1[中]如图,在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH,连结AH交DE于点O,则$\frac{OA}{OH}$的值为
()

A.3
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{2}$

(第1题图)
(第2题图)

1.B 【解析】连结 $BD$. 由正六边形和正方形的性质得 $B,D,H$ 三点共线. 设正六边形的边长为 $a$,则 $AB=BC=CD=DH=a.$ $\because$ 在 $△ BCD$ 中,$BC=CD=a$,$∠ BCD=120°,\therefore$ 易得 $BD=\sqrt{3}a.$ $\because OD// AB,\therefore \dfrac{OA}{OH}=\dfrac{BD}{DH}=\dfrac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}$.

2[中]如图,四边形ABCD中,AB//DC,CD=4,AB=10,点M,N分别是边AD和对角线BD的中点,且MN与对角线AC交于点P,则PN的长为 ()

A.2
B.3
C.5
D.7

2.B 【解析】$\because$ 点 $M,N$ 分别是边 $AD$ 和对角线 $BD$ 的中点,$\therefore MN$ 是 $△ ABD$ 的中位线,$\therefore MN=\dfrac{1}{2}AB=5$,$MN// AB.$ $\because AB// CD,\therefore MN// CD,\therefore \dfrac{AM}{MD}=\dfrac{AP}{PC}.$ $\because AM=DM,\therefore AP=PC,\therefore$ 点 $P$ 为 $AC$ 的中点,$\therefore MP$ 为 $△ ACD$ 的中位线,$\therefore MP=\dfrac{1}{2}CD=2,\therefore PN=MN-PM=5-2=3$,故选 B.

3[2025浙江嘉兴调研,中]如图,锐角$△ ABC$内接于$\odot O$,$D,E$分别在$AB,AC$上,$DE// BC$,$AD=2BD$,过$D,E$分别作$AB,AC$的垂线交于点$P$,连结$OP$,若$\odot O$的半径为$r$,则$OP$的长是________(用含$r$的代数式表示).

3.$\dfrac{1}{3}r$ 【解析】作直径 $AK$,设 $AK$ 分别交直线 $PD,PE$ 于 $P',P''$, 连结 $BK,CK$, 如图所示, $\therefore ∠ ABK=∠ ACK=90°,\therefore BK⊥ AB,CK⊥ AC.$ $\because PD⊥ AB,PE⊥ AC,\therefore PD// BK,PE// CK,\therefore AP':AK=AD:AB,AP'':AK=AE:AC.$ $\because DE// BC,\therefore AD:AB=AE:AC,\therefore AP':AK=AP'':AK,\therefore AP'=AP'',\therefore P'$ 与 $P''$ 重合于点 $P$,$\therefore A,O,P$ 三点共线. $\because AD=2BD,\therefore AP:AK=AD:AB=2:3.$ $\because AK=2r,\therefore AP=\dfrac{2}{3}AK=\dfrac{4}{3}r,\therefore OP=AP-AO=\dfrac{4}{3}r-r=\dfrac{1}{3}r.$ 故答案为 $\dfrac{1}{3}r$.

4 新考法[2025上海静安区调研,中]如图,已知线段$a,b,c$.求作线段$x$,使$x=\frac{ac}{b}$.

4.【解】如图,线段 $x$ 即为所作.(作法不唯一)

5[2025浙江宁波期末,中]如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,过点C作CG//AB,交BE的延长线于点G,BG交AC于点F.若FG=3EF,求$\frac{AF}{FC}$的值.

5.【解】延长 $GC$ 交 $AD$ 的延长线于点 $M$,连结 $BM$,如图.

$\because AD$ 为 $△ ABC$ 的中线,$\therefore BD=CD.$ $\because CG// AB$,$\therefore ∠ BAD=∠ CMD,∠ MCD=∠ ABD,\therefore △ ABD≌ △ MCD,\therefore AD=DM.$ $\because BD=CD,\therefore$ 四边形 $ABMC$ 为平行四边形,$\therefore BM// AC,\therefore \dfrac{EF}{BE}=\dfrac{AE}{EM}.$ $\because AB// GM$,$\therefore \dfrac{AE}{EM}=\dfrac{BE}{EG},\therefore \dfrac{BE}{EG}=\dfrac{EF}{BE},\therefore BE^2=EG· EF.$
设 $EF=x$,则 $FG=3x,\therefore EG=4x,\therefore BE^2=4x^2,\therefore BE=2x,\therefore BF=FG=3x.$ $\because AB// CG,\therefore \dfrac{AF}{FC}=\dfrac{BF}{FG}=1.$

6[2026浙江杭州调研,较难]如图,在$△ ABD$中,$∠ ADB=90°$,C是AB的中点,E是边AD上任意一点(不与端点重合).连结BE交CD于点F,过C,F,E三点的圆交AC于点G(异于A,C两点),连结EG.
(1)若$DE=DF$,$∠ A=48°$,求$∠ AGE$的度数.
(2)若$AE=mDE$,求$\frac{BF}{EF}$的值(用含$m$的代数式表示).
(3)求证:$EG+EF=BF$.

6.(1)【解】$\because C$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 斜边 $AB$ 的中点,$\therefore AC=CD=BC$, $\therefore ∠ CDA=∠ A=48°.$ $\because DE=DF$,
$\therefore ∠ DEF=∠ DFE=\dfrac{1}{2}(180°-∠ CDA)=66°$,
$\therefore ∠ EFC=180°-∠ DFE=114°.$ $\because$ 四边形 $EGCF$ 内接于圆, $\therefore ∠ EFC+∠ EGC=180°.$ 又 $\because ∠ EGC+∠ AGE=180°,\therefore ∠ AGE=∠ EFC=114°.$
(2)【解】如图(1),过 $E$ 作 $EH// CD$ 交 $AB$ 于点 $H$.
$\because EH// CD,\dfrac{AE}{DE}=m,\therefore \dfrac{AH}{HC}=m,\therefore \dfrac{CH}{AC}=\dfrac{1}{m+1}.$ $\because C$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore AC=BC,\therefore \dfrac{CH}{BC}=\dfrac{1}{m+1}.$ $\because EH// CD$,
$\therefore \dfrac{BF}{EF}=\dfrac{BC}{CH}=m+1.$

(3)【证明】如图(2),过 $A$ 作 $AK// CD$,交 $BE$ 的延长线于点 $K$,在 $AC$ 上截取 $AN=AK$,连结 $EN$,则$\dfrac{BF}{FK}=\dfrac{BC}{AC}=1$,$∠ KAE=∠ ADC$,$∠ K=∠ DFE$,$\therefore BF=FK.$ $\because AC=CD$,$\therefore ∠ EAN=∠ ADC$,$\therefore ∠ KAE=∠ EAN.$ $\because AK=AN,AE=AE,\therefore △ KAE≌ △ NAE(\mathrm{SAS})$,$\therefore KE=NE$,$∠ K=∠ ENA.$ $\because$ 四边形 $EGCF$ 内接于圆, $\therefore$ 易得 $∠ DFE=∠ EGN$, $\therefore ∠ K=∠ EGN$, $\therefore ∠ ENA=∠ EGN$,$\therefore EG=EN=KE$, $\therefore EG+EF=KE+EF=KF=BF$.