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1[中]已知关于x的不等式$2x ≥ a - 1$的解集是$x ≥ -1$，则a的值是
-1
。答案
【解析】因为 $2x≥a-1$,所以 $x≥\frac{a-1}{2}$. 因为不等式 $2x≥a-1$ 的解集是 $x≥-1$,所以 $\frac{a-1}{2}=-1$, 所以 $a=-1$. 故答案为-1.
2[中]若关于$x$的不等式组$\begin{cases}-x+2 ＜ x-8, \\ x ＞ m\end{cases}$的解集为$x＞5$，则$m$的取值范围为 ______ 。
答案
【解析】由不等式 $-x+2＜x-8$,得 $x＞5$. 因为不等式组 $\begin{cases}-x+2＜x-8, \\ x＞m\end{cases}$ 的解集为 $x＞5$, 所以 $m≤5$,故答案为 $m≤5$.
3[中]关于x的不等式组$\begin{cases}x - a ＞ -1, \\ x - a ≤ 2\end{cases}$的解集中，任意一个x的值均在$3 ≤ x ＜7$的范围内，则a的取值范围为 ______ 。
答案
【解析】由 $\begin{cases}x-a＞-1, \\ x-a≤2\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x＞a-1, \\ x≤a+2.\end{cases}$ 因为不等式组的解集中,任意一个 $x$ 的值均在 $3≤x＜7$ 的范围内,所以 $\begin{cases}a-1≥3, \\ a+2＜7,\end{cases}$ 解得 $4≤a＜5$. 故答案为 $4≤a＜5$.
4[中]若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x+1≥3, \\4x-16＜-2a\end{cases}$有解，则$a$的取值范围是（ ）
A.$a≥4$
B.$a＞4$
C.$a≤4$
D.$a＜4$
A.$a≥4$
B.$a＞4$
C.$a≤4$
D.$a＜4$
答案
【解析】$\begin{cases}x+1≥3,① \\4x-16＜-2a,②\end{cases}$ 解不等式①得 $x≥2$, 解不等式②得 $x＜4-\frac{1}{2}a$. 因为关于 $x$ 的一元一次不等式组 $\begin{cases}x+1≥3, \\4x-16＜-2a\end{cases}$ 有解,所以 $4-\frac{1}{2}a＞2$, 解得 $a＜4$. 故选 D.
5[2026湖南长沙期末,较难]定义运算:$f(x,y)=ax+by$.已知$f(3,2)=7$,$f(4,3)=10$.
(1)直接写出:$a=$,$b=$;
(2)若关于$x$的不等式组$\begin{cases} f(-x-3,2+x) ≥ 0, \\ f(2x,x-t) ＜ 0 \end{cases}$无解,求$t$的取值范围;
(3)若$f(mx+3n,2m-nx) ≥ 3m+4n$的解集为$x ≤ \frac{1}{3}$,求不等式$f(mx-2m,3n-nx) ＞ -m+n$的解集.
(1)直接写出:$a=$,$b=$;
(2)若关于$x$的不等式组$\begin{cases} f(-x-3,2+x) ≥ 0, \\ f(2x,x-t) ＜ 0 \end{cases}$无解,求$t$的取值范围;
(3)若$f(mx+3n,2m-nx) ≥ 3m+4n$的解集为$x ≤ \frac{1}{3}$,求不等式$f(mx-2m,3n-nx) ＞ -m+n$的解集.
答案
【解】(1)把$f(3,2)=7,f(4,3)=10$代入$f(x,y)=ax+by$,得$\begin{cases}3a+2b=7, \\4a+3b=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\b=2.\end{cases}$
故答案为1,2.
(2)根据题意得$\begin{cases}-x-3+2(x+2)≥0, \\2x+2(x-t)＜0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x≥-1, \\x＜\frac{t}{2}.\end{cases}$
因为关于$x$的不等式组$\begin{cases} f(-x-3,2+x) ≥ 0, \\ f(2x,x-t) ＜ 0 \end{cases}$无解,所以$\frac{t}{2}≤-1$,解得$t≤-2$.
(3)根据题意得$mx+3n+2(2m-nx)≥3m+4n$,整理,得$(m-2n)x≥n-m$.
因为此不等式解集为$x≤\frac{1}{3}$,所以$m-2n＜0$,且$\frac{n-m}{m-2n}=\frac{1}{3}$,整理,得$m=\frac{5}{4}n(m≠0,n≠0)$.
所求不等式化简得$mx-2m+2(3n-nx)＞-m+n$,即$(m-2n)x＞m-5n$,
把$m=\frac{5}{4}n$代入得$(\frac{5}{4}n-2n)x＞\frac{5}{4}n-5n$,$m-2n=\frac{5}{4}n-2n＜0$,解得$n＞0$,所以$(\frac{5}{4}-2)x＞\frac{5}{4}-5$,解得$x＜5$.
故答案为1,2.
(2)根据题意得$\begin{cases}-x-3+2(x+2)≥0, \\2x+2(x-t)＜0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x≥-1, \\x＜\frac{t}{2}.\end{cases}$
因为关于$x$的不等式组$\begin{cases} f(-x-3,2+x) ≥ 0, \\ f(2x,x-t) ＜ 0 \end{cases}$无解,所以$\frac{t}{2}≤-1$,解得$t≤-2$.
(3)根据题意得$mx+3n+2(2m-nx)≥3m+4n$,整理,得$(m-2n)x≥n-m$.
因为此不等式解集为$x≤\frac{1}{3}$,所以$m-2n＜0$,且$\frac{n-m}{m-2n}=\frac{1}{3}$,整理,得$m=\frac{5}{4}n(m≠0,n≠0)$.
所求不等式化简得$mx-2m+2(3n-nx)＞-m+n$,即$(m-2n)x＞m-5n$,
把$m=\frac{5}{4}n$代入得$(\frac{5}{4}n-2n)x＞\frac{5}{4}n-5n$,$m-2n=\frac{5}{4}n-2n＜0$,解得$n＞0$,所以$(\frac{5}{4}-2)x＞\frac{5}{4}-5$,解得$x＜5$.
6[中]若关于$x$的不等式组$\begin{cases}3-(x-1)≥2, \\5x-a＞4x\end{cases}$有且只有3个整数解，则$a$的取值范围在数轴上表示为（ ）
答案
【解析】$\begin{cases}3-(x-1)≥2,① \\5x-a＞4x,②\end{cases}$ 解不等式①,得 $x≤2$, 解不等式②,得 $x＞a$. 因为该不等式组有解,所以不等式组的解集是 $a＜x≤2$. 因为关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}3-(x-1)≥2, \\5x-a＞4x\end{cases}$ 有且只有 3 个整数解,所以这三个整数解是 0,1,2, 所以 $-1≤a＜0$, 故选 A.
7[中]若关于x的一元一次不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+3}{2}≤4, \\2x - a≥2\end{cases}$至少有2个整数解，则a的取值范围是 ______ .
答案
【解析】解不等式组得$\frac{a+2}{2}≤x≤5$. 由题意得$\frac{a+2}{2}≤4$,解得 $a≤6$.
8[中]已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}1-2(x-1)≤5,\\\dfrac{3x-a}{2}＜x+\dfrac{1}{2}\end{cases}$的整数解是$-1,0,1,2$,确定字母$a$的取值范围.
答案
【解】$\begin{cases}1-2(x-1)≤5,① \\\dfrac{3x-a}{2}＜x+\dfrac{1}{2},②\end{cases}$
解不等式①得 $x≥-1$,
解不等式②得 $x＜a+1$.
因为不等式组有解,
所以不等式组的解集是$-1≤x＜a+1$.
因为不等式组的整数解是$-1,0,1,2$,
所以 $2＜a+1≤3$,解得 $1＜a≤2$.
解不等式①得 $x≥-1$,
解不等式②得 $x＜a+1$.
因为不等式组有解,
所以不等式组的解集是$-1≤x＜a+1$.
因为不等式组的整数解是$-1,0,1,2$,
所以 $2＜a+1≤3$,解得 $1＜a≤2$.
9 [中]若关于 x, y 的二元一次方程组$\begin{cases}3x+y=1+a, \\x+3y=3\end{cases}$的解中 x 是非负数, y 的值不大于-1,则 a 的取值范围为 ______ .
答案
【解析】解关于 $x,y$ 的二元一次方程组$\begin{cases}3x+y=1+a, \\x+3y=3\end{cases}$得$\begin{cases}x=\frac{3}{8}a, \\y=\frac{8-a}{8}.\end{cases}$ 因为 $x$ 是非负数, $y$ 的值不大于-1,所以$\begin{cases}\frac{3}{8}a≥0, \\\frac{8-a}{8}≤-1,\end{cases}$解得 $a≥16$.
10[2026 四川成都调研,中]已知关于x的方程$2(x-3)=\dfrac{1}{2}(x+a)$的解满足不等式$-3x+1＞2a$,则a的取值范围为
$a＜-\dfrac{11}{3}$
.答案
【解析】解 $2(x-3)=\frac{1}{2}(x+a)$,得 $x=\frac{a+12}{3}$. 因为方程 $2(x-3)=\frac{1}{2}(x+a)$ 的解满足不等式 $-3x+1＞2a$, 所以将 $x=\frac{a+12}{3}$ 代入不等式 $-3x+1＞2a$, 得 $-3×\frac{a+12}{3}+1＞2a$, 解得 $a＜-\frac{11}{3}$, 故答案为 $a＜-\frac{11}{3}$.
