1[2025 山西运城期中]图上距离和实际距离的比通常称为比例尺,已知一张地图的比例尺为$1:5\ 500\ 000$,在这张地图上测得A地到B地的直线距离为6 cm,则A地到B地的实际距离为（）

A.33 km
B.330 km
C.550 km
D.600 km

1.B 【解析】设 A 地到 B 地的实际距离为 x cm. 根据题意得 1:5 500 000=6:x,解得 x = 33 000 000,
∴ A地到 B 地的实际距离为 33 000 000 cm=330 km. 故选 B.

【分析】
解题首先回忆比例尺的定义：比例尺=图上距离:实际距离。本题已知比例尺和图上A、B两地的距离，要求实际距离，我们可以先设实际距离为未知数，根据比例尺的定义列出比例式，再用比例的基本性质求解，最后将计算结果的单位从厘米换算为千米，匹配选项单位即可得到答案。
【解析】
设A地到B地的实际距离为x cm，根据比例尺的定义列比例式：
$\,1:5\,500\,000=6:x$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）计算得：
$x=6×5\,500\,000=33\,000\,000$
进行单位换算：$\mathrm{1km=100000cm}$，因此$33\,000\,000\mathrm{cm}=33\,000\,000÷100\,000=330\mathrm{km}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
比例尺的应用；比例的性质；长度单位换算
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是牢记比例尺的计算公式，列比例式时要注意单位统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.8

2[2026 山东济南期末]如图,点 M 在线段 AB上,线段 BM 与 AM 的长度之比为$5:4$,点 N 为线段 AM 的中点.若$AB=27$,则$BN=$.

2.21 【解析】由题知 BM:AM = 5:4,
∴ 设 BM = 5x,AM=4x,
∴ BM+AM=9x.
∵ AB=27,且 AB=BM+AM,
∴ 9x=27,
∴ x=3,
∴ AM=12,BM=15.
∵ 点 N 是线段 AM 的中点,
∴ $MN=\frac{1}{2}AM=6$,
∴ BN=BM+MN=15+6=21. 故答案为 21.

【分析】
遇到线段比例类计算问题，首先考虑设参数将比例关系转化为代数式表示。第一步，根据BM:AM=5:4，设BM=5x，AM=4x；第二步，结合AB=AM+BM=27，建立方程求出x的值，即可得到AM、BM的长度；第三步，利用线段中点的性质求出AM中点N分得的线段长度；第四步，根据线段的和差关系，将BM与MN相加即可得到BN的长度。
【解析】
由题意得BM:AM = 5:4，
设BM = 5x，AM = 4x，
则AB = BM + AM = 5x + 4x = 9x。
∵ AB = 27，
∴ 9x = 27，解得x = 3，
∴ AM = 4×3 = 12，BM = 5×3 = 15。
∵ 点N是线段AM的中点，
∴ $MN=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×12=6$，
∴ BN = BM + MN = 15 + 6 = 21。
【答案】
21
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，比例线段应用
【点评】
本题属于线段计算的常规题型，解题关键是掌握用设参数法处理线段比例关系，结合线段中点性质和和差关系求解，解题时注意梳理各线段的位置关系，避免加减运算出错。
【难度系数】
0.7

3[2026河南平顶山期中]已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=3 cm,b=2 cm,d=4 cm,则c等于 ()

A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm

3.B 【解析】
∵ a,b,c,d 是成比例线段,
∴ a:b = c:d.
∵ a=3 cm,b=2 cm,d=4 cm,
∴ 3:2 = c:4,
∴ c=6 cm. 故选 B.

【分析】
解题时首先回忆成比例线段的定义：如果四条线段a,b,c,d是成比例线段，那么按顺序满足前两条线段的比等于后两条线段的比，即a:b=c:d。本题已经给出a、b、d的长度，只需将已知数值代入比例式，再利用比例的基本性质求解未知线段c的长度即可。
【解析】
∵a,b,c,d是成比例线段，
∴根据成比例线段的定义可得$a:b = c:d$。
将$a=3\ \mathrm{cm}$，$b=2\ \mathrm{cm}$，$d=4\ \mathrm{cm}$代入比例式，得$3:2 = c:4$，
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，可得$2c = 3×4$，
计算得$2c=12$，解得$c=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是基础题型，解题核心是注意成比例线段的顺序，不能随意调换比例中各线段的位置，代入数值后结合比例的基本性质计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9

4[2026吉林长春质检]下列长度的四组线段中，成比例的一组是（）

A.2 cm,2.5 cm,3 cm,3.5 cm
B.$\sqrt{3}$ cm,3 cm,3 cm,$4\sqrt{3}$ cm
C.2 cm,4 cm,8 cm,18 cm
D.$\sqrt{2}$ cm,$\sqrt{3}$ cm,2 cm,$\sqrt{6}$ cm

4.D 【解析】
∵ 2×3.5 ≠ 3×2.5,
∴ 四条线段不成比例,故 A 不符合题意;
∵ $\sqrt{3}×4\sqrt{3}≠3×3$,
∴ 四条线段不成比例,故 B 不符合题意;
∵ 2×18 ≠ 4×8,
∴ 四条线段不成比例,故 C 不符合题意;
∵ $\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$,
∴ 四条线段成比例,故 D 符合题意. 故选 D.

【分析】
判断四条线段是否成比例，常用的简便方法是：先将四条线段的长度按照从小到大的顺序排列，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段成比例，否则不成比例。我们只需按照这个方法逐一验证四个选项即可。
【解析】
判断依据：对于四条线段，若按从小到大排序后为$a≤b≤c≤d$，当$ad=bc$时，四条线段成比例。
A. 将线段从小到大排序为2 cm，2.5 cm，3 cm，3.5 cm，计算得$2×3.5=7$，$2.5×3=7.5$，$7≠7.5$，故四条线段不成比例，A不符合题意；
B. 将线段从小到大排序为$\sqrt{3}$ cm，3 cm，3 cm，$4\sqrt{3}$ cm，计算得$\sqrt{3}×4\sqrt{3}=12$，$3×3=9$，$12≠9$，故四条线段不成比例，B不符合题意；
C. 将线段从小到大排序为2 cm，4 cm，8 cm，18 cm，计算得$2×18=36$，$4×8=32$，$36≠32$，故四条线段不成比例，C不符合题意；
D. 将线段从小到大排序为$\sqrt{2}$ cm，$\sqrt{3}$ cm，2 cm，$\sqrt{6}$ cm，计算得$\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，两者相等，故四条线段成比例，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
成比例线段的判定、二次根式的乘法运算
【点评】
本题考查成比例线段的判断，使用“最长线段×最短线段=中间两条线段乘积”的方法验证比计算比值更高效，计算时注意先排序再验证，可减少出错概率。
【难度系数】
0.8

5[2026北京通州区期中]已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，那么下列式子中一定成立的是（）

A.$4x=3y$
B.$3x=4y$
C.$xy=12$
D.$x+y=7$
6[2025陕西宝鸡期中]已知$8x-9y=0,y≠0$，则$\frac{x}{y}=$.

5.A 【解析】
∵ $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$,
∴ 4x=3y,
∴ A 选项符合题意. 故选 A.
6.$\frac{9}{8}$ 【解析】根据题意得 8x=9y.
∵ y≠0,
∴ $\frac{x}{y}=\frac{9}{8}$.故答案为$\frac{9}{8}$.

【分析】
第5题解题思路：题目给出比例式$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，判断选项是否恒成立，核心是运用比例的基本性质（内项积等于外项积）直接变形，也可通过代入特殊值验证排除错误选项。首先对比例式交叉相乘得到x和y的倍数关系，再逐一核对选项即可。
第6题解题思路：已知关于x、y的等式，求$\frac{x}{y}$的比值，先对等式移项得到x和y的倍数关系，再结合$y≠0$的条件，等式两边同时除以y整理即可得到比值。
【解析】
第5题
已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，根据比例的基本性质：比例中两个外项的积等于两个内项的积，可得外项x、4的乘积等于内项3、y的乘积，即$4x=3y$。
逐一验证选项：
A选项：$4x=3y$，符合变形结果，一定成立；
B选项：$3x=4y$，与推导结果不符，不成立；
C选项：$xy=12$，举反例：当$x=6,y=8$时，满足$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，但$xy=48≠12$，不是一定成立；
D选项：$x+y=7$，举反例：当$x=6,y=8$时，满足$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}$，但$x+y=14≠7$，不是一定成立。
综上第5题选A。
第6题
已知$8x-9y=0$，移项得$8x=9y$。
因为$y≠0$，等式两边同时除以$8y$，可得：
$\frac{8x}{8y}=\frac{9y}{8y}$，化简得$\frac{x}{y}=\frac{9}{8}$。
【答案】
5. A；6. $\frac{9}{8}$
【知识点】
比例的基本性质、等式的变形
【点评】
这两道题是比例相关的基础题型，侧重考察比例基本性质的应用和等式变形的能力，掌握比例交叉相乘的运算技巧就能快速解题，是考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9

7[2026安徽合肥期中]下列图形中，一定相似的一组是（）

A.两个直角三角形
B.两个等腰三角形
C.有一个内角为70°的两个菱形
D.边长分别是3厘米和5厘米的两个菱形

7.C 【解析】两个直角三角形只有两直角对应相等,不能判定两个直角三角形相似,故 A 不符合题意;两个等腰三角形的腰对应成比例,但夹角不一定相等,不能判定两个等腰三角形相似,故 B 不符合题意;有一个内角为 70°的两个菱形的对应角相等,对应边成比例,能判定两个菱形相似,故 C 符合题意;边长分别是 3 厘米和 5 厘米的两个菱形对应边成比例,但对应角不一定相等,不能判定两个菱形相似,故 D 不符合题意. 故选 C.

【分析】
解决本题首先要明确相似多边形的判定标准：边数相同的两个多边形，只有同时满足对应角相等、对应边成比例，才是相似图形。接下来我们结合各类图形的性质，逐个判断选项是否同时满足这两个条件即可得出答案。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 两个直角三角形只有直角对应相等，剩余两个锐角不一定对应相等，对应边也不一定成比例，无法判定相似，故A不符合题意；
B. 两个等腰三角形的腰即使对应成比例，顶角或底角不一定对应相等，无法判定相似，故B不符合题意；
C. 菱形的四条边长度相等，因此两个菱形的对应边一定成比例；若有一个内角为70°，根据菱形邻角互补的性质，其余三个内角分别为110°、70°、110°，对应角全部相等，满足相似多边形的判定条件，故C符合题意；
D. 边长分别是3厘米和5厘米的两个菱形，对应边成比例，但内角不一定对应相等，无法判定相似，故D不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形判定；菱形的性质；三角形相似判定
【点评】
本题重点考查相似图形的判断，解题的核心是牢记相似图形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，二者缺一不可，需结合不同图形的性质逐一验证，避免只满足其中一个条件就出现误判。
【难度系数】
0.7

8[2026四川成都质检]四边形ABCD的四边长分别是3,4,7,9,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',四边形A'B'C'D'的最长边长为15,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比是.

8.3:5 【解析】
∵ 四边形 ABCD 的四边长分别是 3,4,7,9,
∴ 四边形 ABCD 的最长边长为 9,
∴ 四边形ABCD 与四边形 A'B'C'D'的相似比是 9:15=3:5,故答案为 3:5.

【分析】
要求两个相似四边形的相似比，首先回忆相似多边形的相关性质：相似多边形的对应边成比例，相似比是对应边的比值，且两个相似多边形的最长边互为对应边。解题时第一步先确定四边形ABCD的最长边，第二步结合已知的四边形A'B'C'D'的最长边，按照题目要求的相似比顺序（ABCD在前，A'B'C'D'在后），计算对应边的比值并化简即可，注意不要颠倒相似比的前后顺序。
【解析】
∵ 四边形ABCD的四边长分别是3,4,7,9，
∴ 四边形ABCD的最长边长为9，
∵ 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，四边形A'B'C'D'的最长边长为15，相似比为对应边的比值，
∴ 四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比是9:15=3:5。
【答案】
3:5
【知识点】
相似多边形性质，相似比计算
【点评】
本题侧重对相似多边形基础概念的考查，解题核心是找准相似多边形的对应边，同时要注意相似比的顺序，避免因前后项颠倒失分。
【难度系数】
0.8

9[2026河南郑州期中]如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',依据所标数据,解答下列问题.
(1)求∠B的度数;
(2)求x,y的值.

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9.【解】(1)
∵ 四边形 ABCD ∽ 四边形 A'B'C'D',
∴ ∠C=∠C'=135°,
∴ ∠B=360°-60°-135°-95°=70°,即∠B 的度数为 70°.
(2)
∵ 四边形 ABCD∽四边形 A'B'C'D',
∴ $\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$,即$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}=\frac{6}{x}$,
解得 x=4,y=18.

【分析】
本题围绕相似四边形的性质展开求解：(1)求∠B时，首先利用相似多边形对应角相等的性质，得到∠C=∠C'=135°，再结合四边形内角和为360°，减去已知的三个内角的度数，即可算出∠B的度数；(2)求x、y时，依据相似多边形对应边成比例的性质，找到两组图形的对应边，列出比例式，通过解比例式即可求出x和y的值。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD ∽ 四边形A'B'C'D'，
∴ 对应角相等，即$∠ C=∠ C'=135°$，
∵ 四边形的内角和为$360°$，
∴ $∠ B=360°-∠ A-∠ D-∠ C=360°-60°-95°-135°=70°$。
(2)
∵ 四边形ABCD ∽ 四边形A'B'C'D'，
∴ 对应边成比例，即$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
将已知边长代入得：$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}=\frac{6}{x}$，
解$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}$，交叉相乘得$8y=12×12$，解得$y=18$；
解$\frac{12}{8}=\frac{6}{x}$，交叉相乘得$12x=8×6$，解得$x=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{70°}$；(2) $\boldsymbol{x=4}$，$\boldsymbol{y=18}$
【知识点】
相似多边形的性质，四边形内角和定理，比例运算
【点评】
本题是相似多边形的基础应用题型，解题的关键是准确找准相似图形的对应角和对应边，避免对应关系混淆出错，熟练掌握相似多边形的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

10 已知三条线段的长分别是4 cm,6 cm和10 cm,则再加一条 cm 的线段,才能使这四条线段成比例.

10. 15 或 2.4 或$\frac{20}{3}$ 【解析】设所加的线段长为x cm,则由四条线段成比例得$\frac{4}{6}=\frac{10}{x}$或$\frac{4}{6}=\frac{x}{10}$或$\frac{4}{x}=\frac{6}{10}$或$\frac{x}{4}=\frac{6}{10}$,解得 x=15 或 x=$\frac{20}{3}$或x=2.4.

【分析】
本题考查成比例线段的应用，解题核心是明确未指定四条线段的排列顺序时，需分类讨论所有可能的比例组合。首先设所加线段长为x cm，根据成比例线段的定义，可利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），将x分别和已知的3条线段搭配列出乘积等式，求解后取正数值即可得到符合要求的线段长度。
【解析】
设添加的线段长为x cm，由于四条线段成比例且未指定排列顺序，分三类情况计算：
1. 若4和6为比例外项，10和x为比例内项，由比例的基本性质得：$4×6=10x$，解得$x=2.4$；
2. 若4和10为比例外项，6和x为比例内项，由比例的基本性质得：$4×10=6x$，解得$x=\frac{20}{3}$；
3. 若6和10为比例外项，4和x为比例内项，由比例的基本性质得：$6×10=4x$，解得$x=15$。
以上三个解均为正数，符合线段长度的取值要求。
【答案】
15或2.4或$\frac{20}{3}$
【知识点】
成比例线段定义，比例的基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略线段成比例未指定顺序，导致漏解，解题时要梳理所有可能的比例组合，做到不重不漏，同时注意线段长度为正数，需舍去不符合实际意义的负解。
【难度系数】
0.6