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1 下列说法中,错误的是 (
A.全等图形一定是相似图形
B.两个等边三角形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似
D.两个直角三角形一定相似
D
)A.全等图形一定是相似图形
B.两个等边三角形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似
D.两个直角三角形一定相似
答案
1.D 【解析】两个直角三角形不一定相似,原说法错误,故D选项符合题意.
2 如图,正方形网格中,$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$,那么它们的相似比是（
A.$1:2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}:1$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}:1$
D
）A.$1:2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}:1$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}:1$
答案
2.D 【解析】设每个小正方形的边长都为 1,则 AB=$2,A_1B_1=\sqrt{2},\therefore AB:A_1B_1=2:\sqrt{2}=\sqrt{2}:1,\therefore$ 相似比为$\sqrt{2}:1$,故选 D.
3[2025浙江义乌质检]已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$∠ A=45°$，$∠ B=105°$，则$∠ C'$等于（
A.$105°$
B.$80°$
C.$45°$
D.$30°$
D
）A.$105°$
B.$80°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
3.D 【解析】$\because ∠A=45°, ∠B=105°, \therefore ∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-105°=30°. \because △ABC ∽ △A'B'C', \therefore ∠C'=∠C=30°.$ 故选 D.
4[2026吉林长春质检]如图,将一个大三角形剪成一个小三角形和一个梯形,若梯形上、下底的长分别为6,14,两腰长分别为12,16,且小三角形与大三角形相似,则下列数据为小三角形的三边长的是 (
A 6,8,6
B 9,12,6
C 10,14,6
D 12,16,6
B
)A 6,8,6
B 9,12,6
C 10,14,6
D 12,16,6
答案
4.B 【解析】如图,由题意可得 $DE=6,BC=14,BD=12,CE=16. \because △ADE ∽ △ABC, \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}, \therefore \frac{AD}{AD+DB}=\frac{AE}{AE+EC}=\frac{3}{7}, \therefore \frac{AD}{AD+12}=\frac{AE}{AE+16}=\frac{3}{7}, \therefore AD=9,AE=12, \therefore$ 只有 B 选项中的小三角形三边长符合题意. 故选 B.
5[2025浙江杭州质检]如图，△ABC∽△ADB，且AD=1，CD=7，则△ABC与△ADB的相似比为
$2\sqrt{2}$
。答案
5. $2\sqrt{2}$ 【解析】$\because AD=1,CD=7, \therefore AC=AD+CD=1+7=8. \because △ABC ∽ △ADB, \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB},$ 即 $AB^2=AC · AD, \therefore AB^2=8 × 1=8, \therefore AB=2\sqrt{2}, \therefore △ABC$ 与 $△ADB$ 的相似比为 $\frac{AC}{AB}=\frac{8}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$ 故答案为 $2\sqrt{2}.$
6 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，EF的长为
$\sqrt{13}$
.答案
6. $\sqrt{13}$ 【解析】$\because △ABE ∽ △DEF, AB=6, AE=9, DE=2, \therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF},$ 即 $\frac{6}{2}=\frac{9}{DF},$ 解得 $DF=3. \because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形, $\therefore ∠D=90°.$ 由勾股定理得 $EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.$ 故答案为 $\sqrt{13}.$
7[2026上海宝山区调研]在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，点$P$是边$AB$上的一动点，点$E$在边$AC$上，设$BP=x$，若$△ APE ∽ △ ACB$，则$x$的取值范围是
$3.5 ≤ x ＜ 8$
。答案
7. $3.5 ≤ x ＜ 8$ 【解析】如图.
$\because △APE ∽ △ACB, \therefore \frac{AP}{AC}=\frac{AE}{AB}. \because AB=8, AC=6, BP=x, \therefore \frac{8-x}{6}=\frac{AE}{8}, \therefore AE=\frac{32}{3}-\frac{4}{3}x. \because$ 点 $E$ 在边 $AC$ 上, $AC=6, \therefore 0＜\frac{32}{3}-\frac{4}{3}x ≤ 6, \therefore 3.5 ≤ x ＜ 8,$ 故答案为 $3.5 ≤ x ＜ 8.$
8 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C,AB=3,CD=2,BC=6,点P是边BC上的动点,若△ABP与△CDP相似,则BP=
3.6 或 $3-\sqrt{3}$ 或 $3+\sqrt{3}$
. 答案
8. 3.6 或 $3-\sqrt{3}$ 或 $3+\sqrt{3}$ 【解析】
9 如图，$△ ABC ∽ △ ACD$.
(1)若$CD$平分$∠ ACB$，$∠ ACD = 40°$，求$∠ ADC$的度数；
(2)若$AD=2$，$BD=3$，求$AC$的长.
刷易错 .....................小心有坑~
(1)若$CD$平分$∠ ACB$，$∠ ACD = 40°$，求$∠ ADC$的度数；
(2)若$AD=2$，$BD=3$，求$AC$的长.
刷易错 .....................小心有坑~
答案
9.【解】(1)$\because △ABC ∽ △ACD, \therefore ∠B=∠ACD=40°.$
又$\because CD$ 平分 $∠ACB, \therefore ∠BCD=∠ACD=40°, \therefore ∠ADC=∠B+∠BCD=80°.$
(2)$\because △ABC ∽ △ACD, \therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}, \therefore \frac{AC}{AD+DB}=\frac{AD}{AC}, \therefore \frac{AC}{5}=\frac{2}{AC}, \therefore AC=\sqrt{10}.$
又$\because CD$ 平分 $∠ACB, \therefore ∠BCD=∠ACD=40°, \therefore ∠ADC=∠B+∠BCD=80°.$
(2)$\because △ABC ∽ △ACD, \therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}, \therefore \frac{AC}{AD+DB}=\frac{AD}{AC}, \therefore \frac{AC}{5}=\frac{2}{AC}, \therefore AC=\sqrt{10}.$
10 已知在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=9$，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$边上的点，且$AD=2$。若$△ ABC$和$△ ADE$相似，则$AE=$
3 或 $\frac{4}{3}$
。答案
10. 3 或 $\frac{4}{3}$ 【解析】①如图(1)所示, $△ABC ∽ △ADE, \therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}, \therefore AE=\frac{AD · AC}{AB}=\frac{2 × 9}{6}=3;$
②如图(2)所示, $△ABC ∽ △AED, \therefore \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}, \therefore AE=\frac{AB · AD}{AC}=\frac{6 × 2}{9}=\frac{4}{3}.$ 综上所述, $AE$ 的长为 3 或 $\frac{4}{3}.$
