1[2026浙江嘉兴期中,中]阅读材料:
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重$a$克,其中溶有糖$b$克,他觉得这杯糖水不够甜,又加了$c$克糖,感觉比原来甜了许多.
糖水的甜度取决于糖水的浓度$(\mathrm{浓度}=\dfrac{\mathrm{糖的质量}}{\mathrm{糖水的质量}})$.
小聪这杯糖水原来的浓度为$\dfrac{b}{a}$,添加$c$克糖后,糖水的浓度变成$\dfrac{b+c}{a+c}$.生活经验告诉我们,添加糖后,糖水会更甜.利用不等式来表示这种现象,即$\dfrac{b+c}{a+c}＞\dfrac{b}{a}(a＞b＞0,c＞0)$.有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”.这个不等式成立吗?怎么证明呢?
基于材料中的生活经验,尝试用数学方法证明“糖水不等式”.
(1)【特例验证】假设$a=3,b=2,c=1$,则$\dfrac{b+c}{a+c}$ $\dfrac{b}{a}$.(填“＞”“＜”或“=”)
(2)【推理论证】证明(1)中你得到的结论.
(3)【应用拓展】若$a,b,c$为$△ ABC$三边的长,证明:$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}＜2$.

(1) 当$a=3,b=2,c=1$时,$\dfrac{b+c}{a+c}=\dfrac{2+1}{3+1}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$,$\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}$,所以$\dfrac{3}{4}＞\dfrac{2}{3}$,所以$\dfrac{b+c}{a+c}＞\dfrac{b}{a}$.故答案为＞.
(2) 证明：$\dfrac{b+c}{a+c}-\dfrac{b}{a}=\dfrac{a(b+c)-b(a+c)}{a(a+c)}=\dfrac{ab+ac-ab-bc}{a(a+c)}=\dfrac{(a-b)c}{a(a+c)}$.
因为$a＞b＞0,c＞0$,所以$a-b＞0,a+c＞0$,所以$c(a-b)＞0,a(a+c)＞0$,所以$\dfrac{(a-b)c}{a(a+c)}＞0$,所以$\dfrac{b+c}{a+c}-\dfrac{b}{a}＞0$,所以$\dfrac{b+c}{a+c}＞\dfrac{b}{a}$.
(3) 由题意,得$a＞0,b＞0,c＞0$,所以$a+b＞c,a+c＞b,b+c＞a$.由“糖水不等式”可知$\dfrac{c}{a+b}＜\dfrac{c+c}{a+b+c}$,$\dfrac{b}{a+c}＜\dfrac{b+b}{a+b+c}$,$\dfrac{a}{b+c}＜\dfrac{a+a}{a+b+c}$,所以$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}＜\dfrac{c+c}{a+b+c}+\dfrac{b+b}{a+b+c}+\dfrac{a+a}{a+b+c}$,所以$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}＜\dfrac{c+c+b+b+a+a}{a+b+c}$,所以$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}＜2$.

2[2026广西南宁质检,中]阅读下列材料并完成问题.
利用不等式的性质说明下列结论的正确性:
如果$a＞b,c＞d$,那么$a+c＞b+d$.
因为$a＞b$,所以$a+c＞b+c$. ①
又因为$c＞d$,所以$b+c＞b+d$. ②
由数的大小比较可知,不等式具有传递性,
所以由①②可得$a+c＞b+d$.
通过上述材料,我们可以得到不等式的同向可加性.
例如:若$x＞1,y＞2$,则$x+y＞1+2$,即$x+y＞3$.
(1)根据上述性质解决问题:若$x＜1,y＜3$,则$x+y$的取值范围是;
若$-1＜x＜2,0＜y＜1$,则$x+y$的取值范围是.
(2)【性质应用】已知$x-y=-3$,且$x＜-1,y＞1$,求$x+y$的取值范围.
由$x-y=-3$,得$x=y-3$.
将$x=y-3$代入$x＜-1$,得$y-3＜-1$,即$y＜2$.
又因为$y＞1$,所以$1＜y＜2$.
以上是部分求解过程,请你在此基础上将剩余的解答过程补充完整.
(3)【拓展提升】已知$x+y=3$,且$x＞2,y＞-2$,则$2x-y$的取值范围是.

(1) 因为$x＜1,y＜3$,所以$x+y＜1+3$,即$x+y＜4$.
因为$-1＜x＜2,0＜y＜1$,所以$-1+0＜x+y＜2+1$,即$-1＜x+y＜3$,故答案为$x+y＜4$,$-1＜x+y＜3$.
(2) 由$x-y=-3$,得$y=x+3$.
将$y=x+3$代入$y＞1$,得$x+3＞1$,即$x＞-2$.
又因为$x＜-1$,所以$-2＜x＜-1$,所以$-2+1＜x+y＜2+(-1)$,所以$-1＜x+y＜1$.
(3) 因为$x+y=3$,所以$x=3-y$.将$x=3-y$代入$x＞2$,得$3-y＞2$,即$y＜1$.
又因为$y＞-2$,所以$-2＜y＜1$,所以$-1＜-y＜2$.
因为$x+y=3$,所以$y=3-x$.将$y=3-x$代入$y＞-2$,得$3-x＞-2$,即$x＜5$.
又因为$x＞2$,所以$2＜x＜5$,所以$4＜2x＜10$,所以$3＜2x-y＜12$,故答案为$3＜2x-y＜12$.