BDC=90°$，
$\therefore △ ACD ∽ △ CBD$（两角对应相等，两三角形相似），即$CD$为$AB$的垂线时符合要求。
接下来分析各选项作图痕迹：
A选项：是作$∠ ACB$的角平分线，$CD$为角平分线，不是$AB$的垂线，不符合要求；
B选项：是作线段$BC$的垂直平分线，得到的$CD$不是$AB$的垂线，不符合要求；
C选项：是过点$C$作$AB$的垂线，$CD ⊥ AB$，符合要求；
D选项：是以$C$为圆心、$CB$长为半径画弧交$AB$于$D$，得$CD=CB$，不是$AB$的垂线，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，尺规作图识别，直角三角形的性质
【点评】
本题结合了尺规作图的识别与相似三角形的判定，解题时先根据相似的判定条件推导出目标线段的位置特征，再对应作图痕迹判断即可，侧重对基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
2[中]有一题目:“如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠B=∠C=90°,AB=2,BC=7,CD=6.当△ABP与△PCD相似时,求BP的长.”嘉嘉的结果为BP=3或4.而淇淇说:“嘉嘉考虑不周全,BP还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是 (
A.淇淇说得对,且BP的另一个值是$\frac{7}{4}$
B.淇淇说得不对,BP就等于3或4
C.嘉嘉求的结果不对,BP应等于3或5
D.两人都不对,BP应有4个不同值
(第2题图)
(第3题图)
A
)A.淇淇说得对,且BP的另一个值是$\frac{7}{4}$
B.淇淇说得不对,BP就等于3或4
C.嘉嘉求的结果不对,BP应等于3或5
D.两人都不对,BP应有4个不同值
(第2题图)
(第3题图)
答案
2.A 【解析】设 $BP = x$, 则 $CP = 7-x$. 当$∠ APB = ∠ PDC$ 时,
∵ $∠ B = ∠ C = 90°,∴ △ APB∽△ PDC$,
$\therefore \frac{BP}{CD} = \frac{AB}{CP},∴ BP · CP = AB · CD = 2×6 = 12,∴ x(7-x)=12$,解得 $x=3$ 或 $x=4,∴ BP=3$ 或 4;当$∠ APB=∠ DPC$ 时,
∵ $∠ B = ∠ C = 90°,∴ △ APB ∽ △ DPC$,
$\therefore \frac{BP}{CP} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},∴ 3BP = CP,∴ 3x =7-x$,解得 $x=\frac{7}{4}$. 综上所述,$BP=3$ 或 4 或$\frac{7}{4}$,故选 A.
关键点拨
按相似三角形的对应边的不同情况进行分类讨论是解题的关键.
∵ $∠ B = ∠ C = 90°,∴ △ APB∽△ PDC$,
$\therefore \frac{BP}{CD} = \frac{AB}{CP},∴ BP · CP = AB · CD = 2×6 = 12,∴ x(7-x)=12$,解得 $x=3$ 或 $x=4,∴ BP=3$ 或 4;当$∠ APB=∠ DPC$ 时,
∵ $∠ B = ∠ C = 90°,∴ △ APB ∽ △ DPC$,
$\therefore \frac{BP}{CP} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},∴ 3BP = CP,∴ 3x =7-x$,解得 $x=\frac{7}{4}$. 综上所述,$BP=3$ 或 4 或$\frac{7}{4}$,故选 A.
关键点拨
按相似三角形的对应边的不同情况进行分类讨论是解题的关键.
解析
【分析】
本题考查相似三角形的分类讨论问题，已知△ABP和△PCD都是直角三角形，∠B和∠C均为直角，已经是一组对应相等的角，因此两个三角形相似时存在两种对应情况：①∠APB对应∠PDC，此时△APB∽△PDC；②∠APB对应∠DPC，此时△APB∽△DPC。我们可以设BP=x，用含x的式子表示CP，再根据两种相似情况分别列比例式求解即可。
【解析】
设$BP=x$，则$CP=BC-BP=7-x$，分两种情况讨论：
1. 当$∠APB=∠PDC$时：
∵$∠B=∠C=90°$，
∴$△ APB ∽ △ PDC$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{CP}$，
代入数值得$x(7-x)=2×6=12$，
整理得$x^2-7x+12=0$，
解得$x=3$或$x=4$，即$BP=3$或$4$；
2. 当$∠APB=∠DPC$时：
∵$∠B=∠C=90°$，
∴$△ APB ∽ △ DPC$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BP}{CP}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
即$3x=7-x$，
解得$x=\frac{7}{4}$。
综上，BP的长为3或4或$\frac{7}{4}$，因此淇淇说得对，BP的另一个值是$\frac{7}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形对应顶点不唯一的情况，仅考虑一种相似对应关系导致漏解。遇到两个直角三角形相似且未明确对应顶点的问题时，要分情况讨论除直角外的两组锐角的对应关系，分别计算验证结果。
【难度系数】
0.6
本题考查相似三角形的分类讨论问题，已知△ABP和△PCD都是直角三角形，∠B和∠C均为直角，已经是一组对应相等的角，因此两个三角形相似时存在两种对应情况：①∠APB对应∠PDC，此时△APB∽△PDC；②∠APB对应∠DPC，此时△APB∽△DPC。我们可以设BP=x，用含x的式子表示CP，再根据两种相似情况分别列比例式求解即可。
【解析】
设$BP=x$，则$CP=BC-BP=7-x$，分两种情况讨论：
1. 当$∠APB=∠PDC$时：
∵$∠B=∠C=90°$，
∴$△ APB ∽ △ PDC$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{CP}$，
代入数值得$x(7-x)=2×6=12$，
整理得$x^2-7x+12=0$，
解得$x=3$或$x=4$，即$BP=3$或$4$；
2. 当$∠APB=∠DPC$时：
∵$∠B=∠C=90°$，
∴$△ APB ∽ △ DPC$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BP}{CP}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
即$3x=7-x$，
解得$x=\frac{7}{4}$。
综上，BP的长为3或4或$\frac{7}{4}$，因此淇淇说得对，BP的另一个值是$\frac{7}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形对应顶点不唯一的情况，仅考虑一种相似对应关系导致漏解。遇到两个直角三角形相似且未明确对应顶点的问题时，要分情况讨论除直角外的两组锐角的对应关系，分别计算验证结果。
【难度系数】
0.6
3 [2026 黑龙江哈尔滨质检, 较难]如图, 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D,E在AB边上,且∠DCE=45°,若AD=3,BD=9,则△CDE的面积为 (
A.12
B.15
C.20
D.25
B
)A.12
B.15
C.20
D.25
答案
3.B 【解析】过 C 作 $CH⊥AB$ 于 H. 设 $HE = x$.
∵ $AC=BC,∠ ACB=90°,AD=3,BD=9,∴ ∠ A=45°,AB=AD+BD=12$,$△ ABC$ 为等腰直角三角形,
∴ H 为 AB 中点,$△ ACH$ 也为等腰直角三角形,
∴ $AH = CH =\frac{1}{2} AB=6,∴ AC = BC = 6\sqrt{2},∴ CE = \sqrt{CH^2+HE^2} =\sqrt{6^2+x^2}=\sqrt{x^2+36}$,$DH=AH-AD=6-3=3,∴ CD=\sqrt{CH^2+DH^2}=3\sqrt{5}$.
∵ $∠ A = ∠ DCE = 45°, ∠ AEC = ∠ CED,∴ △ ACE ∽ △ CDE, \therefore \frac{AC}{CD} = \frac{AE}{CE}$, 即 $\frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} = \frac{6+x}{\sqrt{x^2+36}}$,整理得 $x^2-20x+36=0$,解得 $x_1=2,x_2=18$(舍去),
∴ $DE=3+x=5,∴ S_{△CDE}=\frac{1}{2} DE · CH = \frac{1}{2} ×5×6=15$. 故选 B.
∵ $AC=BC,∠ ACB=90°,AD=3,BD=9,∴ ∠ A=45°,AB=AD+BD=12$,$△ ABC$ 为等腰直角三角形,
∴ H 为 AB 中点,$△ ACH$ 也为等腰直角三角形,
∴ $AH = CH =\frac{1}{2} AB=6,∴ AC = BC = 6\sqrt{2},∴ CE = \sqrt{CH^2+HE^2} =\sqrt{6^2+x^2}=\sqrt{x^2+36}$,$DH=AH-AD=6-3=3,∴ CD=\sqrt{CH^2+DH^2}=3\sqrt{5}$.
∵ $∠ A = ∠ DCE = 45°, ∠ AEC = ∠ CED,∴ △ ACE ∽ △ CDE, \therefore \frac{AC}{CD} = \frac{AE}{CE}$, 即 $\frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} = \frac{6+x}{\sqrt{x^2+36}}$,整理得 $x^2-20x+36=0$,解得 $x_1=2,x_2=18$(舍去),
∴ $DE=3+x=5,∴ S_{△CDE}=\frac{1}{2} DE · CH = \frac{1}{2} ×5×6=15$. 故选 B.
解析
【分析】
首先观察到△ABC是等腰直角三角形，已知AD、BD的长度可先求出AB总长，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半、且平分斜边的性质，作CH⊥AB，就能得到CH、AH、DH的长度。其次发现∠DCE和∠A都为45°，还有公共角∠AEC=∠CED，可判定两个三角形相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，设HE为未知数列方程求解，得到HE的长度后算出DE的长，最后用三角形面积公式即可求出△CDE的面积。
【解析】
过点C作$CH⊥ AB$于点H，设$HE=x$。
$\because AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$AD=3$，$BD=9$，
$\therefore AB=AD+BD=12$，$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ A=45°$。
$\because CH⊥ AB$，等腰直角三角形斜边上的高平分斜边，
$\therefore$ H为AB中点，$△ ACH$为等腰直角三角形，
$\therefore AH=CH=\frac{1}{2}AB=6$，$AC=BC=6\sqrt{2}$。
$\therefore CE=\sqrt{CH^2+HE^2}=\sqrt{6^2+x^2}=\sqrt{x^2+36}$，
$DH=AH-AD=6-3=3$，$\therefore CD=\sqrt{CH^2+DH^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。
$\because ∠ A=∠ DCE=45°$，$∠ AEC=∠ CED$，
$\therefore △ ACE ∽ △ CDE$（两角对应相等，两三角形相似），
$\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{AE}{CE}$，代入得$\frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{6+x}{\sqrt{x^2+36}}$，
化简得$x^2-20x+36=0$，解得$x_1=2$，$x_2=18$（$HE＜BH=6$，舍去）。
$\therefore DE=DH+HE=3+2=5$，
$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× DE× CH=\frac{1}{2}×5×6=15$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过作高挖掘等腰直角三角形的隐含性质，再借助角度关系找到相似三角形，结合方程思想求解未知线段，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
首先观察到△ABC是等腰直角三角形，已知AD、BD的长度可先求出AB总长，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半、且平分斜边的性质，作CH⊥AB，就能得到CH、AH、DH的长度。其次发现∠DCE和∠A都为45°，还有公共角∠AEC=∠CED，可判定两个三角形相似，结合相似三角形对应边成比例的性质，设HE为未知数列方程求解，得到HE的长度后算出DE的长，最后用三角形面积公式即可求出△CDE的面积。
【解析】
过点C作$CH⊥ AB$于点H，设$HE=x$。
$\because AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$AD=3$，$BD=9$，
$\therefore AB=AD+BD=12$，$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ A=45°$。
$\because CH⊥ AB$，等腰直角三角形斜边上的高平分斜边，
$\therefore$ H为AB中点，$△ ACH$为等腰直角三角形，
$\therefore AH=CH=\frac{1}{2}AB=6$，$AC=BC=6\sqrt{2}$。
$\therefore CE=\sqrt{CH^2+HE^2}=\sqrt{6^2+x^2}=\sqrt{x^2+36}$，
$DH=AH-AD=6-3=3$，$\therefore CD=\sqrt{CH^2+DH^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$。
$\because ∠ A=∠ DCE=45°$，$∠ AEC=∠ CED$，
$\therefore △ ACE ∽ △ CDE$（两角对应相等，两三角形相似），
$\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{AE}{CE}$，代入得$\frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{6+x}{\sqrt{x^2+36}}$，
化简得$x^2-20x+36=0$，解得$x_1=2$，$x_2=18$（$HE＜BH=6$，舍去）。
$\therefore DE=DH+HE=3+2=5$，
$\therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× DE× CH=\frac{1}{2}×5×6=15$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过作高挖掘等腰直角三角形的隐含性质，再借助角度关系找到相似三角形，结合方程思想求解未知线段，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
4[2026重庆万州区质检，中]如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=8，AB=6，连接AC，D为AC的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为
$(0,3)$或$(0,-\frac{7}{3})$
。答案
4.$(0,3)$或$(0,-\frac{7}{3})$ 【解析】
∵ 四边形 OABC 为矩形,$OA=8,AB=6,∴ AB=CO=6,BC=OA=8,∠ B=90°,∴ AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10$.
∵ D 为 AC 的中点, $\therefore CD=\frac{1}{2} AC=5$. 如图(1),当$∠ DPC=90°$时,$∠ DPC=∠ B$.
∵ 四边形 OABC 为矩形,$∴ ∠ BCO=90°,∴ PD//BC,∴ ∠ PDC=∠ BCA,∴ △ DPC∽△ CBA,∴ \frac{CP}{AB} = \frac{CD}{AC},∴ \frac{CP}{6} =\frac{5}{10}=\frac{1}{2},∴ CP=3,∴ OP=OC-CP=3,∴ P(0,3)$.
如图(2),当$∠ PDC=90°$时,$∠ PDC = ∠ B$.
∵ $∠ DCP=90°-∠ ACB=∠ BAC,∴ △ DCP∽△ BAC$,
$\therefore \frac{CD}{AB} = \frac{CP}{AC}$,即 $\frac{5}{6} = \frac{CP}{10},∴ CP=\frac{25}{3},∴ OP=CP-CO=\frac{7}{3},∴ P(0,-\frac{7}{3})$,故答案为$(0,3)$或$(0,-\frac{7}{3})$.
解析
【分析】
本题是矩形与相似三角形结合的动点问题，解题思路如下：①先利用矩形的性质得到各边长度，用勾股定理求出对角线AC的长，再结合D是AC中点得到CD的长度；②由于△ABC是直角三角形，因此以P、C、D为顶点的三角形也为直角三角形，需分两种情况讨论：直角顶点为P、直角顶点为D，不要漏解；③每种情况先证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出CP的长度，最后结合P在y轴上的位置确定P点坐标。
【解析】
∵ 四边形OABC为矩形，OA=8，AB=6，
∴ AB=CO=6，BC=OA=8，∠B=90°，
由勾股定理得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵ D为AC的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=5$。
如图(1)，当∠DPC=90°时，∠DPC=∠B=90°，
∵ 四边形OABC为矩形，
∴ ∠BCO=90°，即PD⊥y轴，BC⊥y轴，
∴ PD//BC，
∴ ∠PDC=∠BCA，
∴ △DPC∽△CBA，
∴ $\frac{CP}{AB}=\frac{CD}{AC}$，即 $\frac{CP}{6}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
解得 CP=3，
∴ OP=OC-CP=6-3=3，
∴ P点坐标为(0,3)。
如图(2)，当∠PDC=90°时，∠PDC=∠B=90°，
∵ ∠DCP=90°-∠ACB=∠BAC，
∴ △DCP∽△BAC，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{CP}{AC}$，即 $\frac{5}{6}=\frac{CP}{10}$，
解得 $CP=\frac{25}{3}$，
∴ $OP=CP-OC=\frac{25}{3}-6=\frac{7}{3}$，此时P在y轴负半轴，
∴ P点坐标为$(0,-\frac{7}{3})$。
【答案】
$(0,3)$或$(0,-\frac{7}{3})$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意相似三角形对应角、对应边的对应关系，避免因漏解或对应关系错误失分。
【难度系数】
0.6
本题是矩形与相似三角形结合的动点问题，解题思路如下：①先利用矩形的性质得到各边长度，用勾股定理求出对角线AC的长，再结合D是AC中点得到CD的长度；②由于△ABC是直角三角形，因此以P、C、D为顶点的三角形也为直角三角形，需分两种情况讨论：直角顶点为P、直角顶点为D，不要漏解；③每种情况先证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出CP的长度，最后结合P在y轴上的位置确定P点坐标。
【解析】
∵ 四边形OABC为矩形，OA=8，AB=6，
∴ AB=CO=6，BC=OA=8，∠B=90°，
由勾股定理得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵ D为AC的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=5$。
如图(1)，当∠DPC=90°时，∠DPC=∠B=90°，
∵ 四边形OABC为矩形，
∴ ∠BCO=90°，即PD⊥y轴，BC⊥y轴，
∴ PD//BC，
∴ ∠PDC=∠BCA，
∴ △DPC∽△CBA，
∴ $\frac{CP}{AB}=\frac{CD}{AC}$，即 $\frac{CP}{6}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，
解得 CP=3，
∴ OP=OC-CP=6-3=3，
∴ P点坐标为(0,3)。
如图(2)，当∠PDC=90°时，∠PDC=∠B=90°，
∵ ∠DCP=90°-∠ACB=∠BAC，
∴ △DCP∽△BAC，
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{CP}{AC}$，即 $\frac{5}{6}=\frac{CP}{10}$，
解得 $CP=\frac{25}{3}$，
∴ $OP=CP-OC=\frac{25}{3}-6=\frac{7}{3}$，此时P在y轴负半轴，
∴ P点坐标为$(0,-\frac{7}{3})$。
【答案】
$(0,3)$或$(0,-\frac{7}{3})$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意相似三角形对应角、对应边的对应关系，避免因漏解或对应关系错误失分。
【难度系数】
0.6
5[较难]如图,在三角形纸板ABC中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是
$3≤AP＜4$
.答案
5.$3≤AP＜4$ 【解析】如图(1)所示,过 P 作 $PD//AB$ 交 BC 于 D, $PE//BC$ 交 AB 于 E,则易知$△ PCD∽△ ACB,△ APE∽△ ACB$,此时 $0＜AP＜4$.
如图(2)所示,过 P 作$∠ APF = ∠ B$ 交 AB 于 F,则$△ APF∽△ ABC$,此时 $0＜AP≤4$.
如图(3)所示,过 P 作$∠ CPG = ∠ CBA$ 交 BC 于 G,则$△ CPG∽△ CBA$,此时 $3≤AP＜4$.
综上所述,要有4种不同的剪法,则 AP 长的取值范围是 $3≤AP＜4$.
解析
【分析】
要解决本题，需先梳理出所有能剪出与△ABC相似的小三角形的剪法，再分别确定每种剪法对应的AP取值范围，最终找到能同时满足4种剪法都成立的AP范围。首先根据相似三角形的判定，平行于三角形一边的截线可得到2种剪法；再利用两角对应相等判定相似，又能得到2种剪法，其中第四种剪法存在交点落在顶点B的临界情况，需要通过相似三角形边的比例关系计算临界AP的值，综合所有情况即可得到最终范围。
【解析】
分情况讨论所有剪法：
1. 如图(1)，过P作$PD// AB$交BC于D，根据平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所得三角形与原三角形相似，可得$△ PCD ∽ △ ACB$，只要P不与A、C重合该剪法就成立，对应$0＜AP＜4$；
过P作$PE// BC$交AB于E，同理可得$△ APE ∽ △ ACB$，对应$0＜AP＜4$。
2. 如图(2)，过P作$∠ APF = ∠ B$，又$∠ A$为公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ APF ∽ △ ABC$，只要F在AB线段上该剪法就成立，对应$0＜AP\le4$。
3. 如图(3)，过P作$∠ CPG = ∠ CBA$，又$∠ C$为公共角，可得$△ CPG ∽ △ CBA$，需保证G落在线段BC上：
当G刚好与B重合时，$△ CPB ∽ △ CBA$，由相似三角形对应边成比例得$\frac{CP}{CB}=\frac{CB}{CA}$，代入$CB=2,CA=4$，得$CP=\frac{CB^2}{CA}=\frac{4}{4}=1$，此时$AP=AC-CP=4-1=3$。
若要G在线段BC上，需$CP\le1$，即$AP\ge3$，结合$AP＜4$，该剪法成立的范围是$3\le AP＜4$。
要存在4种不同剪法，需同时满足上述所有剪法的成立条件，取交集得AP的取值范围。
【答案】
$3\le AP＜4$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，需要梳理出所有可能的相似剪法，重点关注构造角相等的剪法的临界位置，通过相似的性质计算临界值，对相似相关知识的灵活应用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需先梳理出所有能剪出与△ABC相似的小三角形的剪法，再分别确定每种剪法对应的AP取值范围，最终找到能同时满足4种剪法都成立的AP范围。首先根据相似三角形的判定，平行于三角形一边的截线可得到2种剪法；再利用两角对应相等判定相似，又能得到2种剪法，其中第四种剪法存在交点落在顶点B的临界情况，需要通过相似三角形边的比例关系计算临界AP的值，综合所有情况即可得到最终范围。
【解析】
分情况讨论所有剪法：
1. 如图(1)，过P作$PD// AB$交BC于D，根据平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所得三角形与原三角形相似，可得$△ PCD ∽ △ ACB$，只要P不与A、C重合该剪法就成立，对应$0＜AP＜4$；
过P作$PE// BC$交AB于E，同理可得$△ APE ∽ △ ACB$，对应$0＜AP＜4$。
2. 如图(2)，过P作$∠ APF = ∠ B$，又$∠ A$为公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ APF ∽ △ ABC$，只要F在AB线段上该剪法就成立，对应$0＜AP\le4$。
3. 如图(3)，过P作$∠ CPG = ∠ CBA$，又$∠ C$为公共角，可得$△ CPG ∽ △ CBA$，需保证G落在线段BC上：
当G刚好与B重合时，$△ CPB ∽ △ CBA$，由相似三角形对应边成比例得$\frac{CP}{CB}=\frac{CB}{CA}$，代入$CB=2,CA=4$，得$CP=\frac{CB^2}{CA}=\frac{4}{4}=1$，此时$AP=AC-CP=4-1=3$。
若要G在线段BC上，需$CP\le1$，即$AP\ge3$，结合$AP＜4$，该剪法成立的范围是$3\le AP＜4$。
要存在4种不同剪法，需同时满足上述所有剪法的成立条件，取交集得AP的取值范围。
【答案】
$3\le AP＜4$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，需要梳理出所有可能的相似剪法，重点关注构造角相等的剪法的临界位置，通过相似的性质计算临界值，对相似相关知识的灵活应用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
6[中]如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于点F,连接AC交BD于O,连接OE,AP.
(1)求证:$PE· PF=PC^{2}$.
(2)若$CE⊥BC$,求证:$△POC∽△AEC$.
刷素养 走向重高
(1)求证:$PE· PF=PC^{2}$.
(2)若$CE⊥BC$,求证:$△POC∽△AEC$.
刷素养 走向重高
答案
6.
【证明】(1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AD = CD, $∠ CDP = ∠ ADP,CD//AB$.
在$△ CDP$ 和$△ ADP$ 中,$\begin{cases} CD=AD, \\ ∠ CDP=∠ ADP, \\ DP=DP, \end{cases}$
$\therefore △ CDP≌△ ADP(SAS),∴ PC=PA,∠ DCP=∠ DAP$.
∵ $CD//AB,∴ ∠ DCP=∠ F,∴ ∠ DAP=∠ F$.
∵ $∠ APE = ∠ FPA,∴ △ PAE ∽ △ PFA,∴ \frac{PA}{PF} = \frac{PE}{AP}$,
$\therefore PA^2=PE · PF,∴ PE · PF=PC^2$.
(2)
∵ $CE ⊥ BC, ∴ ∠ ECB = 90°$.
∵ $AD // BC, ∴ ∠ CEA=90°$.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC ⊥ BD,
∴ $∠ COP=90°,∴ ∠ COP = ∠ CEA$.
∵ $∠ OCP=∠ ECA,∴ △ POC∽△ AEC$.
解析
【分析】
(1)要证明等积式$PE· PF=PC^{2}$，先将等积式转化为比例式，结合菱形性质转化相等线段：首先利用菱形邻边相等、对角线平分一组对角的性质证明$△ CDP≌△ ADP$，可得$PC=PA$，此时待证式转化为$PA^2=PE·PF$，即需证$\frac{PA}{PF}=\frac{PE}{PA}$，三点定形可知要证$△ PAE∽△ PFA$，再结合平行线性质找到两组对应角相等即可证明相似，进而推导出等积式。
(2)要证明$△ POC∽△ AEC$，首先根据$CE⊥BC$结合菱形对边平行的性质，可得$CE⊥AD$，即$∠CEA=90°$；再利用菱形对角线互相垂直的性质得$∠COP=90°$，得到一组对应角相等，再结合公共角$∠OCP=∠ECA$，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得证。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD = CD，$∠CDP = ∠ADP$，$CD//AB$。
在$△ CDP$和$△ ADP$中，
$\begin{cases} CD=AD, \\ ∠CDP=∠ADP, \\ DP=DP, \end{cases}$
$\therefore △ CDP≌△ ADP(SAS)$，$\therefore PC=PA$，$∠DCP=∠DAP$。
∵ $CD//AB$，$\therefore ∠DCP=∠F$，$\therefore ∠DAP=∠F$。
∵ $∠APE = ∠FPA$，$\therefore △ PAE ∽ △ PFA$，$\therefore \frac{PA}{PF} = \frac{PE}{AP}$，
$\therefore PA^2=PE · PF$，$\therefore PE · PF=PC^2$。
(2)
∵ $CE ⊥ BC$，$\therefore ∠ECB = 90°$。
∵ $AD // BC$，$\therefore ∠CEA=90°$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AC ⊥ BD$，
$\therefore ∠COP=90°$，$\therefore ∠COP = ∠CEA$。
∵ $∠OCP=∠ECA$，$\therefore △ POC∽△ AEC$。
【答案】
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定
【点评】
本题综合考查了菱形相关性质、全等和相似三角形的判定，解题核心是熟练运用几何图形的性质完成边角关系的转化，其中将等积式转化为比例式寻找相似三角形是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
(1)要证明等积式$PE· PF=PC^{2}$，先将等积式转化为比例式，结合菱形性质转化相等线段：首先利用菱形邻边相等、对角线平分一组对角的性质证明$△ CDP≌△ ADP$，可得$PC=PA$，此时待证式转化为$PA^2=PE·PF$，即需证$\frac{PA}{PF}=\frac{PE}{PA}$，三点定形可知要证$△ PAE∽△ PFA$，再结合平行线性质找到两组对应角相等即可证明相似，进而推导出等积式。
(2)要证明$△ POC∽△ AEC$，首先根据$CE⊥BC$结合菱形对边平行的性质，可得$CE⊥AD$，即$∠CEA=90°$；再利用菱形对角线互相垂直的性质得$∠COP=90°$，得到一组对应角相等，再结合公共角$∠OCP=∠ECA$，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得证。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD = CD，$∠CDP = ∠ADP$，$CD//AB$。
在$△ CDP$和$△ ADP$中，
$\begin{cases} CD=AD, \\ ∠CDP=∠ADP, \\ DP=DP, \end{cases}$
$\therefore △ CDP≌△ ADP(SAS)$，$\therefore PC=PA$，$∠DCP=∠DAP$。
∵ $CD//AB$，$\therefore ∠DCP=∠F$，$\therefore ∠DAP=∠F$。
∵ $∠APE = ∠FPA$，$\therefore △ PAE ∽ △ PFA$，$\therefore \frac{PA}{PF} = \frac{PE}{AP}$，
$\therefore PA^2=PE · PF$，$\therefore PE · PF=PC^2$。
(2)
∵ $CE ⊥ BC$，$\therefore ∠ECB = 90°$。
∵ $AD // BC$，$\therefore ∠CEA=90°$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AC ⊥ BD$，
$\therefore ∠COP=90°$，$\therefore ∠COP = ∠CEA$。
∵ $∠OCP=∠ECA$，$\therefore △ POC∽△ AEC$。
【答案】
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定
【点评】
本题综合考查了菱形相关性质、全等和相似三角形的判定，解题核心是熟练运用几何图形的性质完成边角关系的转化，其中将等积式转化为比例式寻找相似三角形是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
7 核心素养几何直观 [2026江苏泰州质检,较难]如图,已知$∠ ADE = ∠ C$,AG平分$∠ BAC$交DE于F,交BC于G.
(1)求证:$△ ADF ∽ △ ACG$;
(2)连接DG,若$DG // AC$,$\frac{AF}{AG} = \frac{2}{5}$,$AD = 6$,求CE的长度.
(1)求证:$△ ADF ∽ △ ACG$;
(2)连接DG,若$DG // AC$,$\frac{AF}{AG} = \frac{2}{5}$,$AD = 6$,求CE的长度.
答案
7.(1)【证明】
∵ AG 平分$∠ BAC,∴ ∠ DAF=∠ CAG$.
又
∵ $∠ ADE=∠ C,∴ △ ADF∽△ ACG$.
(2)【解】
∵ $△ ADF∽△ ACG,∴ \frac{AD}{AC} = \frac{AF}{AG} = \frac{2}{5},∴ AC=\frac{5}{2} AD=15$.
∵ $DG//AC,∴ ∠ AGD = ∠ CAG, ∠ BGD = ∠ BCA, ∠ BDG=∠ BAC,∴ △ BDG∽△ BAC,∴ \frac{DG}{AC} = \frac{BD}{BA}$.
∵ AG 平分$∠ BAC,∴ ∠ DAG = ∠ CAG,∴ ∠ AGD = ∠ DAG,∴ DG = AD = 6,∴ \frac{DG}{AC} = \frac{BD}{BA} = \frac{AD}{AC} = \frac{2}{5}$, 即 $\frac{BD}{BD+6}=\frac{2}{5}$,解得 $BD=4,∴ AB=10$.
∵ $∠ ADE = ∠ C, ∠ DAE = ∠ CAB,∴ △ ADE∽△ ACB,∴ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{2}{5}$,
$\therefore AE=\frac{2}{5} AB=4,∴ CE=AC-AE=11$.
∵ AG 平分$∠ BAC,∴ ∠ DAF=∠ CAG$.
又
∵ $∠ ADE=∠ C,∴ △ ADF∽△ ACG$.
(2)【解】
∵ $△ ADF∽△ ACG,∴ \frac{AD}{AC} = \frac{AF}{AG} = \frac{2}{5},∴ AC=\frac{5}{2} AD=15$.
∵ $DG//AC,∴ ∠ AGD = ∠ CAG, ∠ BGD = ∠ BCA, ∠ BDG=∠ BAC,∴ △ BDG∽△ BAC,∴ \frac{DG}{AC} = \frac{BD}{BA}$.
∵ AG 平分$∠ BAC,∴ ∠ DAG = ∠ CAG,∴ ∠ AGD = ∠ DAG,∴ DG = AD = 6,∴ \frac{DG}{AC} = \frac{BD}{BA} = \frac{AD}{AC} = \frac{2}{5}$, 即 $\frac{BD}{BD+6}=\frac{2}{5}$,解得 $BD=4,∴ AB=10$.
∵ $∠ ADE = ∠ C, ∠ DAE = ∠ CAB,∴ △ ADE∽△ ACB,∴ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{2}{5}$,
$\therefore AE=\frac{2}{5} AB=4,∴ CE=AC-AE=11$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ADF∽△ACG，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先由AG是角平分线可得一组对应角相等，再结合题目给出的∠ADE=∠C，即可得到两组对应角相等，完成相似证明。
(2) 解题步骤如下：① 利用(1)的相似结论，结合已知的$\frac{AF}{AG}=\frac{2}{5}$和AD的长度，先求出AC的长度；② 根据DG//AC和角平分线的定义，推导得DG=AD，再由DG//AC证△BDG∽△BAC，利用相似比求出AB的长度；③ 证明△ADE∽△ACB，结合相似比求出AE的长度，最后用AC减AE得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AG平分$∠BAC$，
∴ $∠DAF=∠CAG$，
又
∵ $∠ADE=∠C$，
∴ $△ADF∽△ACG$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)得$△ADF∽△ACG$，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AF}{AG} = \frac{2}{5}$，
将$AD=6$代入得$AC=\frac{5}{2} AD=\frac{5}{2}×6=15$。
∵ $DG//AC$，
∴ $∠AGD = ∠CAG$，
∵ AG平分$∠BAC$，
∴ $∠DAG = ∠CAG$，
∴ $∠AGD = ∠DAG$，
∴ $DG = AD = 6$。
∵ $DG//AC$，
∴ $∠BGD = ∠BCA, ∠BDG=∠BAC$，
∴ $△BDG∽△BAC$，
∴ $\frac{DG}{AC} = \frac{BD}{BA} = \frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，
即$\frac{BD}{BD+6}=\frac{2}{5}$，解得$BD=4$，
∴ $AB=BD+AD=4+6=10$。
在$△ADE$和$△ACB$中，$∠ADE = ∠C, ∠DAE = ∠CAB$，
∴ $△ADE∽△ACB$，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{2}{5}$，
代入$AB=10$得$AE=\frac{2}{5}×10=4$，
∴ $CE=AC-AE=15-4=11$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $CE=11$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，需要多次运用相似的判定、性质，结合角平分线和平行线的性质推导边的等量关系与比例关系，能有效锻炼逻辑推理能力和几何直观能力，是相似章节的典型考题。
【难度系数】
0.4
(1) 要证明△ADF∽△ACG，可依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先由AG是角平分线可得一组对应角相等，再结合题目给出的∠ADE=∠C，即可得到两组对应角相等，完成相似证明。
(2) 解题步骤如下：① 利用(1)的相似结论，结合已知的$\frac{AF}{AG}=\frac{2}{5}$和AD的长度，先求出AC的长度；② 根据DG//AC和角平分线的定义，推导得DG=AD，再由DG//AC证△BDG∽△BAC，利用相似比求出AB的长度；③ 证明△ADE∽△ACB，结合相似比求出AE的长度，最后用AC减AE得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AG平分$∠BAC$，
∴ $∠DAF=∠CAG$，
又
∵ $∠ADE=∠C$，
∴ $△ADF∽△ACG$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)得$△ADF∽△ACG$，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AF}{AG} = \frac{2}{5}$，
将$AD=6$代入得$AC=\frac{5}{2} AD=\frac{5}{2}×6=15$。
∵ $DG//AC$，
∴ $∠AGD = ∠CAG$，
∵ AG平分$∠BAC$，
∴ $∠DAG = ∠CAG$，
∴ $∠AGD = ∠DAG$，
∴ $DG = AD = 6$。
∵ $DG//AC$，
∴ $∠BGD = ∠BCA, ∠BDG=∠BAC$，
∴ $△BDG∽△BAC$，
∴ $\frac{DG}{AC} = \frac{BD}{BA} = \frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，
即$\frac{BD}{BD+6}=\frac{2}{5}$，解得$BD=4$，
∴ $AB=BD+AD=4+6=10$。
在$△ADE$和$△ACB$中，$∠ADE = ∠C, ∠DAE = ∠CAB$，
∴ $△ADE∽△ACB$，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{2}{5}$，
代入$AB=10$得$AE=\frac{2}{5}×10=4$，
∴ $CE=AC-AE=15-4=11$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $CE=11$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，需要多次运用相似的判定、性质，结合角平分线和平行线的性质推导边的等量关系与比例关系，能有效锻炼逻辑推理能力和几何直观能力，是相似章节的典型考题。
【难度系数】
0.4
